विभाज्यता आणि बाकी MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Divisibility and Remainder - मोफत PDF डाउनलोड करा

वापरलेली संकल्पना:

11 चा विभाज्यता नियम​:

जर एखाद्या संख्येच्या एकांतरित अंकांच्या बेरजेचा फरक 11 ने विभाज्य असेल, तर ती संख्या 11 ने पूर्णत: विभाज्य आहे.

गणना:

13y7 ही 11 ने विभाज्य आहे,

म्हणून, 13y7 = 1 + y = 3 + 7

⇒ y = 10 - 1 = 9

ती संख्या 1397 आहे.

प्रश्नानुसार,

4x3 + 984 = 1397

⇒ 4x3 = 1397 - 984

⇒ 4x3 = 413

⇒ x = 1

आता, (x + y) = 1 + 9 = 10

∴ (x + y) = 10

दिलेले आहे:

8-अंकी संख्या = 256139A4

वापरलेली संकल्पना:

11 ची विभाज्यता कसोटी - संख्येमधील वैकल्पिक अंकांची बेरीज घ्या, डावीकडून उजवीकडे वाचा. जर त्यास 11 ने निःशेष भाग जात असेल तर ती मूळ संख्या आहे.

गणना:

प्रश्नानुसार

8-अंकी संख्या = 256139A4

⇒ (2 + 6 + 3 + A) = (5 + 1 + 9 + 4)

⇒ 11 + A = 19

⇒ A = (19 – 11)

⇒ A = 8

∴ A चे आवश्यक मूल्य 8 आहे

वापरलेली संकल्पना:

जर एखाद्या संख्येतील विषम स्थानांवरील अंकांच्या बेरजेचा आणि सम स्थानांवरील अंकांच्या बेरजेचा फरक 0 असेल किंवा त्याला 11 ने निःशेष भाग जात असेल, तर ती संख्या 11 ने विभाज्य असते.

गणना:

5621 साठी:

विषम स्थानांवरील अंक = 5, 2 आणि सम स्थानांवरील अंक = 6, 1

विषम स्थानांवरील अंकांची बेरीज = 5 + 2 = 7

सम स्थानांवरील अंकांची बेरीज = 6 + 1 = 7

फरक = |7 - 7| = 0

म्हणून, 5621 ही संख्या 11 ने विभाज्य आहे.

3273 साठी:

विषम स्थानांवरील अंक = 3, 7 आणि सम स्थानांवरील अंक = 2, 3

विषम स्थानांवरील अंकांची बेरीज = 3 + 7 = 10

सम स्थानांवरील अंकांची बेरीज = 2 + 3 = 5

फरक = |10 - 5| = 5

5 ही संख्या 11 ने विभाज्य नाही. म्हणून, 3273 ही संख्या 11 ने विभाज्य नाही.

4836 साठी:

विषम स्थानांवरील अंक = 4, 3 आणि सम स्थानांवरील अंक = 8, 6

विषम स्थानांवरील अंकांची बेरीज = 4 + 3 = 7

सम स्थानांवरील अंकांची बेरीज = 8 + 6 = 14

फरक = |7 - 14| = 7

7 ही संख्या 11 ने विभाज्य नाही. म्हणून, 4836 ही संख्या 11 ने विभाज्य नाही.

2926 साठी:

विषम स्थानांवरील अंक = 2, 8 आणि सम स्थानांवरील अंक = 9, 7

विषम स्थानांवरील अंकांची बेरीज = 2 + 8 = 10

सम स्थानांवरील अंकांची बेरीज = 9 + 7 = 16

फरक = |10 - 16| = 6

6 ही संख्या 11 ने विभाज्य नाही. म्हणून, 2987 ही संख्या 11 ने विभाज्य नाही.

पर्याय 1 (5621) योग्य आहे.

वापरलेले सूत्र:

एका विशिष्ट श्रेणीतील 5 ने विभाज्य असलेल्या संख्यांची गणना शोधण्यासाठी, हे सूत्र वापरा:

संख्या = शेवटची संख्या - पहिली संख्या / 5 + 1

गणना:

5 ने विभाज्य असलेली पहिली दोन अंकी संख्या = 10

5 ने विभाज्य असलेली शेवटची दोन अंकी संख्या = 95

संख्या = 95 - 10 / 5 + 1

⇒ संख्या = 85 / 5 + 1

⇒ संख्या = 17 + 1

⇒ संख्या = 18

∴ पर्याय (4) योग्य आहे.

वापरलेले सूत्र:

जर शेवटच्या दोन अंकांनी बनलेल्या संख्येस 4 ने निःशेष भाग जात असेल, तर ती संख्या 4 ने विभाज्य असते.

जर एखाद्या संख्येतील अंकांच्या बेरजेस 9 ने निःशेष भाग जात असेल, तर ती संख्या 9 ने विभाज्य असते.

गणना:

पर्याय 1: 4512

शेवटचे दोन अंक: 12

12 ÷ 4 = 3 (4 ने विभाज्य आहे)

अंकांची बेरीज: 4 + 5 + 1 + 2 = 12

12 ÷ 9 = 1.33 (9 ने विभाज्य नाही)

पर्याय 2: 3241

शेवटचे दोन अंक: 41

41 ÷ 4 = 10.25 (4 ने विभाज्य नाही)

पर्याय 3: 2345

शेवटचे दोन अंक: 45

45 ÷ 4 = 11.25 (4 ने विभाज्य नाही)

पर्याय 4: 1728

शेवटचे दोन अंक: 28

28 ÷ 4 = 7 (4 ने विभाज्य आहे)

अंकांची बेरीज: 1 + 7 + 2 + 8 = 18

18 ÷ 9 = 2 (9 ने विभाज्य आहे)

म्हणून, पर्याय 4: 1728 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेले आहे:

\((49^{15} - 1) \)

वापरलेली संकल्पना:

जेव्हा n हा सम धन पूर्णांक असतो तेव्हा aⁿ​​​​​​ - bⁿ हा (a + b) ने विभाज्य असतो.  

गणना:

\((49^{15} - 1) \)

⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)

⇒ \((7^{30} - 1) \)

येथे, 30 ही धन पूर्णांक संख्या आहे.

संकल्पनेनुसार,

\((7^{30} - 1) \) ही (7 + 1) म्हणजेच 8 ने विभाज्य आहे.

∴ 8 हा \((49^{15} - 1) \) चा भाजक आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

676xy हा 3, 7 आणि 11 ने भाग जातो

संकल्पना:

जेव्हा 676xy ला 3, 7 आणि 11 ने भाग जातो, तेव्हा तो 3, 7 आणि 11 च्या लसाविने देखील भाग जातो.

नफा = भाजक × भागफल + बाकी

गणना:

(3, 7, 11) चा लसावि = 231

सर्वात मोठी 5-अंकी संख्या 67699 घेऊन त्याला 231 ने भागा.

∵ 67699 = 231 × 293 + 16

⇒ 67699 = 67683 + 16 

⇒ 67699 - 16 = 67683 (231 ने पूर्णतः विभाज्य)

∴ 67683 = 676xy (जेथे x = 8, y = 3)

(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3

⇒ 24 - 15 = 9 

∴ आवश्यक निकाल = 9

x² + ax + b, ला x - 5 ने विभाजित केले, तर बाकी 34 मिळते,

⇒ 5² + 5a + b = 34

⇒ 5a + b = 9      ----(1)

पुन्हा,

x² + bx + a, ला x - 5, ने विभाजित केले, तर बाकी 52 मिळते

⇒ 5² + 5b + a = 52

⇒ 5b + a = 27      ----(2)

(1) + (2) मधून आपल्याला मिळते,

⇒ 6a + 6b = 36

गणना:

8, 12 आणि 16 या संख्यांनी 400 आणि 500 दरम्यानच्या संख्यांच्या बेरजेला भाग दिला जातो आणि प्रत्येक बाबतीत बाकी 5 उरते.

भिन्न संख्यांचे गुणाकार शोधण्यासाठी, आपल्याला लसावि शोधणे आवश्यक आहे:

8, 12, 16 चा लसावि

8 = 2³, 12 = 2² × 3, 16 = 2⁴

लसावि = 2⁴ × 3 = 48

संख्या नमुना = 48k + 5 (बाकी)

400 आणि 500 दरम्यानच्या

सर्वात लहान संख्या = 48 × 9 + 5 = 437

सर्वात मोठी संख्या = 48 × 10 + 5 = 485

अशाप्रकारे,

संख्यांची बेरीज = 437 + 485

⇒ 922

∴ पर्याय 1 योग्य आहे.

दिलेले: 

2384  ला 17 ने विभागले आहे.

गणना:

2384 = 2(4 × 96) = 1696

वापरलेली संकल्पना:

कोणत्याही संख्येचे शेवटचे 2 अंक 4 ने विभाजित केल्यास ती संख्या 4 ने विभाजित होते.

गणना:

प्रश्नानुसार, संख्या आहेत:

2332, 2552, 4664, 2772, 6776, 4884, 2992, आणि 6996

म्हणून, 8 संख्या abba स्वरूपात आहेत, ज्या 4 ने विभाजित होतात

∴ योग्य उत्तर 8 आहे

दिलेले आहे:

750PQ ही 5-अंकी संख्या 3, 7 आणि 11 ने विभाज्य आहे

वापरलेली संकल्पना:

लसाविची संकल्पना

गणना:

3, 7 आणि 11 चा लसावि 231 आहे.

सर्वात मोठी 5-अंकी संख्या 75099 घेऊन आणि त्याला 231 ने भागून.

जर आपण 75099 ला 231 ने भागले तर आपल्याला भागाकार 325 आणि बाकी 24 मिळेल.

तर, ती पाच अंकी संख्या 75099 - 24 = 75075 आहे.

संख्या = 75075 आणि P = 7, Q = 5

आता,

P + 2Q = 7 + 10 = 17

∴ P + 2Q चे मूल्य 17 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

247xy ही पाच अंकी संख्या 3, 7 आणि 11 ने भागल्यास

गणना:

3, 7, 11 चा लसावि 231 आहे

प्रश्नानुसार

247xy चे सर्वात मोठे संभाव्य मूल्य 24799 आहे

जेव्हा आपण 24799 ला 231 ने भागतो तेव्हा आपल्याला 82 उरलेले मिळतात

संख्या = 24799 – 82

⇒ 24717

आता x = 1 आणि y = 7

(2y – 8x) = (2 × 7 - 8 × 1)

⇒ (14 – 8)

⇒ 6

∴ आवश्यक मूल्य 6 आहे

गणना:

(265)4081 + 9 ला 266 ने विभाजित होते

⇒ (266 - 1)⁴⁰⁸¹ + 9 

आता 266 ने विभाजित केल्यावर, 

⇒\( (266 - 1)^{4081}\over 266\) + \(9 \over 266\)

पहिल्या अपूर्णांकातील बाकी (- 1)4081 असेल आणि + दुसऱ्या अपूर्णांकातील बाकी 9 असेल

बाकी = - 1 + 9 = 8

∴ (265)4081 + 9 ला 266 ने विभाजित केल्यावर बाकी 8 असेल.

दिलेले:

जर x ला 6 ने भागले असता बाकी 5 उरते.

गणना:

समजा, ती संख्या 11 आहे.

जेव्हा आपण 11 ला 6 ने भाग देतो, तेव्हा बाकी 5 (अटीचे समाधान होऊन) मिळते.

जर आपण (x + 5) ला 3 ने भागले तर,

(11 + 5) ÷ 3

⇒ 16 ÷ 3

जर आपण 16 ला 3 भागले, तर आपल्याला बाकी 1 मिळेल.