Exponential Fourier Series (EFS) MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Exponential Fourier Series (EFS) - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)

जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)

गणना:

\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)

\(x\left( t \right) = \frac{{1 + \cos \left( {2t} \right)}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)     ---- (1)

हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}{e^{j2t}} + \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)

अवधारणा :

किसी दिए गए फूरियर श्रृंखला गुणांक c_n के लिए संकेत निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^\infty {c_n}{e^{jn{\omega _0}t}}\)

उपरोक्त का विस्तार करते हुए, हम लिख सकते हैं:

\(x\left( t \right) = \ldots + {c_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {c_0} + {c_1}{e^{j{\omega _0}t}} + \ldots \)

ω₀ = मौलिक आवृत्ति

ω0 = 2 के लिए उपरोक्त विस्तार को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\(x\left( t \right) = \ldots + {c_{ - 1}}{e^{ - j2t}} + {c_0} + {c_1}{e^{j2t}} + \ldots \)     ---(1)

अनुप्रयोग:

\({\sin ^2}t = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2t}}{2}\)

sin²t की मौलिक अवधि होगी:

\({T_0} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \)

और मौलिक आवृत्ति ω0 = 2

sin ² t को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\({\sin ^2}t = {\left( {\frac{{{e^{jt}} - {e^{ - jt}}}}{{2j}}} \right)^2}\)

\({\sin ^2}t = \frac{{ - 1}}{4}\left( {{e^{2jt}} - 2 + {e^{ - 2jt}}} \right)\;\)      ---(2)

समीकरण (2) की तुलना समीकरण (1) के मानक व्यंजक से करते हुए हम लिख सकते हैं:

\({c_n} = \frac{{ - 1}}{4}\delta \left( {n - 1} \right) + \frac{1}{2}\delta \left( n \right) - \frac{1}{4}\delta \left( {n + 1} \right)\;\;\)

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)

जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)

गणना:

\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)     ---- (1)

हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}{e^{j2t}} - \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)

संप्रत्यय:

एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:

इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,

\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T}x\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt\)

\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{0.5T}A{{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt=-\frac{A}{Tn{{\omega }_{o}}}\left. {{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}} \right|_{0}^{\frac{T}{2}}\)

\(=-\frac{A}{jn2\pi }\left[ {{e}^{-jn}}.\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}-1 \right]\)

\(=-\frac{A}{j2n\pi }\left[ {{e}^{-jn\pi }}-1 \right]\)

\(=\frac{Aj}{2\pi n}\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}-1 \right]\)

|C_n| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,

\(\left| {{C}_{n}} \right|=\frac{A}{\pi n},~यदि~n~विषम~है।\)

|C_n| = 0, यदि n सम है।

उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,

\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}x\left( t \right)dt\)

\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}Adt=\frac{1}{T}.\frac{T}{2}.A=\frac{A}{2}=0.5A\)

इस मान का 10% 0.05 A है

अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,

\(\Rightarrow 0.05A<\frac{A}{\pi n}\)

इसलिए, n < 6.366।

इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,

लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f₀ = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।

और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।

और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।

सिद्धांत:

ड्यूटी चक्र को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(\frac{{{T_{on}}}}{{{T_{on\;}} + {T_{off}}}}\), जहाँ T_on वह समय है जिसके लिए तरंग उच्च (1) है और T_off = वह समय जिसके लिए तरंग 0 या निम्न है

एक आवधिक सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी गुणांक इस प्रकार दिया गया है:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T}x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

गणना:

दिया गया ड्यूटी चक्र = 33.33%

\(ie.\frac{{{t_{on}}}}{{{t_{on}} + {t_{off}}}} = \frac{1}{3}\)

⇒ 3t_on = t_on + t_off

⇒ 2t_on = t_off ----(1)

इसके अलावा ⇒ t_on + t_off = T

⇒ t_on + 2t_on = T

3 t_on = T

\({t_{on}} = \frac{T}{3}\) ----(2)

तरंग नीचे दिखाए अनुसार होगी;

मान लीजिये,

A = दिए गए आयताकार तरंग का आयाम।

उपरोक्त तरंग का फूरियर श्रेणी गुणांक होगा:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T/3} A{e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

\(\frac{A}{T}\mathop \smallint \limits_0^{\frac{T}{3}} {e^{ - jk{\omega _o}t}}dt = \frac{A}{{T\left( { - jk{\omega _0}} \right)}}.\left( {{e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}} - 1} \right)\)

\(\frac{A}{{Tjk{\omega _0}}}\left[ {1 - {e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}}} \right]\)

जहाँ, \({\omega _o} = \frac{{2\pi }}{T}\)

\(= \frac{A}{{\frac{{Tjk2\pi }}{T}}}.[1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{3}\;\)

\(= \frac{A}{{jk2\pi }}\left[ {1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{3}} \right]\)

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)

जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)

गणना:

\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)     ---- (1)

हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}{e^{j2t}} - \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)

संप्रत्यय:

एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:

इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,

\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T}x\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt\)

\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{0.5T}A{{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt=-\frac{A}{Tn{{\omega }_{o}}}\left. {{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}} \right|_{0}^{\frac{T}{2}}\)

\(=-\frac{A}{jn2\pi }\left[ {{e}^{-jn}}.\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}-1 \right]\)

\(=-\frac{A}{j2n\pi }\left[ {{e}^{-jn\pi }}-1 \right]\)

\(=\frac{Aj}{2\pi n}\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}-1 \right]\)

|C_n| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,

\(\left| {{C}_{n}} \right|=\frac{A}{\pi n},~यदि~n~विषम~है।\)

|C_n| = 0, यदि n सम है।

उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,

\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}x\left( t \right)dt\)

\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}Adt=\frac{1}{T}.\frac{T}{2}.A=\frac{A}{2}=0.5A\)

इस मान का 10% 0.05 A है

अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,

\(\Rightarrow 0.05A<\frac{A}{\pi n}\)

इसलिए, n < 6.366।

इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,

लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f₀ = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।

और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।

और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।

सिद्धांत:

ड्यूटी चक्र को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(\frac{{{T_{on}}}}{{{T_{on\;}} + {T_{off}}}}\), जहाँ T_on वह समय है जिसके लिए तरंग उच्च (1) है और T_off = वह समय जिसके लिए तरंग 0 या निम्न है

एक आवधिक सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी गुणांक इस प्रकार दिया गया है:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T}x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

गणना:

दिया गया ड्यूटी चक्र = 33.33%

\(ie.\frac{{{t_{on}}}}{{{t_{on}} + {t_{off}}}} = \frac{1}{3}\)

⇒ 3t_on = t_on + t_off

⇒ 2t_on = t_off ----(1)

इसके अलावा ⇒ t_on + t_off = T

⇒ t_on + 2t_on = T

3 t_on = T

\({t_{on}} = \frac{T}{3}\) ----(2)

तरंग नीचे दिखाए अनुसार होगी;

मान लीजिये,

A = दिए गए आयताकार तरंग का आयाम।

उपरोक्त तरंग का फूरियर श्रेणी गुणांक होगा:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T/3} A{e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

\(\frac{A}{T}\mathop \smallint \limits_0^{\frac{T}{3}} {e^{ - jk{\omega _o}t}}dt = \frac{A}{{T\left( { - jk{\omega _0}} \right)}}.\left( {{e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}} - 1} \right)\)

\(\frac{A}{{Tjk{\omega _0}}}\left[ {1 - {e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}}} \right]\)

जहाँ, \({\omega _o} = \frac{{2\pi }}{T}\)

\(= \frac{A}{{\frac{{Tjk2\pi }}{T}}}.[1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{3}\;\)

\(= \frac{A}{{jk2\pi }}\left[ {1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{3}} \right]\)

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)

जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)

गणना:

\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)     ---- (1)

हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}{e^{j2t}} - \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)

घातांकीय फॉरियर श्रृंखला गुणांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\({C_n} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x\left( t \right){e^{ - jn{\omega _0}t}}dt\)

\({C_{ - n}} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x\left( t \right){e^{jn{\omega _0}t}}dt\)

उपरोक्त समीकरण से C_n और C_-n सम्मिश्र संयुग्म हैं।

C_n = C^*_n

इसलिए, |C_n| = |C_-n|

परिमाण वर्णक्रम सममितीय होता है।

\(\begin{array}{l} {C_n} = \left| {{C_n}} \right|{e^{j{\theta _n}}}\\ {C_{ - n}} = \left| {{C_n}} \right|{e^{ - j{\theta _n}}} \end{array}\)

C_n का चरण θ_n है, हालाँकि C_-n का चरण -θ_n है। अतः चरण वर्णक्रम प्रतिसममितीय है।

अवधारणा :

किसी दिए गए फूरियर श्रृंखला गुणांक c_n के लिए संकेत निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^\infty {c_n}{e^{jn{\omega _0}t}}\)

उपरोक्त का विस्तार करते हुए, हम लिख सकते हैं:

\(x\left( t \right) = \ldots + {c_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {c_0} + {c_1}{e^{j{\omega _0}t}} + \ldots \)

ω₀ = मौलिक आवृत्ति

ω0 = 2 के लिए उपरोक्त विस्तार को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\(x\left( t \right) = \ldots + {c_{ - 1}}{e^{ - j2t}} + {c_0} + {c_1}{e^{j2t}} + \ldots \)     ---(1)

अनुप्रयोग:

\({\sin ^2}t = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2t}}{2}\)

sin²t की मौलिक अवधि होगी:

\({T_0} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \)

और मौलिक आवृत्ति ω0 = 2

sin ² t को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\({\sin ^2}t = {\left( {\frac{{{e^{jt}} - {e^{ - jt}}}}{{2j}}} \right)^2}\)

\({\sin ^2}t = \frac{{ - 1}}{4}\left( {{e^{2jt}} - 2 + {e^{ - 2jt}}} \right)\;\)      ---(2)

समीकरण (2) की तुलना समीकरण (1) के मानक व्यंजक से करते हुए हम लिख सकते हैं:

\({c_n} = \frac{{ - 1}}{4}\delta \left( {n - 1} \right) + \frac{1}{2}\delta \left( n \right) - \frac{1}{4}\delta \left( {n + 1} \right)\;\;\)

संप्रत्यय:

एक एकध्रुवीय वर्गाकार घड़ी का तरंगरूप इस प्रकार दिखाया गया है:

इस आवधिक तरंगरूप के लिए घातीय फूरियर श्रेणी गुणांक की गणना करते हुए, हमें प्राप्त होता है,

\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T}x\left( t \right){{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt\)

\({{C}_{n}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{0.5T}A{{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}}dt=-\frac{A}{Tn{{\omega }_{o}}}\left. {{e}^{-jn{{\omega }_{o}}t}} \right|_{0}^{\frac{T}{2}}\)

\(=-\frac{A}{jn2\pi }\left[ {{e}^{-jn}}.\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}-1 \right]\)

\(=-\frac{A}{j2n\pi }\left[ {{e}^{-jn\pi }}-1 \right]\)

\(=\frac{Aj}{2\pi n}\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}-1 \right]\)

|C_n| का परिमाण इस प्रकार परिभाषित है,

\(\left| {{C}_{n}} \right|=\frac{A}{\pi n},~यदि~n~विषम~है।\)

|C_n| = 0, यदि n सम है।

उपरोक्त तरंग का औसत मान इस प्रकार दिया गया है,

\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}x\left( t \right)dt\)

\({{x}_{avg.}}=\frac{1}{T}\mathop{\int }_{0}^{T/2}Adt=\frac{1}{T}.\frac{T}{2}.A=\frac{A}{2}=0.5A\)

इस मान का 10% 0.05 A है

अब, दी गई शर्त से हमारे पास है,

\(\Rightarrow 0.05A<\frac{A}{\pi n}\)

इसलिए, n < 6.366।

इसलिए, अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 है,

लेकिन, दी गई क्लॉक पल्स एक अर्ध-तरंग सममित तरंग है जो केवल f₀ = 250 MHz के विषम हार्मोनिक्स उत्पन्न करेगी।

और अधिकतम स्वीकार्य हार्मोनिक 6.366 से कम उच्चतम संभव हार्मोनिक 5 है।

और 250 MHz का पाँचवाँ (5वाँ) हार्मोनिक 1250 MHz है। इसलिए, बोर्ड को 1250 MHz के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए।

सिद्धांत:

ड्यूटी चक्र को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(\frac{{{T_{on}}}}{{{T_{on\;}} + {T_{off}}}}\), जहाँ T_on वह समय है जिसके लिए तरंग उच्च (1) है और T_off = वह समय जिसके लिए तरंग 0 या निम्न है

एक आवधिक सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी गुणांक इस प्रकार दिया गया है:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T}x\left( t \right){e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

गणना:

दिया गया ड्यूटी चक्र = 33.33%

\(ie.\frac{{{t_{on}}}}{{{t_{on}} + {t_{off}}}} = \frac{1}{3}\)

⇒ 3t_on = t_on + t_off

⇒ 2t_on = t_off ----(1)

इसके अलावा ⇒ t_on + t_off = T

⇒ t_on + 2t_on = T

3 t_on = T

\({t_{on}} = \frac{T}{3}\) ----(2)

तरंग नीचे दिखाए अनुसार होगी;

मान लीजिये,

A = दिए गए आयताकार तरंग का आयाम।

उपरोक्त तरंग का फूरियर श्रेणी गुणांक होगा:

\({c_k} = \frac{1}{T}\mathop \smallint \limits_0^{T/3} A{e^{ - jk{\omega _o}t}}dt\)

\(\frac{A}{T}\mathop \smallint \limits_0^{\frac{T}{3}} {e^{ - jk{\omega _o}t}}dt = \frac{A}{{T\left( { - jk{\omega _0}} \right)}}.\left( {{e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}} - 1} \right)\)

\(\frac{A}{{Tjk{\omega _0}}}\left[ {1 - {e^{ - \frac{{jk{\omega _0}T}}{3}}}} \right]\)

जहाँ, \({\omega _o} = \frac{{2\pi }}{T}\)

\(= \frac{A}{{\frac{{Tjk2\pi }}{T}}}.[1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{3}\;\)

\(= \frac{A}{{jk2\pi }}\left[ {1 - {e^{ - jk}}\frac{{2\pi }}{3}} \right]\)

हम जानते हैं कि

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty {a_k}.{e^{Jk{\omega _0}t}}\)

a_k = फूरियर श्रृंखला गुणांक 

ω₀ = मौलिक आवृत्ति 

\({\omega _0} = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\)

\(x\left( t \right) = {a_1}{e^{j{\omega _0}t}} + {a_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {a_5}{e^{j5{\omega _0}t}} + {a_{ - 5}}{e^{ - j5{\omega _0}t}}\)

\(= 4{e^{j\frac{\pi }{2}t}} + 4{e^{ - \frac{{j\pi }}{2}t}} + j{e^{\frac{{j5\pi }}{2}t}} + j{e^{ - \frac{{j5\pi }}{2}t}}\)

\(= 8\left[ {\frac{{{e^{j\frac{\pi }{2}t}} + {e^{ - j\frac{\pi }{2}t}}}}{2}} \right] + j \times 2j\left[ {\frac{{{e^{j\frac{{5\pi }}{2}t}} - {e^{ - j\frac{{5\pi }}{2}t}}}}{{2j}}} \right]\)

\(x\left( t \right) = 8\cos \frac{\pi }{2}t - 2\sin \frac{{5\pi }}{2}t\)

धारणा:

मौलिक अवधि To के साथ एक आवधिक सिग्नल x(t) की जटिल चरघातांकीय फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व इसके द्वारा दिया जाता है,

\(x\left( t \right) = \mathop \sum \limits_{ - \infty }^{ + \infty } {C_k}{e^{jk{\omega _0}t}}\;\)

जहाँ\(\;{\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\)

अब k का मान रखकर और ऊपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करके हम प्राप्त करते हैं-

\(x\left( t \right) = \ldots + {C_{ - 2}}{e^{ - j2{\omega _0}t}} + {C_{ - 1}}{e^{ - j{\omega _0}t}} + {C_0} + {C_1}{e^{2{\omega _0}t}} + {C_2}{e^{j2{\omega _0}t}} + \ldots \)

गणना:

\(x\left( t \right) = si{n^2}\left( t \right)\)

\(x\left( t \right) = \frac{{1 + \cos \left( {2t} \right)}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{{{\rm{cos}}\left( {2t} \right)}}{2}\)     ---- (1)

हम जानते हैं कि, \(\cos t = \frac{{{e^{jt}} + {e^{ - jt}}}}{2}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{{{e^{j2t}} + {e^{ - j2t}}}}{4}\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}{e^{j2t}} + \frac{1}{4}{e^{ - j2t}}\)

फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करके

हमें मिला \({C_0} = \frac{1}{2}\)