Multiple Pythagorean Identities MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Multiple Pythagorean Identities - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது:

x = p sec A cos B, y = q sec A sin B, z = r tan A

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது:

(x² / p²) + (y² / q²) - (z² / r²)

தீர்வு:

x, y மற்றும் z மதிப்புகளை சமன்பாட்டில் பிரதியிடவும்:

x² / p² = (p sec A cos B)² / p² = sec² A cos² B

y² / q² = (q sec A sin B)² / q² = sec² A sin² B

z² / r² = (r tan A)² / r² = tan² A

சமன்பாடு இப்படி மாறும்:

(sec² A cos² B) + (sec² A sin² B) - (tan² A)

பதங்களைச் சுருக்கு:

sec² A (cos² B + sin² B) - tan² A

முக்கோணவியல் அடையாளம் cos² B + sin² B = 1 ஐப் பயன்படுத்தி:

sec² A x 1 - tan² A

அடையாளம் sec² A - tan² A = 1 ஐப் பயன்படுத்தி:

sec² A - tan² A = 1

சமன்பாட்டின் மதிப்பு 1.

கணக்கீடு:

⇒ $\frac{cosA(1+sinA)+cosA(1-sinA)}{(1+sinA)(1-sinA)}$ = 4

⇒ $\frac{cosA+cosA.sinA+cosA-cosAsinA}{(1-sinA)(1+sinA)}$ = 4

⇒ 2/cosA = 4

⇒ cosA = 1/2

⇒ A = 60° 

∴ சரியான பதில் 60°.

கணக்கீடு:

$\frac{\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}}{\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}}=\frac{2}{5}$

⇒ $\frac{\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}}{\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}}=\frac{5}{2}$ 

C & D விதியைப் பயன்படுத்தினால், நாங்கள் பெறுவது

⇒ $\frac{\sin \mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}=\frac{5+2}{5-2}$ 

⇒ tan x = 7/3

⇒ cot x = 3/7

இப்போது, மதிப்பு

 $\frac{1+{\cot }^2\mathrm{x}}{1-{\cot }^2\mathrm{x}}$

⇒ $\frac{1+(\frac{3}{7}{)}^2}{1-(\frac{3}{7}{)}^2}$ 

⇒ 58/40

⇒ 1.45

∴ சரியான பதில் 1.45

கொடுக்கப்பட்டது:

$\frac{1+si{n}^4\theta +co{s}^4\theta }{co{s}^2\theta +si{n}^4\theta }$

பயன்படுத்தப்படும் வாய்பாடு:

Sin2 θ = (1 - cos2 θ)

Cos2 θ  = (1 - sin2 θ)

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

கணக்கீடு:

⇒ (1 + sin4 θ + cos 4 θ)/(cos2 θ + sin4 θ)

⇒ {1 + sin4 θ + (1 - sin2 θ)2}/(cos2 θ + sin4 θ)

⇒  {1 + sin4 θ + 1 + sin4 θ - 2 sin2 θ)}/(cos2 θ + sin4 θ)

⇒ {2 + 2 sin 4 θ - 2 × (1 - cos2 θ)}/(cos2 θ + sin4 θ)

⇒  {2 + 2 sin 4 θ - 2 + 2cos2 θ}/(cos2 θ + sin4 θ)

⇒  {2 sin 4 θ + 2cos2 θ}/(cos2 θ + sin4 θ)

⇒ 2 × {sin 4 θ + cos2 θ}(cos2 θ + sin4 θ)

⇒ 2

∴ சரியான பதில் 2.

Shortcut Trickகணக்கீடு:

⇒ (1 + sin4 θ + cos 4 θ)/(cos2 θ + sin4 θ)

θ இன் மதிப்பு = 90° ஆக இருக்கட்டும்

⇒ (1 + sin4 90° + cos 4 90°)/(cos2 90° + sin4 90°)

⇒ (1 + 1 + 0)/(0 + 1)

⇒ 2

∴ சரியான பதில் 2.

கொடுக்கப்பட்டது:

sin θ + cosec θ = √5

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

x 3 + 1/x 3 = (x + 1/x) 3 - 3(x + 1/x)

கணக்கீடு:

sin θ + cosec θ = √5

⇒ sin θ + 1/sin θ = √5

இப்போது,

sin3 θ + 1/sin3 θ = (√5)3 - 3(√5)

⇒ 5√5 - 3√5 = 2√5

∴ தேவையான பதில் 2 √5.

கொடுக்கப்பட்டது:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ
பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

1. tanα = sinα/cosα

2. cotα = 1/tanα

3. secα = 1/cosα

4. cosecα = 1/sinα

5. (a + b)2 - 2ab = a2 + b2

6. sin2α + cos2α = 1

கணக்கீடு:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ
$\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }+\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }-\frac{1}{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

⇒ $\frac{si{n}^4\theta +co{s}^4\theta -1}{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

$\frac{(si{n}^2\theta +co{s}^2\theta {)}^2-2si{n}^2\theta co{s}^2\theta -1}{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

$\frac{(1{)}^2-2si{n}^2\theta co{s}^2\theta -1}{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

⇒ $\frac{-2si{n}^2\theta co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta \times co{s}^2\theta }$

⇒ -2

∴ தேவையான பதில் -2.

Shortcut Trick 

இந்தக் கேள்வியைத் தீர்க்க மதிப்பு வைக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தவும்,

θ = 45° ஐப் பயன்படுத்தவும்

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ
⇒ 12 + 12  - (√2)2(√2)2

⇒ 1 + 1 - 4

⇒ 2 - 4 = - 2

∴ இந்தக் கேள்விக்கான சரியான பதில் -2.

கொடுக்கப்பட்டது:

a cot θ + b cosec θ = p

b cot θ + a cosec θ = q

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

Cosec² θ - cot² θ = 1

கணக்கீடு:

a cot θ + b cosec θ = p

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்துதல்

(a cot θ + b cosec θ)² = (p)²

a2 cot2 θ  + b2 cosec2 θ  + 2 × ab cot θ × cosec θ = p2 ----- (1)

b cot θ + a cosec θ = q

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்துதல்

(b cot θ + a cosec θ)² = (q)²

b2 cot2 θ  + a2 cosec2 θ  + 2 × ab cot θ × cosec θ = q2 ----- (2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)ஐ கழித்தல்

⇒ (p2 - q2) = a2 cot2 θ  + b2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ - (b2 cot2 θ + a2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ)

⇒ a2 cot2 θ - a2 cosec2 θ + b2 cosec2 θ - b2 cot2 θ 

∴ சரியான விருப்பம் 3.

கொடுக்கப்பட்டது:

sec² A + tan² A = $\frac{4}{17}$

பயன்படுத்தப்படும் கருத்து:

sec2 A - tan2 A = 1

a² - b² = (a + b)(a - b)

கணக்கீடு:

⇒ sec⁴ A - tan⁴ A = (sec² A + tan² A )(sec² A - tan² A )

⇒ sec⁴ A - tan⁴ A = 4/17 × 1

⇒ sec⁴ A - tan⁴ A = 4/17

∴ விருப்பம் 3 சரியான பதில்.

கணக்கீடு:

⇒ $\frac{cosA(1+sinA)+cosA(1-sinA)}{(1+sinA)(1-sinA)}$ = 4

⇒ $\frac{cosA+cosA.sinA+cosA-cosAsinA}{(1-sinA)(1+sinA)}$ = 4

⇒ 2/cosA = 4

⇒ cosA = 1/2

⇒ A = 60° 

∴ சரியான பதில் 60°.

கொடுக்கப்பட்டது:

tan A + cot A = 2

கணக்கீடு:

கேள்வியின் படி,

எங்களிடம் டான் A + கட்டில் A = 2 உள்ளது

இருபுறமும் ஸ்கொயர், நாம் பெறுகிறோம்

⇒ (tan A + cot A)2 = (2)2

⇒ tan2 A + cot2 A + 2(tan A)(cot A) = 4

⇒ tan2 A + cot2 A + 2(tan A)(1/tan A) = 4

⇒ tan2 A + cot2 A + 2 = 4

⇒ tan2 A + cot2 A = 2

இப்போது,

2(tan2 A + cot2 A) = 2 × 2

⇒ 4

∴ 2(tan2 A + cot2 A)  இன் மதிப்பு 4 ஆகும் .

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:​

sin⁴ θ + cos⁴ θ = (sin2θ + cos2θ)2 - 2 sin2  θ × cos2 θ = 1 - 2 sin² θ × cos² θ

கணக்கீடு:

(sin4 θ + cos4 θ)/(1 - 2 sin2 θ × cos2 θ)  

⇒ (1 - 2 sin2 θ × cos2 θ)/(1 - 2 sin2 θ × cos2 θ)

⇒ 1

∴ சரியான பதில் 1.

கொடுக்கப்பட்டது:

sin θ + cosec θ = √5

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

x 3 + 1/x 3 = (x + 1/x) 3 - 3(x + 1/x)

கணக்கீடு:

sin θ + cosec θ = √5

⇒ sin θ + 1/sin θ = √5

இப்போது,

sin3 θ + 1/sin3 θ = (√5)3 - 3(√5)

⇒ 5√5 - 3√5 = 2√5

∴ தேவையான பதில் 2 √5.

கொடுக்கப்பட்டது:

tan2 θ + tan4 θ = 1

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

tan2 θ + 1 = sec2 θ

கணக்கீடு:

⇒ tan2 θ + tan4 θ = 1

⇒ tan2 θ (1 + tan2 θ) = 1

⇒ tan2 θ × sec2 θ = 1

⇒ tan2 θ = 1/sec2 θ = cos2 θ 

இப்போது சமன்பாட்டில் tan2 θ  இன் மதிப்பை பிரதியிட:

⇒ tan2 θ + tan4 θ = 1

⇒ tan2 θ + (tan2)2 θ = 1

⇒ cos2 θ + (cos2)2 θ = 1

⇒ cos2 θ + cos4 θ = 1

∴ சரியான விருப்பம் 2.

கணக்கீடு:

$\frac{\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}}{\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}}=\frac{2}{5}$

⇒ $\frac{\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}}{\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}}=\frac{5}{2}$ 

C & D விதியைப் பயன்படுத்தினால், நாங்கள் பெறுவது

⇒ $\frac{\sin \mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}=\frac{5+2}{5-2}$ 

⇒ tan x = 7/3

⇒ cot x = 3/7

இப்போது, மதிப்பு

 $\frac{1+{\cot }^2\mathrm{x}}{1-{\cot }^2\mathrm{x}}$

⇒ $\frac{1+(\frac{3}{7}{)}^2}{1-(\frac{3}{7}{)}^2}$ 

⇒ 58/40

⇒ 1.45

∴ சரியான பதில் 1.45

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

sin 90° = 1, cos 90° = 0

கணக்கீடு:

θ = 90° பிரதியிட, நாம் பெறுவது

12(sin4 θ  + cos4 θ) + 18(sin6 θ + cos6 θ) + 78 sin2 θ cos2 θ

⇒ 12(sin4 90°  + cos4 90°) + 18(sin6 90° + cos6 90°) + 78 sin2 90° cos2 90°

⇒ 12 × 1 + 18 × 1 = 30

∴ சரியான விருப்பம் 1