समतलों  \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=1\)और \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j})=-2\) तथा बिन्दु (1, 0, 2) के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण है:

गणना:

दिया गया है, समतल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=1\) और \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j})=-2\) है 

∴ समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों का परिवार है

\(\rm(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1)+\lambda(\vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j})+2)=0\)

⇒ \(\vec{r}[\hat{i}(1+\lambda)+\hat{j}(1-2\lambda)+\hat{k}(1)]-1+2\lambda=0\)

⇒ x(1 + λ) + y(1 - 2λ) + z - 1 + 2λ = 0

उपरोक्त वक्र (1, 0, 2) से गुजरता है

⇒ 1 + λ + 2 - 1 + 2λ = 0

⇒ λ = - 2/3

इसलिए, समतल का समीकरण है

\(\rm 3(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1)-2(\vec{r} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j})+2)=0\)

⇒ \(\rm \vec{r} \cdot(\hat{i}+7 \hat{j}+3 \hat{k})=7\)

∴ समतल का समीकरण \(\rm \vec{r} \cdot(\hat{i}+7 \hat{j}+3 \hat{k})=7\) है।​​

सही उत्तर विकल्प 2 है।