मान लीजिए r त्रिज्या वाले एक वृत्त के अंतर्गत वर्ग का क्षेत्रफल x है और इसी वृत्त के अंतर्गत समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल y है। निम्नलिखित में से कौन-सा सही है ?

प्रयुक्त सूत्र:

पाइथागोरस प्रमेय:

कर्ण² = आधार² + लंब²

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) (भुजा)²

गणना:

स्थिति:1 

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

⇒ a² + a² = (2R)²

⇒ 2a² = 4R²

⇒ a = R√2

वर्ग का क्षेत्रफल = a²

⇒ x = 2R²

⇒ R = √(x/2)            -----(1)

स्थिति:2

एक Δ BOD में

चूँकि एक केंद्रीय कोण हमेशा परिधि के किनारे के कोण का दोगुना होगा। इसलिए, ∠BOC = 120° 

ΔBOC समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए, ∠BOD = ∠COD = 60° 

BD = R sin 60° = R (√3/2)

इसलिए, त्रिभुज की भुजा = 2 × R(√3/2) = R√3

⇒ y = (√3/4) (भुजा)²

⇒ y = (√3/4) (R√3)2 

⇒ y = (3√3/4)R²

समीकरण (1) से,

⇒ y = (3√3/4) × (x/2) 

⇒ (3√3)x = 8y

∴ 27x² = 64y²