Integration using Substitution MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Integration using Substitution - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

I = $\int \frac{\tan x+\tan \alpha }{\tan x-\tan \alpha }\mathrm{d}x$ అనుకుందాం

= $\int \frac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}dx$

= $\int \frac{\sin x\cos \alpha +\sin \alpha \cos x}{\sin x\cos \alpha -\sin \alpha \cos x}\mathrm{d}x$

= $\int \frac{\sin (x+\alpha )}{\sin (x-\alpha )}dx$

x - α = t అనుకుందాం

∴ I = $\int \frac{\sin (t+2\alpha )}{\sin t}dt$

= $\int \frac{\sin (t)\cos 2\alpha +\cos (t)\sin 2\alpha }{\sin (t)}dt$

= $\cos 2\alpha \int 1dt+\sin 2\alpha \int \cot (\mathrm{t})\mathrm{dt}$

= $\cos 2\alpha \cdot \mathrm{t}+\sin 2\alpha \cdot \log |\sin (\mathrm{t})|+\mathrm{c}$

∴ $\mathrm{I}=(x-\alpha )\cos 2\alpha +\log |\sin (x-\alpha )|\sin 2\alpha +\mathrm{c}$

కానీ $\int \frac{\tan x+\tan \alpha }{\tan x-\tan \alpha }\mathrm{d}x=\mathrm{A}(x)\cos 2\alpha +\mathrm{B}(x)\sin 2\alpha +\mathrm{c}$ .... [ఇవ్వబడింది]

⇒ A(x) = x - α, B(x) = log |sin (x - α)| + c

∴ A(x) మరియు B(x) ప్రమేయాలు వరుసగా x - α మరియు log |sin(x − α)|.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\sin }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C$

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన,

∫(cos x - sin x)/ $\sqrt{8-\sin 2\mathrm{x})}$ dx = a sin -1 (sin x + cos x)/b + c

I = ∫(cos x - sin x)/ $\sqrt{8-\sin 2\mathrm{x})}$ dx అని అనుకుందాం.

sin x + cos x = t ⇒ (cos x -sin x ) dx = dt అని ఉంచండి.

మరియు, 1 + sin 2x = t2

⇒ I = ∫dt/√(8-(t2 -1))

= ∫dt/(9-t2 )

= sin-1 (t/3) + c

= sin-1 (sin x + cos x)/3 + c = a sin-1 (sin x + cos x)/b + c

⇒ a = 1 మరియు b = 3

∴ క్రమ జత (a, b) (1, 3)కి సమానం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన: 

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)\mathrm{d}({\mathrm{x}}^2)$      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2)\mathrm{d}\mathrm{u}$

⇒ u + $\frac{{\mathrm{u}}^2}{2}$ + $\frac{{\mathrm{u}}^3}{3}$+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ $\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C.

భావన: 

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)\mathrm{d}({\mathrm{x}}^2)$      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2)\mathrm{d}\mathrm{u}$

⇒ u + $\frac{{\mathrm{u}}^2}{2}$ + $\frac{{\mathrm{u}}^3}{3}$+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ $\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C.

భావన:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\sin }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C$

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన,

∫(cos x - sin x)/ $\sqrt{8-\sin 2\mathrm{x})}$ dx = a sin -1 (sin x + cos x)/b + c

I = ∫(cos x - sin x)/ $\sqrt{8-\sin 2\mathrm{x})}$ dx అని అనుకుందాం.

sin x + cos x = t ⇒ (cos x -sin x ) dx = dt అని ఉంచండి.

మరియు, 1 + sin 2x = t2

⇒ I = ∫dt/√(8-(t2 -1))

= ∫dt/(9-t2 )

= sin-1 (t/3) + c

= sin-1 (sin x + cos x)/3 + c = a sin-1 (sin x + cos x)/b + c

⇒ a = 1 మరియు b = 3

∴ క్రమ జత (a, b) (1, 3)కి సమానం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

భావన: 

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)\mathrm{d}({\mathrm{x}}^2)$      ....(i)

గణన:

x2 = u అనుకోండి

సమీకరణం (i) నుండి

​$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2)\mathrm{d}\mathrm{u}$

⇒ u + $\frac{{\mathrm{u}}^2}{2}$ + $\frac{{\mathrm{u}}^3}{3}$+ C

ఇప్పుడు u యొక్క విలువను ప్రతిక్షేపించగా,

​⇒ $\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C

∴ అవసరమైన సమాకలనం x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C.

భావన:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\sin }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C$

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన,

∫(cos x - sin x)/ $\sqrt{8-\sin 2\mathrm{x})}$ dx = a sin -1 (sin x + cos x)/b + c

I = ∫(cos x - sin x)/ $\sqrt{8-\sin 2\mathrm{x})}$ dx అని అనుకుందాం.

sin x + cos x = t ⇒ (cos x -sin x ) dx = dt అని ఉంచండి.

మరియు, 1 + sin 2x = t2

⇒ I = ∫dt/√(8-(t2 -1))

= ∫dt/(9-t2 )

= sin-1 (t/3) + c

= sin-1 (sin x + cos x)/3 + c = a sin-1 (sin x + cos x)/b + c

⇒ a = 1 మరియు b = 3

∴ క్రమ జత (a, b) (1, 3)కి సమానం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

గణన:

I = $\int \frac{\tan x+\tan \alpha }{\tan x-\tan \alpha }\mathrm{d}x$ అనుకుందాం

= $\int \frac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}dx$

= $\int \frac{\sin x\cos \alpha +\sin \alpha \cos x}{\sin x\cos \alpha -\sin \alpha \cos x}\mathrm{d}x$

= $\int \frac{\sin (x+\alpha )}{\sin (x-\alpha )}dx$

x - α = t అనుకుందాం

∴ I = $\int \frac{\sin (t+2\alpha )}{\sin t}dt$

= $\int \frac{\sin (t)\cos 2\alpha +\cos (t)\sin 2\alpha }{\sin (t)}dt$

= $\cos 2\alpha \int 1dt+\sin 2\alpha \int \cot (\mathrm{t})\mathrm{dt}$

= $\cos 2\alpha \cdot \mathrm{t}+\sin 2\alpha \cdot \log |\sin (\mathrm{t})|+\mathrm{c}$

∴ $\mathrm{I}=(x-\alpha )\cos 2\alpha +\log |\sin (x-\alpha )|\sin 2\alpha +\mathrm{c}$

కానీ $\int \frac{\tan x+\tan \alpha }{\tan x-\tan \alpha }\mathrm{d}x=\mathrm{A}(x)\cos 2\alpha +\mathrm{B}(x)\sin 2\alpha +\mathrm{c}$ .... [ఇవ్వబడింది]

⇒ A(x) = x - α, B(x) = log |sin (x - α)| + c

∴ A(x) మరియు B(x) ప్రమేయాలు వరుసగా x - α మరియు log |sin(x − α)|.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.