System of Linear Equations MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for System of Linear Equations - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 3, 2025
Latest System of Linear Equations MCQ Objective Questions
System of Linear Equations Question 1:
যদি x + 2y = 1; 2x + y = 2 হয় তবে রো ইচেলন ফর্ম ব্যবহার করে x এবং y নির্ণয় করুন?
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
একটি ম্যাট্রিক্স রো ইচেলন ফর্মে থাকে যদি এটি নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে:
- বাম দিক থেকে প্রথম অশূন্য সংখ্যা ( “লিডিং কোয়েফিসিয়েন্ট”) সর্বদা উপরের সারিতে প্রথম অশূন্য সংখ্যার ডানদিকে থাকে।
- শূন্য সমন্বিত সারিগুলি ম্যাট্রিক্সের নীচে থাকে।
গণনা:
প্রদত্ত সমীকরণ x + 2y = 1; 2x + y = 2
ম্যাট্রিক্স রূপে (Ax = b) উপস্থাপন করে আমরা পাই:
\( \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)যেখানে;
A(সহগ ম্যাট্রিক্স) = \( \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\), b = \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \) এবং x = \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)
∴ অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স, A | b
= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\big|1\\ 2 & 1\big|2 \end{bmatrix}\)
R2 → R2 - 2R1
= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\bigm|1\\ 0 & -3\bigm|0 \end{bmatrix}\)
R2 → \(-\frac{R_2}{3}\)
= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\bigm|1\\ 0 & 1\bigm|0 \end{bmatrix}\)
∴ সমীকরণ পদ্ধতি x + 2y = 1 এবং y = 0 এ হ্রাস পায়
⇒ x + 2(0) = 1
⇒ x = 1
∴ প্রদত্ত সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান হল (1, 0)।
System of Linear Equations Question 2:
একটি 3 × 3 ম্যাট্রিক্স এমন যে, \({P^3} = P\)। তাহলে \(P\;\)-এর আইগেনমানগুলি হল:
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 2 Detailed Solution
ধারণা:
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য:
বিবৃতি: প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্য সমীকরণ মেনে চলে।
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য বলে যে, বহুপদী p(x) = det(xIn - A)-এ x-এর জন্য ম্যাট্রিক্স A-কে প্রতিস্থাপন করলে শূন্য ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, যেমন:
p(A) = 0
এটি বলে যে, একটি 'n x n' ম্যাট্রিক্স A তার বৈশিষ্ট্যপূর্ণ বহুপদী det(tI - A) দ্বারা ধ্বংসপ্রাপ্ত হয়, যা n-ডিগ্রীর একটি মনিক বহুপদী।
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্যের ব্যবহার:
(1) A-এর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ঘাত গণনা করতে
(2) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর বিপরীত গণনা করতে
গণনা:
\({P^3} = P\)
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য থেকে \({\lambda ^3} = \lambda\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \lambda \;\left( {{\lambda ^2}-1} \right) = 0\\ \lambda = 0,\; + 1,\; - 1 \end{array}\)
Top System of Linear Equations MCQ Objective Questions
একটি 3 × 3 ম্যাট্রিক্স এমন যে, \({P^3} = P\)। তাহলে \(P\;\)-এর আইগেনমানগুলি হল:
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 3 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য:
বিবৃতি: প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্য সমীকরণ মেনে চলে।
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য বলে যে, বহুপদী p(x) = det(xIn - A)-এ x-এর জন্য ম্যাট্রিক্স A-কে প্রতিস্থাপন করলে শূন্য ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, যেমন:
p(A) = 0
এটি বলে যে, একটি 'n x n' ম্যাট্রিক্স A তার বৈশিষ্ট্যপূর্ণ বহুপদী det(tI - A) দ্বারা ধ্বংসপ্রাপ্ত হয়, যা n-ডিগ্রীর একটি মনিক বহুপদী।
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্যের ব্যবহার:
(1) A-এর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ঘাত গণনা করতে
(2) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর বিপরীত গণনা করতে
গণনা:
\({P^3} = P\)
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য থেকে \({\lambda ^3} = \lambda\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \lambda \;\left( {{\lambda ^2}-1} \right) = 0\\ \lambda = 0,\; + 1,\; - 1 \end{array}\)
System of Linear Equations Question 4:
একটি 3 × 3 ম্যাট্রিক্স এমন যে, \({P^3} = P\)। তাহলে \(P\;\)-এর আইগেনমানগুলি হল:
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 4 Detailed Solution
ধারণা:
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য:
বিবৃতি: প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্য সমীকরণ মেনে চলে।
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য বলে যে, বহুপদী p(x) = det(xIn - A)-এ x-এর জন্য ম্যাট্রিক্স A-কে প্রতিস্থাপন করলে শূন্য ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, যেমন:
p(A) = 0
এটি বলে যে, একটি 'n x n' ম্যাট্রিক্স A তার বৈশিষ্ট্যপূর্ণ বহুপদী det(tI - A) দ্বারা ধ্বংসপ্রাপ্ত হয়, যা n-ডিগ্রীর একটি মনিক বহুপদী।
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্যের ব্যবহার:
(1) A-এর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ঘাত গণনা করতে
(2) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর বিপরীত গণনা করতে
গণনা:
\({P^3} = P\)
কেইলে-হ্যামিল্টন উপপাদ্য থেকে \({\lambda ^3} = \lambda\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \lambda \;\left( {{\lambda ^2}-1} \right) = 0\\ \lambda = 0,\; + 1,\; - 1 \end{array}\)
System of Linear Equations Question 5:
যদি x + 2y = 1; 2x + y = 2 হয় তবে রো ইচেলন ফর্ম ব্যবহার করে x এবং y নির্ণয় করুন?
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 5 Detailed Solution
ধারণা:
একটি ম্যাট্রিক্স রো ইচেলন ফর্মে থাকে যদি এটি নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে:
- বাম দিক থেকে প্রথম অশূন্য সংখ্যা ( “লিডিং কোয়েফিসিয়েন্ট”) সর্বদা উপরের সারিতে প্রথম অশূন্য সংখ্যার ডানদিকে থাকে।
- শূন্য সমন্বিত সারিগুলি ম্যাট্রিক্সের নীচে থাকে।
গণনা:
প্রদত্ত সমীকরণ x + 2y = 1; 2x + y = 2
ম্যাট্রিক্স রূপে (Ax = b) উপস্থাপন করে আমরা পাই:
\( \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)যেখানে;
A(সহগ ম্যাট্রিক্স) = \( \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\), b = \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \) এবং x = \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)
∴ অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স, A | b
= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\big|1\\ 2 & 1\big|2 \end{bmatrix}\)
R2 → R2 - 2R1
= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\bigm|1\\ 0 & -3\bigm|0 \end{bmatrix}\)
R2 → \(-\frac{R_2}{3}\)
= \( \begin{bmatrix} 1 & 2\bigm|1\\ 0 & 1\bigm|0 \end{bmatrix}\)
∴ সমীকরণ পদ্ধতি x + 2y = 1 এবং y = 0 এ হ্রাস পায়
⇒ x + 2(0) = 1
⇒ x = 1
∴ প্রদত্ত সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান হল (1, 0)।