उस वृत्त का समीकरण क्या होगा जो तीन दिए गए वृत्तों x2 + y2 = 9, (x - 2)2 + y2 = 9 और x2 + (y - 3)2 = 9 को लंबकोणतः काटता है?

अवधारणा:

• लांबिकता की स्थिति = 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2
• दो वृत्तों के उभयनिष्ठ जीवा का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र होगा जो उन्हें लंबकोणतः काट देता है।
• वृत्त C₁ = 0 और C₂ = 0 के उभयनिष्ठ जीवा के लिए समीकरण C₁ - C₂ = 0 के रूप में लिखा जाएगा।
• वृत्त का त्रिज्या = \(\sqrt {{g^2} + {f^2} - c} \)

गणना:

दिया गया: C ₁ = x ² + y ² = 9;

C2 = (x - 2)2 + y2 = 9; अर्थात x2 + y2 - 4x - 5 = 0

C3 = x2 + (y - 3)2 = 9; अर्थात x2 + y2 - 6y = 0

तो उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण = C1 - C2 = 0

⇒ (x2 + y2 - 9) – (x2 + y2 - 4x - 5) = 0

⇒ 4x - 4 = 0 ⇒ x = 1

एक और उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण = C1 - C3 = 0

⇒ (x2 + y2- 9)-(x2 + y2 - 6y) = 0

⇒ 6y-9 = 0 ⇒ y = 3/2

तो वांछित वृत्त का केंद्र होगा (- g, - f) = (1, 3/2)

वांछित वृत्त का समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है

अब वृत्त C₁ के साथ वृत्त x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 के लांबिकता की स्थिति की जांच करें।

⇒ 2.g.0 + 2.f.0 = c - 9

तो c = 9

हमारे पास है \(g = - 1,\;f = \; - \frac{3}{2},\;{\bf{c}} = 9\)

वृत्त की त्रिज्या = \(\sqrt {{g^2} + {f^2} - c} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} - 9} \) = काल्पनिक

यह एक काल्पनिक संख्या होगी और किसी वृत्त की त्रिज्या काल्पनिक नहीं हो सकती।

इसलिए दिए गए तीन वृत्तों के लिए कोई भी लांबिक वृत्त मौजूद नहीं होगा।