बिंदुओं का वह समूह कौन-सा है जहाँ \(\rm f(x)=\frac{x}{1+|x|}\) अवकलनीय है?

संकल्पना:

• फलन की अवकलनीयता: एक फलन f(x) इसके डोमेन में x = a पर अवकलनीय तब होता है यदि इसका अवकलज a पर निरंतर होता है। 

  इसका अर्थ है कि f'(a) को मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:\(\rm \lim_{x\to a^+}f'(x)=\lim_{x\to a^-}f'(x)=\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)\).

• मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: \(\rm |x|=\left\{\begin{matrix}\rm \ \ \ x, &\rm x \geq 0\\ \rm -x, &\rm x<0\\\end{matrix}\right.\).

गणना:

मापांक फलन की परिभाषा का प्रयोग करने पर, दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है: \(\rm f(x)=\left\{\begin{matrix}\rm \frac{x}{1+x}, &\rm x > 0\\ \ \ \ \ 0,&\rm x=0\\ \rm \frac{x}{1-x}, &\rm x<0\\\end{matrix}\right.\).

चूँकि f(x) के लिए समीकरण x > 0 और x < 0 के लिए परिवर्तित होता है, इसलिए x → 0 के रूप में अवकलज की सीमाओं की तुलना करने पर। 

x > 0 के लिए, \(\rm f(x)=\frac{x}{1+x}\).

⇒ \(\rm f'(x)=x\left[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)\right]+\left(\frac{d}{dx}x\right)\frac{1}{1+x}\)

⇒ \(\rm f'(x)=x\frac{(-1)}{(1+x)^2}+\frac{1}{1+x}\)

⇒ \(\rm f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}\)

⇒ \(\rm \lim_{x\to0^+} f'(x)=1\).

उसीप्रकार, x < 0 के लिए, \(\rm f(x)=\frac{x}{1-x}\).

⇒ \(\rm \lim_{x\to0^-} f'(x)=\lim_{x\to0^-} \frac{1}{(1-x)^2}=1\).

चूँकि \(\rm \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}f'(x)=1\) है, इसलिए फलन f(x), x = 0 पर अवकलनीय है और f'(0) = 1 है। 

साथ ही, \(\rm \lim_{x\to \infty^+}f'(x)=\lim_{x\to \infty^-}f'(x)=0\).

∴ फलन (-∞, ∞) में अवकलनीय है, अर्थात् यह प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।