\(\rm \left( \frac {2}{x^2} - \sqrt x \right)^{10}\) के द्विपद  में x का स्वतंत्र पद किसके बराबर है?

संकल्पना:

(x + y)ⁿ = ⁿΣ_r=0 nC_r x^{n – r} · y^r 

स्वतंत्र पद में: चरों का घांत शून्य होगा। 

गणना:

 \(\rm \left( \frac {2}{x^2} - \sqrt x \right)^{10}=\sum 10C_r(\frac{2}{x^2})^{10-r}(-x^{1/2})^r\\ ⇒\sum 10C_r({2}{x^{-2}})^{10-r}(-x^{1/2})^r\\ ⇒\sum 10C_r({2}^{10-r}{x^{-20+2r}})(-x^{\frac{r}{2}})\\ ⇒\sum 10C_r({2}^{10-r}{x^{-20+2r+\frac{r}{2}}})(-1^{\frac{r}{2}})\\ \)

अब, स्वतंत्र पद के लिए, -20 + 2r + r/2 = 0

⇒(4r + r)/2 = 20

⇒ 5r = 40

⇒ r = 8

इसलिए, स्वतंत्र पद =

 \(\rm 10 C_r\times2^{10-r}\times (-1)^{r/2}\\ ⇒ 10 C_8\times2^{10-8}\times (-1)^{8/2}\\ ⇒ \frac{10!}{8!2!}\times2^{2}\times 1\\ ⇒\frac{10\times 9}{2}\times 4\\ ⇒180\)

अतः विकल्प (1) सही है।