यदि एक सम्मिश्र संख्या में arg(z) = $\frac{π}{3}$ है तथा वास्तविक और काल्पनिक भाग का गुणनफल 3√3 है, तो सम्मिश्र संख्या z का संयुग्म ज्ञात कीजिए।

Question

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Answer 1

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

z का मापांक = $| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{R e {(z)}^{2} + I m {(z)}^{2}}$
arg (z) = arg (x + iy) = $\tan^{- 1} (\frac{y}{x})$
z का संयुग्म = x - iy

गणना:

माना कि z = x + iy है।

प्रश्नानुसार

arg(z) = $\tan^{- 1} \frac{y}{x} = \frac{π}{3}$

⇒ $\frac{y}{x} = \tan \frac{π}{3}$

⇒ $\frac{y}{x} = \sqrt{3}$

⇒ y = $\sqrt{3}$ x

साथ ही दिया गया है xy = 3 $\sqrt{3}$

⇒ y = $\frac{3 \sqrt{3}}{x}$

y के मानों की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ $\frac{3 \sqrt{3}}{x} = \sqrt{3} x$

⇒ x² = 3

⇒ x = ± $\sqrt{3}$

∴ x = $\sqrt{3}$ {∵ arg(z) पहले चतुर्थांश में है, इसलिए ऋणात्मक मान को नजरअंदाज किया जाता है}

साथ ही y = $\sqrt{3}$ x = 3

सम्मिश्र संख्या z = x + iy = $\sqrt{3}$ + 3i

z का संयुग्म = (z̅) = $\boldsymbol \sqrt{3}$ - 3i