\( \left(\frac{2 x^{3}−1}{x}\right)^{12}\) के प्रसार में x से स्वतंत्र पद कौन सा है ?

संकल्पना: द्विपद प्रसार

द्विपद (a + b) को निम्न रूप में घात n (n गैर-ऋणात्मक) तक प्रसारित  किया जा सकता है:

(a + b)ⁿ = \( \sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^r\)

जहाँ \( T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r\), (r + 1)^वाँ पद दर्शाता है। 

हल:

हमें \( \Big(\frac{2x^3-1}{x}\Big)^{12}\)= \( \Big(2x^2 -\frac{1}{x}\Big)^{12}\)प्राप्त होता है। 

⇒ a = 2x², b = \(\frac{-1}{x}\), n = 12

∴ \( T_{r+1}=\binom{12}{r}(2x^2)^{12-r}(\frac{-1}{x})^r\)

⇒ \( T_{r+1}=\binom{12}{r}2^{12-r}x^{(24-2r)}x^{-r}(-1)^{r}\)

⇒ \( T_{r+1}=(-1)^{r}\binom{12}{r}2^{12-r}x^{24-3r}\)

अब, पद के x से स्वतंत्र होने के लिए, x की घात शून्य होनी चाहिए। 

⇒ 24 - 3r = 0

⇒ 3r = 24

⇒ r = 8

∴ \(T_{9}\), x से स्वतंत्र है।

∴ x से स्वतंत्र पद 9^वाँ पद है।