Applications of Gauss’s Law MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Applications of Gauss’s Law - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

एक अनंत लंबाई के आवेशित तार का विद्युत क्षेत्र:

रैखिक आवेश घनत्व λ वाला एक अनंत लंबाई वाला आवेशित तार एक अरीय विद्युत क्षेत्र E बनाता है, जो तार से दूरी r के साथ घटता है। तार से r दूरी पर विद्युत क्षेत्र निम्न प्रकार दिया जाता है:

$E=\frac{2k\lambda }{r}$

इलेक्ट्रॉन पर बल:

इस विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन विद्युत बल का अनुभव करता है। दूरी r पर इलेक्ट्रॉन (आवेश −e) पर बल F का परिमाण है:
F = eE = eλ/ 2πϵ r

अभिकेंद्री बल और वृत्तीय गति:

इलेक्ट्रॉन को वृत्ताकार पथ पर परिक्रमण कराने के लिए, इस विद्युत बल द्वारा आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान किया जाना चाहिए। यदि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान m और वेग v है, तो आवश्यक अभिकेंद्री बल है:
F = mv2/r
​

गणना:

अनंत लंबाई के तार के कारण दूरी r पर विद्युत क्षेत्र E = $E=\frac{2k\lambda }{r}$

इलेक्ट्रॉन का बल ⇒ F = eE

$\mathrm{F}=\mathrm{e}\left(\frac{2\mathrm{k}\lambda }{\mathrm{r}}\right)$

$\mathrm{F}=\frac{2\mathrm{k}\lambda \mathrm{e}}{\mathrm{r}}$

इस बल द्वारा आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान किया जाएगा। 

$\mathrm{F}=\frac{{\mathrm{mv}}^2}{\mathrm{r}}=\frac{2\mathrm{k}\lambda \mathrm{e}}{\mathrm{r}}$

$\mathrm{v}=\sqrt{\frac{2\mathrm{k}\lambda \mathrm{e}}{\mathrm{m}}}$

$\mathrm{KE}=\frac{1}{2}{\mathrm{mv}}^2=\frac{1}{2}\mathrm{m}\left(\frac{2\mathrm{k}\lambda \mathrm{e}}{\mathrm{m}}\right)$

= kλe

यह नियत है इसलिए सही उत्तर विकल्प (2) है।

हल:

दिया गया विभव है:

$V(x,y,z)=4xy-zy+3x$.

आयतन आवेश घनत्व ज्ञात करने के लिए, हम अवकल रूप में गाउस के नियम का उपयोग करते हैं:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0},$

जहाँ:

• $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}$ विद्युत क्षेत्र का अपसरण है,
• $\rho$ आयतन आवेश घनत्व है,
• ${ϵ}_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।

विद्युत क्षेत्र $\mathbf{E}$ विभव से संबंधित है:

$\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }V.$

$\mathbf{E}$ के घटकों की गणना करें:

• $E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{\partial }{\partial x}(4xy-zy+3x)=-4y-3,$
• $E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}=-\frac{\partial }{\partial y}(4xy-zy+3x)=-4x+z,$
• $E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}=-\frac{\partial }{\partial z}(4xy-zy+3x)=y.$

$\mathbf{E}$ के अपसरण की गणना करें:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}.$

घटकों को प्रतिस्थापित करें:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=\frac{\partial }{\partial x}(-4y-3)+\frac{\partial }{\partial y}(-4x+z)+\frac{\partial }{\partial z}(y).$

सरलीकृत करें:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=0+0+0=0.$

चूँकि $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=0,$ है, आयतन आवेश घनत्व है:

$\rho ={ϵ}_0\cdot 0=0.$

अंतिम उत्तर: आयतन आवेश घनत्व शून्य है।

सही विकल्प 3) है। 

संकल्पना:

गॉस का नियम:

एक बंद सतह के माध्यम से दो विद्युतीय अभिवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना अर्थात् $\mathrm{\Phi }=\frac{q}{{ϵ}_o}$ होता है।

लेकिन हम जानते हैं कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युतीय अभिवाह निम्न है $\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}$

$\therefore \oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\frac{q}{{ϵ}_o}$

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संलग्न आवेश और ε_o = मुक्त स्थान में विद्युतशीलता

व्युत्पत्ति:

आवेश के अनंत शीट के कारण एक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र निम्न है 

$E=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$

जहाँ

σ = पृष्ठीय आवेश घनत्व 

यहाँ,

E₁: सतह आवेश घनत्व +σ वाली शीट के कारण विद्युत क्षेत्र

E2: सतह आवेश घनत्व -σ वाली शीट के कारण विद्युत क्षेत्र

प्लेटों के बीच क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र निम्न है

E = E₁ + E₂

$E=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}-\left(\frac{-\sigma }{2{ϵ}_0}\right)=\frac{\sigma +\sigma }{2{ϵ}_0}=\frac{2\sigma }{2{ϵ}_0}=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$

अवधारणा:

• विद्युत् अभिवाह: लम्बवत रूप से पृष्ठीय क्षेत्र से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र की रेखाओं की संख्या को विद्युत् अभिवाह कहा जाता है। इसे Φ द्वारा दर्शाया गया है।

दी गई  सतह के माध्यम से विद्युत् अभिवाह इस प्रकार होगा-

$\mathrm{\Delta }\varphi =\overrightarrow{E}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{S}=E\mathrm{\Delta }Scos\theta$

जहां θ विद्युत क्षेत्र और सतह के लिए धन अधोलंब के बीच कोण है।

• गॉस का नियम: इस नियम के अनुसार एक संवृत सतह के माध्यम से गुजरने वाला कुल विद्युत अभिवाह सतह द्वारा वहन किए गए कुल आवेश एवं  ϵ0 के भाग के बराबर होता है।

$\oint \overrightarrow{E}.\overrightarrow{ds}=\frac{q_{inside}}{{ϵ}_0}$

जहां E विद्युत क्षेत्र, ds छोटा क्षेत्रफल , q_inside सतह के भीतर कुल आवेश  और ϵ₀ निर्वात परावैद्युतांक

व्याख्या:

• चूंकि (Q) घन के केंद्र पर रखा गया है। इसलिए छह सतहों पर अभिवाह होगा और संवृत आवेश Q होगा ।

  गॉस नियम के अनुसार, कुल अभिवाह होगा-

अवधारणा:

• गॉस का नियम :एक आवेश को संवृत करने वाली सतह के माध्यम से कुल विद्युत अभिवाह, आवेश  का 1/ϵ₀ गुना है i.e. $\mathrm{\Phi }=\frac{q}{{ϵ}_o}$
• लेकिन हम जानते है कि एक संवृत सतह के माध्यम से विद्युत अभिवाह है $\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}$

$\therefore \oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\frac{q}{{ϵ}_o}$

जहां , E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संवृत आवेश और εo = निर्वात परावैद्युतांक

व्याख्या:

गॉस के नियम द्वारा-

$\Rightarrow \varphi =\frac{q}{{ϵ}_o}$

$\Rightarrow \varphi =\underset{s}{\overset{}{\int }}E\times ds$

$\Rightarrow \varphi =E\times 4\pi r^2$

• चूंकि गोलाकार कोश के अंदर का आवेश शून्य है, गॉसियन सतह पर कोई आवेश नहीं है।

  गॉस प्रमेय के अनुसार-

$\Rightarrow E\times 4\pi r^2=\frac{q}{{ϵ}_o}=0$              ∴ r < R  के लिए E = 0

संकल्पना:

• गॉस का नियम: एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत अभिवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना होता है। यानी $\mathrm{\Phi }=\frac{q}{{ϵ}_o}$

• लेकिन हम जानते है कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत अभिवाह निम्न है $\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}$

$\therefore \oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\frac{q}{{ϵ}_o}$

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संलग्न आवेश और εo = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता

व्याख्या:

• जब विद्युत् आवेश को किसी वस्तु पर लगातार वितरित किया जाता है जिसकी ज्यामिति समरूप होती है तो इसमें विद्युतीय क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए गॉस के नियम का उपयोग किया जाता है।
• वस्तु एक समतल, सिलेंडर, गोला आदि हो सकती है।
• यह प्रमेय एक समान सतह से घिरे विद्युतीय क्षेत्र से जुड़े विद्युत अभिवाह को एक समान सतह से संलग्न कुल आवेश से संबंधित करता है। इसलिए विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

• गॉस का नियम: एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत प्रवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना अर्थात् $\mathrm{\Phi }=\frac{q}{{ϵ}_o}$ होता है।
• लेकिन हम जानते है कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह निम्न है$\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}$

$\therefore \oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\frac{q}{{ϵ}_o}$

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संलग्न आवेश और εo = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता 

वर्णन:

लाइन आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र -

• एक अनंत रूप से लंबे सीधे चालक के कारण विद्युत क्षेत्र निम्न है -

$E=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{o}r}$

जहाँ λ =  रैखिक आवेश घनत्व, r = सिलेंडर की त्रिज्या और εo = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता।

• उपरोक्त समीकरण से यह स्पष्ट है कि एक अनंत रूप से लंबे सीधे तार का विद्युत क्षेत्र 1/r के आनुपातिक है। अतः विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

• विद्युत् अभिवाह: लम्बवत रूप से पृष्ठीय क्षेत्र से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र की रेखाओं की संख्या को विद्युत् अभिवाह कहा जाता है। इसे Φ द्वारा दर्शाया गया है।

दी गई  सतह के माध्यम से विद्युत् अभिवाह इस प्रकार होगा-

$\mathrm{\Delta }\varphi =\overrightarrow{E}.\mathrm{\Delta }\overrightarrow{S}=E\mathrm{\Delta }Scos\theta$

जहां θ विद्युत क्षेत्र और सतह के लिए धन अधोलंब के बीच कोण है।

• गॉस का नियम: इस नियम के अनुसार एक संवृत सतह के माध्यम से गुजरने वाला कुल विद्युत अभिवाह सतह द्वारा वहन किए गए कुल आवेश एवं  ϵ0 के भाग के बराबर होता है।

$\oint \overrightarrow{E}.\overrightarrow{ds}=\frac{q_{inside}}{{ϵ}_0}$

जहां E विद्युत क्षेत्र, ds छोटा क्षेत्रफल , q_inside सतह के भीतर कुल आवेश  और ϵ₀ निर्वात परावैद्युतांक

व्याख्या:

• चूंकि (Q) घन के केंद्र पर रखा गया है। इसलिए छह सतहों पर अभिवाह होगा और संवृत आवेश Q होगा ।

  गॉस नियम के अनुसार, कुल अभिवाह होगा-

• जब एक धनात्मक आवेश तल के एक तरफ रखा जाता है, तो ऋणात्मक आवेश, धनात्मक आवेश के निकट की ओर प्रेरित होता है।
• समतल का विपरीत भाग धनात्मक आवेश उत्पन्न करता है।
• हम जानते हैं कि क्षेत्र रेखाएँ धन आवेशों से निकलती हैं और इसलिए क्षेत्र रेखा तल से दूर होगी।
• यदि बिंदु P को धनात्मक तल की ओर रखा जाता है तो क्षेत्र लंबवत और तल से दूर निर्देशित होगा।

संकल्पना:

गॉस का नियम:

एक बंद सतह के माध्यम से दो विद्युतीय अभिवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना अर्थात् $\mathrm{\Phi }=\frac{q}{{ϵ}_o}$ होता है।

लेकिन हम जानते हैं कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युतीय अभिवाह निम्न है $\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}$

$\therefore \oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\frac{q}{{ϵ}_o}$

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संलग्न आवेश और ε_o = मुक्त स्थान में विद्युतशीलता

व्युत्पत्ति:

आवेश के अनंत शीट के कारण एक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र निम्न है 

$E=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$

जहाँ

σ = पृष्ठीय आवेश घनत्व 

यहाँ,

E₁: सतह आवेश घनत्व +σ वाली शीट के कारण विद्युत क्षेत्र

E2: सतह आवेश घनत्व -σ वाली शीट के कारण विद्युत क्षेत्र

प्लेटों के बीच क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र निम्न है

E = E₁ + E₂

$E=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}-\left(\frac{-\sigma }{2{ϵ}_0}\right)=\frac{\sigma +\sigma }{2{ϵ}_0}=\frac{2\sigma }{2{ϵ}_0}=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$

अवधारणा:

गॉस का नियम: एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत फ्लक्स सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना होता है अर्थात्
$\mathrm{\Phi }=\frac{q}{{ϵ}_o}$ 

लेकिन हम जानते है कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत फ्लक्स निम्न है:

$\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}$

$\therefore \oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\frac{q}{{ϵ}_o}$

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संलग्न आवेश और εo = मुक्त स्थान का विद्युत परावैद्युतांक 

व्याख्या:

रैखिक आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र -

• एक अनंत रूप से लंबे सीधे चालक के कारण विद्युत क्षेत्र निम्न है:

$E=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{o}r}$

जहाँ λ = रैखिक आवेश घनत्व, r = बेलन की त्रिज्या और ε_o = मुक्त स्थान का विद्युत परावैद्युतांक 

अवधारणा:

• गॉस का नियम: एक बंद सतह से बाहर विद्युत प्रवाह का कुल आवेश (Q) के बराबर है जो माध्यम के परावैद्युतांक (ε₀) से विभाजित है। यह ϕ_E द्वारा दिया जा सकता है

${\varphi }_{\mathbf{E}}=\frac{\mathbf{Q}}{{ϵ}_0}$

• विद्युत प्रवाह (ϕ) विद्युत क्षेत्र रेखायें (E) है जो इकाई क्षेत्रफल से गुजरती हैं। यह इस प्रकार है-

Δϕ = E ΔA

• गॉस के नियम का समाकल रूप: किसी भी संवृत सतह पर विद्युत क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकलन निर्वात परावैद्युतांक द्वारा विभाजित सतह में परिबद्ध शुद्ध आवेश के बराबर होता है।

$\oint \overrightarrow{\mathrm{E}.}\overrightarrow{\mathrm{d}\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{Q}}{{ϵ}_0}$

गणना:

दिया गया है कि बेलनाकार बर्तन के खुले छोर पर, आवेश= q.

तो इस समस्या को हल करने के लिए, हम दोनों बंद छोरों वाले पात्र पर विचार करते हैं। अब हम इसमें गौस का नियम लागू कर सकते हैं:

एक परिबद्ध आवेश q  के साथ एक परिबद्ध पात्र में गॉस के नियम का समाकलन रूप-

$\oint \overrightarrow{\mathrm{E}.}\overrightarrow{\mathrm{d}\mathrm{s}}=\frac{{\mathrm{Q}}_0}{{ϵ}_0}$

$1^{\int \overrightarrow{\mathrm{E}.}\overrightarrow{\mathrm{d}\mathrm{s}}}+2^{\int \overrightarrow{\mathrm{E}.}\overrightarrow{\mathrm{d}\mathrm{s}}}=\frac{\mathrm{q}}{{ϵ}_0}$ ,

(ऊपरी आधे और निचले आधे हिस्से के लिए समाकल भाग, पात्र की सतह से घिरे हुए कुल आवेश) दोनों भाग समान हैं। तब-

$2\int \overrightarrow{\mathrm{E}.}\overrightarrow{\mathrm{d}\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{q}}{{ϵ}_0}$

$\int \overrightarrow{\mathrm{E}.}\overrightarrow{\mathrm{d}\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{q}}{2{ϵ}_0}$

कुल परिबद्ध विद्युत प्रवाह होगा -

$\varphi =\int \overrightarrow{\mathbf{E}.}\overrightarrow{\mathbf{d}\mathbf{s}}=\frac{\mathbf{q}}{2{ϵ}_0}$

तो विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

• गॉस का नियम: एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत अभिवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना होता है। यानी $\mathrm{\Phi }=\frac{q}{{ϵ}_o}$

• लेकिन हम जानते है कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत अभिवाह निम्न है $\oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}$

$\therefore \oint \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{ds}=\frac{q}{{ϵ}_o}$

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संलग्न आवेश और εo = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता

• रैखिक आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र:

• एक अनंत रूप से लंबे सीधे चालक के कारण विद्युत क्षेत्र है -

$E=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{o}r}$

जहां λ = रैखिक आवेश घनत्व, r= सिलेंडर की त्रिज्या और εo = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता

व्याख्या:

• एक रैखिक आवेश वितरण $+\lambda$ के कारण मध्य दूरी (अर्थात् R/2) पर एक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र है

$\Rightarrow E_{+\lambda }=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_O\left(\frac{R}{2}\right)}$

उसी प्रकार से, रैखिक आवेश $-\lambda$के कारण विद्युत क्षेत्र इस प्रकार है,

$\Rightarrow E_{-\lambda }=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_O\left(\frac{R}{2}\right)}$

दोनों क्षेत्रों में बिंदु A पर समान दिशा अर्थात् $+\lambda$ से $-\lambda$ की ओर दिशा है।इसलिए, परिणामी विद्युत क्षेत्र निम्न के बराबर है

$\Rightarrow E=E_{+\lambda }+E_{-\lambda }$

$\Rightarrow E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_O\left(\frac{R}{2}\right)}+\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_O\left(\frac{R}{2}\right)}$

$\Rightarrow E=\frac{2\lambda }{\pi {\epsilon }_{o}R}$

संकल्पना:

• चूँकि एक चालक ठोस गोले के लिए आवेश केवल सतह पर उपस्थित होता है, इसलिए चालक ठोस गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है।
• यह गॉस के नियम का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

गॉस का नियम:

• गॉस के नियम के अनुसार, एक बंद गाऊसी सतह से जुड़ा कुल विद्युत प्रवाह, जिसे गाऊसी सतह कहा जाता है, बंद सतह से घिरे आवेश का $\frac{1}{{ϵ}_o}$गुना होता है।

व्याख्या:

• यदि हम r < R के लिए चालक क्षेत्र के अंदर एक गाऊसी गोला खींचते हैं तो गाऊसी सतह के अंदर कोई आवेश नहीं होता है।

⇒ ϕ  = 0 

• गाऊसी क्षेत्र के साथ कोई विद्युत प्रवाह शामिल नहीं है, इसलिए गाऊसी क्षेत्र के अंदर कोई विद्युत क्षेत्र रेखाएं नहीं होंगी, लेकिन प्रतिनिधित्व के उद्देश्य के लिए, ये रेखाएं गोलाकार सतह के लिए लंबवत होंगी और सतह के बाहर रेडियल रूप से होंगी क्योंकि चालक क्षेत्र धनात्मक रूप से आवेशित होता है (चूंकि) संवाहक क्षेत्र को एक समविभव सतह के रूप में माना जा सकता है)
• अत: विकल्प 4 सही हैl

संकल्पना:

बाहरी बिंदुओं के लिए, एक खोखला धातु बेलन ऐसा व्यवहार करता है जैसे कि एक समान परिमाण का रैखिक आवेश घनत्व उसकी धुरी पर रखा गया हो।

सूत्र:

अनंत रेखा आवेश घनत्व के कारण विद्युत क्षेत्र λ = λ/2πϵ0r (गॉस के नियम का उपयोग करके)

गणना:

दिया गया है कि:

तार का रैखिक आवेश घनत्व = λ 

एक खोखले धातु बेलन का रैखिक आवेश घनत्व = 2λ 

रैखिक आवेश घनत्व 2λ के खोखले धातु बेलन के कारण अक्ष से r दूरी पर विद्युत क्षेत्र:

E1= $\frac{2\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$ (त्रिज्यात: बाह्य)

रेखीय आवेश घनत्व वाले तार से r दूरी पर विद्युत क्षेत्र:

E2​ = $\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$ (त्रिज्यात: बाह्य)

चूँकि विद्युत क्षेत्र एक सदिश राशि है इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र,

E = E₁ + E₂

⇒ E =  $\frac{2\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}+\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$

⇒ E = $\frac{3\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$ (त्रिज्यात: बाह्य)