एक 33.33% ड्यूटी चक्र वाले आयताकार तरंग को स्पेक्ट्रम विश्लेषक के इनपुट पर दिया जाता है। क्या देखा जाएगा?

सिद्धांत:

ड्यूटी चक्र को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(\frac{{{T_{on}}}}{{{T_{on\;}} + {T_{off}}}}\), जहाँ T_on वह समय है जिसके लिए तरंग उच्च (1) है और T_off = वह समय जिसके लिए तरंग 0 या निम्न है

एक आवधिक सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी गुणांक इस प्रकार दिया गया है:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T}x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

गणना:

दिया गया ड्यूटी चक्र = 33.33%

\(ie.\frac{{{t_{on}}}}{{{t_{on}} + {t_{off}}}} = \frac{1}{3}\)

⇒ 3t_on = t_on + t_off

⇒ 2t_on = t_off ----(1)

इसके अलावा ⇒ t_on + t_off = T

⇒ t_on + 2t_on = T

3 t_on = T

\({t_{on}} = \frac{T}{3}\) ----(2)

तरंग नीचे दिखाए अनुसार होगी;

मान लीजिये,

A = दिए गए आयताकार तरंग का आयाम।

उपरोक्त तरंग का फूरियर श्रेणी गुणांक होगा:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T/3} A{e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

\(\frac{A}{T}\mathop \smallint \limits_0^{\frac{T}{3}} {e^{ - jk{\omega _o}t}}dt = \frac{A}{{T\left( { - jk{\omega _0}} \right)}}.\left( {{e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}} - 1} \right)\)

\(\frac{A}{{Tjk{\omega _0}}}\left[ {1 - {e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}}} \right]\)

जहाँ, \({\omega _o} = \frac{{2\pi }}{T}\)

\(= \frac{A}{{\frac{{Tjk2\pi }}{T}}}.[1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{3}\;\)

\(= \frac{A}{{jk2\pi }}\left[ {1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{3}} \right]\)