Matrix Algebra MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Matrix Algebra - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা:

দেওয়া আছে |An×n| = 3 এবং |adj A| = 243

আমরা জানি যে |adj A| = |A|ⁿ⁻¹

⇒ 243 = 3ⁿ⁻¹ ⇒ 3⁵ = 3ⁿ⁻¹ ⇒ n − 1 = 5 ⇒ n = 6

সঠিক উত্তর হল বিকল্প "3"

অনুসৃত ধারণা:

ম্যাট্রিক্সের সংলগ্ন প্রাপ্তির পদক্ষেপ

আমাদের সমস্ত উপাদানের কোফ্যাক্টর গণনা করতে হবে

⇒ C ij বা A ij =(-1) (i+j) M ij
এখানে, M ij = ম্যাট্রিক্স A এর মাইনর

কোফ্যাক্টরের স্থানান্তরকে ম্যাট্রিক্সের সংলগ্ন বলে

Adj (A) = C T

গণনা:

প্রদত্ত ,

\(A=\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\\ \gamma & \delta \end{bmatrix}\)

কোফ্যাক্টর α = A ₁₁ = δ

কোফ্যাক্টর β = A ₁₂ = -γ

কোফ্যাক্টর γ = A ₂₁ = -β

কোফ্যাক্টর δ = A ₂₂ = -α

\(Cofactor\ of\ A\ = \begin{bmatrix} \delta&-\gamma \\\ -\beta & \alpha \end{bmatrix}\)

⇒ adj \(A=\begin{bmatrix} \delta & -\beta \\\ -\gamma & \alpha \end{bmatrix}\)

Shortcut Trick

অনুসৃত ধারণা:

অ-একক ম্যাট্রিক্স:

একটি অ-একক ম্যাট্রিক্স হল একটি বর্গ যার নির্ণায়ক শূন্য নয়।

গণনা :

প্রদত্ত :

যে কোনো ম্যাট্রিক্সের জন্য যার বিপরীত বিদ্যমান থাকে অর্থাৎ অ-একক 

BB-1 = I

|BB-1| = 1

|B||B-1| = 1

\(|B^{-1}|=\frac{1}{|B|}=|B|^{-1}\)

বা

det (B ^-1 ) = (det B) ^-1

ধারণা:

দুটি ম্যাট্রিক্স A_{m × n} এবং B_{p × q}

যদি AB এবং BA সংজ্ঞায়িত করা হয় তাহলে p = n এবং q = m

গণনা:

প্রদত্ত:

AB এবং BA সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

তাই ম্যাট্রিক্স B এর ক্রম B_{n × m}

ধরি A, B এবং C ম্যাট্রিক্সগুলি হল a, b, এবং c স্কেলার এবং ম্যাট্রিক্সের আকারগুলি এমন হয় যাতে অপারেশনগুলি (ক্রিয়াগুলি) করা যেতে পারে

ম্যাট্রিক্স গুণের বৈশিষ্ট্য:

ম্যাট্রিক্স গুণের সংযোজন বৈশিষ্ট্য:

• A(BC) = (AB)C

গুণের বিভাজক বৈশিষ্ট্য:

• A(B + C) = AB + AC
• (A + B) C = AC + BC

AIn = InA = A,  In হল উপযুক্ত অভেদ ম্যাট্রিক্স

c(AB)= (cA)B = A(cB)

দ্রষ্টব্য: সাধারণভাবে AB ≠ BA, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স বর্গ এবং একই ক্রমে হলেও ম্যাট্রিক্সের গুণ পরিবর্তনশীল নয়।

ম্যাট্রিক্স যোগ এবং স্কেলার গুণের বৈশিষ্ট্য:

যোগের পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্য

• A + B = B + A

যোগের সংযোজন বৈশিষ্ট্য

• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + O = O + A যেখানে O হল উপযুক্ত শূন্য ম্যাট্রিক্স

যোগের বিভাজক বৈশিষ্ট্য

• c(A + B) = cA + cB
• (a + b) C = aC + bC

(ab)C = a(bc)

ধারণা:

দুটি ম্যাট্রিক্স A_{m × n} এবং B_{p × q}

যদি AB এবং BA সংজ্ঞায়িত করা হয় তাহলে p = n এবং q = m

গণনা:

প্রদত্ত:

AB এবং BA সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

তাই ম্যাট্রিক্স B এর ক্রম B_{n × m}

অনুসৃত ধারণা :

ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তর : যদি একটি ম্যাট্রিক্স \(B_{n×{m}}\) একটি ম্যাট্রিক্স \(A_{m×{n}}\) থেকে তার সারিগুলিকে কলামে এবং এর কলামগুলিকে সারিতে পরিবর্তন করে থাকে তবে ম্যাট্রিক্স \(B_{n×{m}}\) কে A এর স্থানান্তর বলা হয় এবং A^T বা A¹ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

ম্যাট্রিক্সের গুণন: যদি A = (a_ij) হয় m × n এর একটি ম্যাট্রিক্স এবং B ক্রম n × p এর একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে গুণফলের পর তাদের ক্রম m × p

ম্যাট্রিক্সের বিপরীত: শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য বিদ্যমান।

গণনা :

দেওয়া,

P3×2, Q3×4, এবং R3×4

P^T = P_2×3

QT = Q4×3

তাহলে, [Q(PTR)-1QT] = Q3× 4{[P2×3 × R3×4]-1Q4×3}

[Q(PTR)-1QT] = Q3×4 {(PR)2× 4}-1Q4×3

∵ [(PR)2×4] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স নয়, তাই এর বিপরীত সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

তাইজন্যে, ম্যাট্রিক্সের উপরের ক্রম থেকে আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে এটি অনির্ধারিত ম্যাট্রিক্স।

ম্যাট্রিক্সের গুণন পরিবর্তনশীল নয় কারণ যদি MN-এর গুণফল বিদ্যমান থাকে, তাহলে NM-এর গুণফলও বিদ্যমান থাকবে এমন কোনো প্রয়োজন নেই।

উদাহরণ:

আমরা দুটি 2 × 2 ম্যাট্রিস (একই মাত্রা) বিবেচনা করা যাক যেমন দেখানো হয়েছে:

\(M=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right]\)

\(N=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]\)

M × N দেয়:

\(M× N =\left[ \begin{matrix} (1)(2)+(2)(1) & (1)( 1)+(2)( 3) \\ (3)( 2)+(4)( 1) & (3)( 1)+(4)(3) \\ \end{matrix} \right]\)

\(M× N =\left[ \begin{matrix} 4 & 7 \\ 10 & 15 \\ \end{matrix} \right]\)

একইভাবে, N × M দেয়:

\(N× M =\left[ \begin{matrix} (2)(1)+(1)(3) & (2)(2)+(1)(4) \\ (1)(1)+(3)(3) & (1)(2)+(3)(4) \\ \end{matrix} \right]\)

\(N× M =\left[ \begin{matrix} 5 & 8 \\ 10 & 14 \\ \end{matrix} \right]\)

আমরা লক্ষ্য করি যে (M × N)_2×2 ≠ (N × M)_2×2 , এমনকি যদি দুটি ম্যাট্রিক্সের মাত্রা সমান হয়।

কিন্তু যদি আমরা দুটি 2 × 2 অভেদক ম্যাট্রিক্স (একই মাত্রা) নিই, তাহলে পণ্যটি পরিবর্তনশীল হবে, যেমন যদি:

\(M=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\) এবং

\(N=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]\)

(M × N)2×2 = (N × M)2×2

অতএব, আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে (M × N)2×2 সর্বদা (N × M)2×2 এর সমান নয়

দ্রষ্টব্য : N_3×4 × M_2×3 এছাড়াও বিদ্যমান নেই, যেহেতু তারা গুণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।

অনুসৃত ধারণা:

অ-একক ম্যাট্রিক্স:

একটি অ-একক ম্যাট্রিক্স হল একটি বর্গ যার নির্ণায়ক শূন্য নয়।

গণনা :

প্রদত্ত :

যে কোনো ম্যাট্রিক্সের জন্য যার বিপরীত বিদ্যমান থাকে অর্থাৎ অ-একক 

BB-1 = I

|BB-1| = 1

|B||B-1| = 1

\(|B^{-1}|=\frac{1}{|B|}=|B|^{-1}\)

বা

det (B ^-1 ) = (det B) ^-1

যেহেতু A একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স, আমাদের আছে \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} k&0&0\\ 0&k&0\\ 0&0&k \end{array}} \right)\)

\(\therefore \left| A \right| = {k^3}\)

\(\begin{array}{l} adj\;A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{k^2}}&0&0\\ 0&{{k^2}}&0\\ 0&0&{{k^2}} \end{array}} \right)\\ {A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}\left( {adj\;A} \right) = \frac{1}{{{k^3}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{k^2}}&0&0\\ 0&{{k^2}}&0\\ 0&0&{{k^2}} \end{array}} \right)\\ \frac{1}{k}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right) = \frac{1}{k}{\rm{I}} \end{array}\)

ধরি A, B এবং C ম্যাট্রিক্সগুলি হল a, b, এবং c স্কেলার এবং ম্যাট্রিক্সের আকারগুলি এমন হয় যাতে অপারেশনগুলি (ক্রিয়াগুলি) করা যেতে পারে

ম্যাট্রিক্স গুণের বৈশিষ্ট্য:

ম্যাট্রিক্স গুণের সংযোজন বৈশিষ্ট্য:

• A(BC) = (AB)C

গুণের বিভাজক বৈশিষ্ট্য:

• A(B + C) = AB + AC
• (A + B) C = AC + BC

AIn = InA = A,  In হল উপযুক্ত অভেদ ম্যাট্রিক্স

c(AB)= (cA)B = A(cB)

দ্রষ্টব্য: সাধারণভাবে AB ≠ BA, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স বর্গ এবং একই ক্রমে হলেও ম্যাট্রিক্সের গুণ পরিবর্তনশীল নয়।

ম্যাট্রিক্স যোগ এবং স্কেলার গুণের বৈশিষ্ট্য:

যোগের পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্য

• A + B = B + A

যোগের সংযোজন বৈশিষ্ট্য

• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + O = O + A যেখানে O হল উপযুক্ত শূন্য ম্যাট্রিক্স

যোগের বিভাজক বৈশিষ্ট্য

• c(A + B) = cA + cB
• (a + b) C = aC + bC

(ab)C = a(bc)

ধারণা:

দুটি ম্যাট্রিক্স A_{m × n} এবং B_{p × q}

যদি AB এবং BA সংজ্ঞায়িত করা হয় তাহলে p = n এবং q = m

গণনা:

প্রদত্ত:

AB এবং BA সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

তাই ম্যাট্রিক্স B এর ক্রম B_{n × m}

অনুসৃত ধারণা :

ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তর : যদি একটি ম্যাট্রিক্স \(B_{n×{m}}\) একটি ম্যাট্রিক্স \(A_{m×{n}}\) থেকে তার সারিগুলিকে কলামে এবং এর কলামগুলিকে সারিতে পরিবর্তন করে থাকে তবে ম্যাট্রিক্স \(B_{n×{m}}\) কে A এর স্থানান্তর বলা হয় এবং A^T বা A¹ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

ম্যাট্রিক্সের গুণন: যদি A = (a_ij) হয় m × n এর একটি ম্যাট্রিক্স এবং B ক্রম n × p এর একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে গুণফলের পর তাদের ক্রম m × p

ম্যাট্রিক্সের বিপরীত: শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য বিদ্যমান।

গণনা :

দেওয়া,

P3×2, Q3×4, এবং R3×4

P^T = P_2×3

QT = Q4×3

তাহলে, [Q(PTR)-1QT] = Q3× 4{[P2×3 × R3×4]-1Q4×3}

[Q(PTR)-1QT] = Q3×4 {(PR)2× 4}-1Q4×3

∵ [(PR)2×4] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স নয়, তাই এর বিপরীত সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

তাইজন্যে, ম্যাট্রিক্সের উপরের ক্রম থেকে আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে এটি অনির্ধারিত ম্যাট্রিক্স।