बिंदु A (1, 0, 2), B (2, 1, 1) और C (-1, 2, 1) से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

अवधारणा :

तीन गैर-संरेखीय बिंदु (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) के माध्यम से गुजरने वाले कार्टेशियन रूप में समतल का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है:

 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_1}}&{y - {y_1}}&{z - {z_1}}\\ {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\ {{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}}&{{z_3} - {z_1}} \end{array}} \right|\; = \;0\)

गणना :

यहां, हमें A (1, 0, 2), B (2, 1, 1) और C (-1, 2, 1) से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करना होगा।

यहाँ, x1 = 1, y1 = 0, z1 = 2, x2 = 2, y2 = 1, z2 = 1, x3 = - 1, y3 = 2 और z3 = 1।

जैसा कि हम जानते हैं कि तीन गैर-संरेखीय बिंदु (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) के माध्यम से गुजरने वाले कार्टेशियन रूप में समतल का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_1}}&{y - {y_1}}&{z - {z_1}}\\ {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\ {{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}}&{{z_3} - {z_1}} \end{array}} \right|\; = \;0\)

⇒\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {1}}&{y - {0}}&{z - {2}}\\ {1}&{1}&{-1}\\ {-2}&{2}&{-1} \end{array}} \right|\; = \;0\)

⇒ (x - 1) × (-1 + 2) - (y - 0) × (-1 - 2) + (z - 2) × (2 + 2) = 0

⇒ x - 1 + 3y + 4z - 8 = 0

⇒ x + 3y + 4z - 9 = 0

तो, आवश्यक समतल का समीकरण x + 3y + 4z - 9 = 0 है

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।