Eigenvalues MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Eigenvalues - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল \( \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) গণনা করুন, যেখানে \(\lambda\) একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

\( A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

\( I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

\( \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & −4-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 7-\lambda\end{array}\right] \)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda)[(-4- \lambda)(7- \lambda)-2 \times0]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [-28+4 \lambda-7 \lambda + \lambda ^2]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda ^2-7 \lambda+4 \lambda-28]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda (\lambda - 7)+4( \lambda-7)]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) (\lambda - 7)( \lambda+4)\)

\(|A- \lambda I|=0\)

\((1- \lambda)(\lambda - 7)( \lambda+4)=0\)

\(\lambda =1,-4,7\)

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।

ধারণার ব্যবহার:

ধরা যাক, p(t) হল সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V-এর উপর একটি রৈখিক অপারেটর T-এর একটি নূন্যতম বহুপদী।

যদি g(T) = 0 হয়, তাহলে যেকোনো বহুপদী g(t)-এর জন্য p(t), g(t) কে ভাগ করে। বিশেষত, নূন্যতম বহুপদী p(t) হল T-এর বৈশিষ্টসূচক বহুপদীর একটি ভাজক।
T-এর নূন্যতম বহুপদীটি অনন্য।

ব্যাখ্যা:

যেহেতু A একটি আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স, তাহলে \(A^2=A\) ⇒ \(A^2-A=0\)

এবং প্রতিটি ম্যাট্রিক্স তার বহুপদী সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাহলে

\(m_A(x)=x^2-x=x(x-1)\)

\(m_A(x)=x(x-1)\)

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি হল 1।

ব্যাখ্যা:

[A] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, বাস্তব এবং প্রতিসম।

বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ,

(A - λI) = 0 …………(i)

λ এর জন্য সমাধান করা, আইগেন মান

ধরি প্রতিসম এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্স A

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right]\) …………(ii)

\(\Rightarrow \left[ {A - \lambda I} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right] - \lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = 0\)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - \lambda }&b\\ b&{a - \lambda } \end{array}} \right] = 0\)

⇒ (a - λ)² - b² = 0

⇒ (a - λ)² = b²

⇒ (a - λ) = ± b

⇒ λ = a ± b

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল \( \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) গণনা করুন, যেখানে \(\lambda\) একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

\( A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

\( I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

\( \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & −4-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 7-\lambda\end{array}\right] \)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda)[(-4- \lambda)(7- \lambda)-2 \times0]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [-28+4 \lambda-7 \lambda + \lambda ^2]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda ^2-7 \lambda+4 \lambda-28]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda (\lambda - 7)+4( \lambda-7)]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) (\lambda - 7)( \lambda+4)\)

\(|A- \lambda I|=0\)

\((1- \lambda)(\lambda - 7)( \lambda+4)=0\)

\(\lambda =1,-4,7\)

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।

ব্যাখ্যা:

[A] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, বাস্তব এবং প্রতিসম।

বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ,

(A - λI) = 0 …………(i)

λ এর জন্য সমাধান করা, আইগেন মান

ধরি প্রতিসম এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্স A

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right]\) …………(ii)

\(\Rightarrow \left[ {A - \lambda I} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right] - \lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = 0\)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - \lambda }&b\\ b&{a - \lambda } \end{array}} \right] = 0\)

⇒ (a - λ)² - b² = 0

⇒ (a - λ)² = b²

⇒ (a - λ) = ± b

⇒ λ = a ± b

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল \( \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) গণনা করুন, যেখানে \(\lambda\) একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

\( A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

\( I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

\( \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & −4-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 7-\lambda\end{array}\right] \)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda)[(-4- \lambda)(7- \lambda)-2 \times0]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [-28+4 \lambda-7 \lambda + \lambda ^2]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda ^2-7 \lambda+4 \lambda-28]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda (\lambda - 7)+4( \lambda-7)]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) (\lambda - 7)( \lambda+4)\)

\(|A- \lambda I|=0\)

\((1- \lambda)(\lambda - 7)( \lambda+4)=0\)

\(\lambda =1,-4,7\)

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।

ব্যাখ্যা:

[A] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, বাস্তব এবং প্রতিসম।

বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ,

(A - λI) = 0 …………(i)

λ এর জন্য সমাধান করা, আইগেন মান

ধরি প্রতিসম এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্স A

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right]\) …………(ii)

\(\Rightarrow \left[ {A - \lambda I} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ b&a \end{array}} \right] - \lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = 0\)

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a - \lambda }&b\\ b&{a - \lambda } \end{array}} \right] = 0\)

⇒ (a - λ)² - b² = 0

⇒ (a - λ)² = b²

⇒ (a - λ) = ± b

⇒ λ = a ± b

ধারণার ব্যবহার:

ধরা যাক, p(t) হল সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V-এর উপর একটি রৈখিক অপারেটর T-এর একটি নূন্যতম বহুপদী।

যদি g(T) = 0 হয়, তাহলে যেকোনো বহুপদী g(t)-এর জন্য p(t), g(t) কে ভাগ করে। বিশেষত, নূন্যতম বহুপদী p(t) হল T-এর বৈশিষ্টসূচক বহুপদীর একটি ভাজক।
T-এর নূন্যতম বহুপদীটি অনন্য।

ব্যাখ্যা:

যেহেতু A একটি আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স, তাহলে \(A^2=A\) ⇒ \(A^2-A=0\)

এবং প্রতিটি ম্যাট্রিক্স তার বহুপদী সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাহলে

\(m_A(x)=x^2-x=x(x-1)\)

\(m_A(x)=x(x-1)\)

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি হল 1।