Vector Spaces MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Spaces - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 15, 2025
Latest Vector Spaces MCQ Objective Questions
Vector Spaces Question 1:
यदि S तथा T एक सदिश समष्टि V(F) की उपसमष्टियाँ है, तब निम्न में से कौन सा संबंध सही नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
S और T एक सदिश समष्टि V(F) के उपसमष्टि हैं।
परिणामों से हम जानते हैं कि
(i) S ⊂ L(T) ⇔ L(S) ⊂ L(T)
(ii) L (S ∪ T) = L(S) + L(T)
(iii) L[L(T)] = L[T]
इसलिए, विकल्प (1) सही नहीं है।
Vector Spaces Question 2:
निम्नलिखित में से कौन-सा R3 का उपसमष्टि है?
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या प्रत्येक समुच्चय \(\mathbb{R}^3 \) का उपसमष्टि है, इसे निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
1. शून्य सदिश सम्मिलित करें: शून्य सदिश (0, 0, 0), W में होना चाहिए।
2. योग के अंतर्गत संवृत: यदि \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \) , तब \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W \)।
3. अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत: यदि \(\mathbf{u} \in W \) और c एक अदिश है, तब \(c \mathbf{u} \in W \)।
आइए प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
विकल्प 1: W = \(\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + 4y - 10z = -2 \} \)
यह उपसमष्टि नहीं है क्योंकि इसमें शून्य सदिश नहीं है।
किसी भी सदिश के लिए x + 4y - 10z = -2 को संतुष्ट करने के लिए, यह शून्य के बराबर नहीं हो सकता (समीकरण समघात नहीं है)।
इसलिए, यह पहली शर्त को पूरा नहीं करता है।
विकल्प 2: W = \(\{ (x, y, z) \in : x y = 0 \} \)
इस समुच्चय में वे सदिश शामिल हैं जहाँ या तो x = 0 या y = 0 है।
हालांकि, यह योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।
उदाहरण के लिए, (1, 0, 0) \( \in \) W और (0, 1, 0) \(\in \) W, लेकिन (1, 1, 0) \(\notin \) W क्योंकि xy \(\neq \) 0 है।
इस प्रकार, यह समुच्चय उपसमष्टि नहीं है।
विकल्प 3: W =\( \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x + 3y - 4z = 0 \} \)
यह एक उपसमष्टि है क्योंकि यह तीनों शर्तों को पूरा करता है:
इसमें शून्य सदिश (0, 0, 0) है क्योंकि 2(0) + 3(0) - 4(0) = 0।
यह योग के अंतर्गत संवृत है: यदि \(2x_1 + 3y_1 - 4z_1 = 0 \) और \(2x_2 + 3y_2 - 4z_2 = 0 \), तब
\(2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) - 4(z_1 + z_2) = 0 \)।
यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है: यदि 2x + 3y - 4z = 0,
तब 2(cx) + 3(cy) - 4(cz) = 0 किसी भी अदिश c के लिए।
इसलिए, 2x + 3y - 4z = 0 द्वारा परिभाषित W एक उपसमष्टि है।
विकल्प 4: W = \(\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x \in \mathbb{Q} \} \)
इस समुच्चय में वे बिंदु शामिल हैं जहाँ x-निर्देशांक परिमेय है।
हालाँकि, यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत नहीं है।
उदाहरण के लिए, यदि (x, y, z) \( \in \) W जहाँ x = 1 (एक परिमेय संख्या है), इस सदिश को एक अपरिमेय अदिश से गुणा करने पर एक अपरिमेय x-घटक प्राप्त होगा,
जो अब W से संबंधित नहीं होगा।
इस प्रकार, यह उपसमष्टि नहीं है।
सही उत्तर विकल्प 3 है।
W = \( \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x + 3y - 4z = 0 \} \) R3 का एक उपसमष्टि है।
Vector Spaces Question 3:
4 x 4 आव्यूह M ∈ M4(C) के लिए, मान लीजिए कि M̅, M से प्राप्त आव्यूह है जिसमें M के प्रत्येक प्रविष्टि को उसके संयुग्मी सम्मिश्र से बदल दिया गया है। वास्तविक सदिश समष्टि H = {M ∈ M4(C) ∶ M⊤ = M̅} पर विचार कीजिए जहाँ Mᵀ, M के परिवर्त को दर्शाता है। R पर एक सदिश समष्टि के रूप में H की विमा है:
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
n x n कोटि के हर्मिटी आव्यूह की ℝ पर विमा =\(n^2 \)
स्पष्टीकरण:
दिया गया है: H = {M ∈ M4(C) ∶ M⊤ = M̅}
⇒ M⊤ = M̅
दोनों पक्षों के लिए परिवर्त लेने पर,
\((M^T)^ T = (\bar{M})^T \)
⇒ \(M = M^{θ} \)
⇒ M, 4 × 4 कोटि का हर्मिटी आव्यूह है
Dim(M) = 42 = 16
अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।
Vector Spaces Question 4:
मान लीजिए कि P7(x) शून्य बहुपद के साथ x में अधिकतम घात 7 वाले बहुपदों का वास्तविक सदिश समष्टि है। r = 1, 2, ... , 7 के लिए,
sr(x) = x(x − 1) ⋯ (x − (r − 1)) और s0(x) = 1 को परिभाषित करें।
इस तथ्य पर विचार करें कि B = {s0(x), s1(x), ... , s7(x)}, P7(x) का आधार है।
यदि \(x^5=\sum_{k=0}^7 \alpha_{5, k} s_k(x)\) , जहाँ α 5,k ∈ ℝ, तो α5,2 का (दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित) मान __________ है।
Answer (Detailed Solution Below) 14.95 - 15.05
Vector Spaces Question 4 Detailed Solution
Vector Spaces Question 5:
मान लीजिए V, सम्मिश्र सदिश समष्टि M7 (ℂ) का एक शून्येतर उपसमष्टि है, जहाँ V में प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय है। तब ℂ पर V की विमा है:
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
सदिश समष्टि की विमा:
किसी सदिश समष्टि की विमा उस समष्टि के आधार में सदिशों की संख्या होती है।
एक सदिश समष्टि परिमित-विमीय होती है यदि वह एक परिमित समुच्चय द्वारा विस्तारित होती है,
और अपरिमित-विमीय यदि वह नहीं होती है।
व्याख्या:
1. व्युत्क्रमणीयता की शर्त को समझना:
समष्टि \(M_7(\mathbb{C})\) में \(\mathbb{C}\) पर सभी \(7 \times 7\) आव्यूह होते हैं।
किसी आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए, उसका सारणिक शून्येतर होना चाहिए।
इसलिए, यदि V में प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय है,
तो V में कोई एकवचन (गैर-व्युत्क्रमणीय) आव्यूह नहीं हो सकता है।
2. उपसमष्टि V पर व्युत्क्रमणीयता के निहितार्थ:
V के लिए यह गुण होने का एकमात्र तरीका है कि
V में प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय है
यदि V में एक एकल व्युत्क्रमणीय आव्यूह के अदिश गुणज होते हैं।
ऐसा इसलिए है क्योंकि:
यदि V में एक से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र आव्यूह होते हैं,
तो इसमें इन आव्यूहों के रैखिक संयोजन भी होंगे।
व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के रैखिक संयोजन एक एकवचन आव्यूह (गैर-व्युत्क्रमणीय) हो सकते हैं,
गुणांकों पर निर्भर करता है।
इसलिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि V में सभी शून्येतर अवयव व्युत्क्रमणीय हैं,
V को एक एकल व्युत्क्रमणीय आव्यूह द्वारा विस्तारित किया जाना चाहिए।
3. V की विमा का निर्धारण:
चूँकि V को एक एकल व्युत्क्रमणीय आव्यूह द्वारा विस्तारित किया गया है,
यह \(M_7(\mathbb{C})\) का एक एक-विमीय उपसमष्टि है।
इसलिए, \(\mathbb{C}\) पर V की विमा 1 है।
इसलिए विकल्प (1) सही है।
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Vector Spaces Question 6:
मानें कि V कोई परिमित विमीय यास्तविक सदिश समष्टि है तथा V पर T1, T2 दो शून्यभावी संकारक हैं। माना कि W1 = {v ∈ V ∶ T1(v) = 0} तथा W2 = {v ∈ V ∶ T2(v) = 0} हैं। निम्न कथनों में से कौन सा असत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
T1, T2 V पर दो शून्यकारी संकारक हैं और मान लीजिए कि V की विमा n है।
⇒ \(T_1^n = 0\) और T1 का अभिलक्षणिक बहुपद xn है
इसी प्रकार
⇒ \(T_2^n = 0\) और T2 का अभिलक्षणिक बहुपद xn
इसलिए विकल्प (4) सत्य है।
मान लीजिए W1 = {v ∈ V ∶ T1(v) = 0} और W2 = {v ∈ V ∶ T2(v) = 0}
W1 = शून्य स्थान (T1) और W2 = शून्य स्थान (T2)
dim(W1) = η(T1) और dim(W2) = η(T2)
विकल्प (3) के लिए -
हमारे पास W1 = W2 = V
अब रैंक शून्यता प्रमेय का उपयोग करें -
dim(V) = ρ (T1) + η(T1) ⇒ ρ (T1) = 0
और dim(V) = ρ (T2) + η(T2) ⇒ ρ (T2) = 0
⇒ T1 और T2 दोनों शून्य संकारक हैं।
इसलिए विकल्प (3) सत्य है।
विकल्प (1) के लिए -
मान लीजिए T1 और T2 समान हैं, इसलिए T1 ∼ T2
⇒ T1 का न्यूनतम बहुपद = T2 का न्यूनतम बहुपद
⇒ T1 के लिए 0 का G.M = T2 के लिए 0 का G.M
⇒ null(T1) = null(T2)
⇒ dim(W1) = dim(W1)
⇒ W1 ≈ W2 (क्योंकि V परिमित विमीय है)
इसलिए विकल्प (1) सत्य है।
विकल्प (2) के लिए -
W1 ≈ W2 ⇒ dim(W1) = dim(W1)
मान लीजिए T1 = \(\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\) और T2 = \(\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)
यहां null(T1) = null(T2) = 2
अब, T1 = x3 और T2 = x2
दोनों समान नहीं हैं
इसलिए विकल्प (2) असत्य है।
Vector Spaces Question 7:
मान लीजिए V वास्तविक गुणांकों के साथ अधिकतम 10 घात वाले एक चर वाले सभी बहुपदों का सदिश समष्टि है। माने कि W1 अधिकतम 5 कोटि वाले बहुपदो की V की उपसमष्टि है तथा W2 बहुपदों वाली V की ऐसी उपसमष्टि है कि उनके गुणांकों का योग 0 है। मान लीजिए W, V का सबसे छोटा उप-समष्टि है जिसमें W1 और W2 दोनों शामिल हैं। निम्न वक्तव्यों में से कौन-से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
V वास्तविक गुणांकों के साथ अधिकतम 10 डिग्री के एक चर में सभी बहुपदों का सदिश स्थान हो।
इसलिए dim(V) = 11
W1, V का उप-स्थान हो जो अधिकतम 5 डिग्री के बहुपदों से बना हो और W2, V का उप-स्थान हो जो ऐसे बहुपदों से बना हो जिनके गुणांकों का योग 0 हो।
इसलिए W1 = {p(x) | p(x) ∈ P5}
और W2 = {p(x) | p(x) ∈ P10 और p(1) = 0}
इसलिए W1 ∩ W2 = {p(x) | p(x) ∈ P5 और p(1) = 0}
x4 ∈ W1 लेकिन x4 ∉ W2 क्योंकि p(1) = 1 ≠ 0
W1, W2 का उपसमुच्चय नहीं है।
विकल्प (3) गलत है।
dim(W1) = 6 और dim(W2) = 11 - 1 = 10 और dim(W1 ∩ W2) = 6 - 1 = 5
W1 ∩ W2 का आयाम अधिकतम 5 है।
विकल्प (4) सही है।
W, V का सबसे छोटा उप-स्थान हो जो W1 और W2 दोनों को शामिल करता है।
इसलिए W = W1 + W2
हम जानते हैं कि
dim(W1 ∩ W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 + W2)
⇒ 5 = 6 + 10 - dim(W1 + W2)
⇒ dim(W1 + W2) = 11
⇒ dim(W) = 11
विकल्प (1) गलत है।
चूँकि dim(V) = dim(W) = 11
इसलिए V = W
विकल्प (2) सही है।
Vector Spaces Question 8:
मानें \(W_1=\left\{\left[\begin{array}{cc}a & b \\ -b & 2 a\end{array}\right]: a, b \in \mathbb{R}\right\}\) तथा \(W_2=\left\{\left[\begin{array}{cc}a & b \\ -b & -a\end{array}\right]: a, b \in \mathbb{R}\right\}\) \(\mathbb{M}\)2(\(\mathbb{R}\)) के दो उपसमष्टि हैं। निम्न में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 8 Detailed Solution
Vector Spaces Question 9:
ℝ से ℝ तक निम्नलिखित कार्यों का कौन सा सेट ℝ के ऊपर एक सदिश स्थान है?
\(S_{1}=\left\{f \mid \lim _{x \rightarrow 3} f(x)=0\right\}\)
\(S_{2}=\left\{g \mid \lim _{x \rightarrow 3} g(x)=1\right\}\)
\(S_{3}=\left\{h \mid \lim _{x \rightarrow 3} h(x) \text { exists }\right\}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 9 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) यदि शून्य सदिश V से संबंधित है तो V एक सदिश समष्टि है।
(ii) (V, +, .) को सदिश समष्टि कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।
(a) क्रमविनिमेयता: x + y = y + x
(b) सदिश योग की साहचर्यता: x + (y + z) = (x + y) + z
(c) योगात्मक सर्वसमिका: 0 + x = x + 0 = x
(d) योगात्मक व्युत्क्रम का अस्तित्व: किसी भी x के लिए, एक (-x) मौजूद होता है जैसे कि x + (-x) = 0
(e) अदिश गुणन की साहचर्यता: r(sx) = (rs)x
(f) अदिश योगों की वितरणशीलता: (r + s)x = rx + sx और r(x + y) = rx + ry
(g) V स्केलर गुणन पहचान को संतुष्ट करता है, अर्थात, सभी x ∈ V के लिए 1.x = x
x, y, z ∈ V, r, s ∈ F के लिए
स्पष्टीकरण:
\(S_{1}=\left\{f \mid \lim _{x \rightarrow 3} f(x)=0\right\}\)
\(S_{2}=\left\{g \mid \lim _{x \rightarrow 3} g(x)=1\right\}\)
\(S_{3}=\left\{h \mid \lim _{x \rightarrow 3} h(x) \text { exists }\right\}\)
\(0\notin S_2\) इसलिए S 2 एक सदिश समष्टि नहीं है।
(2), (4) असत्य हैं
S3 के लिए :
\(S_{3}=\left\{h \mid \lim _{x \rightarrow 3} h(x) \text { exists }\right\}\)
मान लीजिए f(x), g(x), h(x) ∈ S 3
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) (f(x)+g(x)) मौजूद है
तो f + g ∈ S 3
क्रमविनिमेयता कायम है।
इसी प्रकार, साहचर्यता भी कायम है।
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) (0+f)(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3}\) (f + 0)(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3}\) f(x)
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) f(x) का अस्तित्व है इसलिए \(\lim _{x \rightarrow 3}\) (-f(x)) का भी अस्तित्व है।
तादात्म्य और व्युत्क्रम विद्यमान हैं।
मान लीजिए r ∈ F
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) r(sf)(x) = rs \(\lim _{x \rightarrow 3}\) f(x)
अदिश गुणन की साहचर्यता कायम है।
अदिश राशियों का वितरण भी कायम रहता है।
और \(\lim _{x \rightarrow 3}\) 1.f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 3}\) f(x) मौजूद है।
इसलिए S3 एक सदिश समष्टि है।
इसी प्रकार, हम दिखा सकते हैं कि S 1 एक सदिश समष्टि है।
विकल्प (2) सही है।
Vector Spaces Question 10:
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
I. ℝ3 से स्वयं तक एक रैखिक रूपांतरण का अस्तित्व है जिसका परिसर समष्टि और शून्य समष्टि समान है।
II. ℝ2 से स्वयं तक एक रैखिक रूपांतरण का अस्तित्व है जिसका परिसर समष्टि और शून्य समष्टि समान है।
तब ℝ2
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
रैंक-शून्यता प्रमेय:
मान लीजिए \(T:V\rightarrow W\) एक रैखिक प्रतिचित्र है। तब
रैंक(T) + शून्यता(T) = dim (V)
गणनाएँ:
I. चूँकि परिसर समष्टि और शून्य समष्टि समान हैं, इसलिए रैंक = शून्यता (मान लीजिए x)।
रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा, x + x = 3 जिसका अर्थ है x = 1.5 जो कि संभव नहीं है।
इस प्रकार, कथन I असत्य है।
II. चूँकि परिसर समष्टि और शून्य समष्टि समान हैं, इसलिए रैंक = शून्यता (मान लीजिए x)।
रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा, x + x = 2 जिसका अर्थ है x = 1 जो संभव है।
इस प्रकार, कथन II सत्य है।
इसलिए विकल्प (2) सही है।
Vector Spaces Question 11:
4 x 4 आव्यूह M ∈ M4(C) के लिए, मान लीजिए कि M̅, M से प्राप्त आव्यूह है जिसमें M के प्रत्येक प्रविष्टि को उसके संयुग्मी सम्मिश्र से बदल दिया गया है। वास्तविक सदिश समष्टि H = {M ∈ M4(C) ∶ M⊤ = M̅} पर विचार कीजिए जहाँ Mᵀ, M के परिवर्त को दर्शाता है। R पर एक सदिश समष्टि के रूप में H की विमा है:
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 11 Detailed Solution
अवधारणा:
n x n कोटि के हर्मिटी आव्यूह की ℝ पर विमा =\(n^2 \)
स्पष्टीकरण:
दिया गया है: H = {M ∈ M4(C) ∶ M⊤ = M̅}
⇒ M⊤ = M̅
दोनों पक्षों के लिए परिवर्त लेने पर,
\((M^T)^ T = (\bar{M})^T \)
⇒ \(M = M^{θ} \)
⇒ M, 4 × 4 कोटि का हर्मिटी आव्यूह है
Dim(M) = 42 = 16
अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।
Vector Spaces Question 12:
वास्तविक सदिश समष्टि V = ℝ[x] पर एक आंतरिक गुणनफल लीजिए। मान लीजिए कि W, V की वह उपसमष्टि है जिसमें अधिकतम घात 2 वाले बहुपद हैं। मान लीजिए कि W⊥, V में W का लांबिक पूरक है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 12 Detailed Solution
संप्रत्यय:
\(V = \mathbb{R}[x] \): वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का समष्टि।
उपसमष्टि W : अधिकतम घात 2 वाले बहुपदों का समष्टि, अर्थात् \(W = \{a_0 + a_1x + a_2x^2 : a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}\)।
\(W^\perp\) : V में W का लांबिक पूरक है। इसमें V के वे सभी बहुपद होते हैं जो W के प्रत्येक बहुपद के लांबिक होते हैं।
लांबिक पूरक:
किसी बहुपद \( p(x) \in W\) के लिए, यदि \( f(x) \in W^\perp\), तब
\(\langle p(x), f(x) \rangle = 0\)
सभी \(p(x) \in W\) के लिए, जहाँ \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) आंतरिक गुणनफल है।
व्याख्या:
विकल्प 1: \(x^4 \) घात 4 का एक बहुपद है, जो स्पष्ट रूप से W में नहीं है क्योंकि W में केवल अधिकतम घात 2 वाले बहुपद हैं।
हालाँकि, चूँकि \(x^4 \) उच्च घात का है, यह W (अधिकतम घात 2 वाले बहुपद) के सभी बहुपदों के लांबिक है।
इस प्रकार, \(x^4 \in W^\perp\), और एक बहुपद \( p(x) \in W\) (जैसे, p(x) = 0) का अस्तित्व इस प्रकार है कि\(x^4 - p(x) \in W^\perp\) है।
विकल्प 1 सत्य है।
विकल्प 2: लांबिक पूरक \(W^\perp\) में सभी बहुपद W के लांबिक होते हैं, और चूँकि W में अधिकतम घात 2 वाले बहुपद हैं,
\(W^\perp\) में घात 2 से अधिक वाले बहुपद होंगे।
इसलिए, \(W^\perp\) शून्य उपसमष्टि नहीं है क्योंकि \(W^\perp\) में शून्येतर बहुपद (\(x^3, x^4\), आदि) हैं।
विकल्प 2 असत्य है।
विकल्प 3: W में अधिकतम घात 2 वाले बहुपद हैं, जिसकी विमा 3 (\(\{1, x, x^2\}\) द्वारा विस्तारित) है।
\(W^\perp\) में W के लांबिक बहुपद होते हैं, और चूँकि \(\mathbb{R}[x]\) एक अनंत-विमीय समष्टि है,\(W^\perp\) अनंत-विमीय है।
इस प्रकार, W (जो 3-विमीय है) और \(W^\perp\) (जो अनंत-विमीय है) की विमाएँ समान नहीं हैं।
विकल्प 3 असत्य है।
विकल्प 4: चूँकि W में अधिकतम घात 2 वाले सभी बहुपद हैं, \(W^\perp\) में घात 3 और उससे अधिक के बहुपद हैं,
जो एक अनंत-विमीय समष्टि बनाते हैं (चूँकि बहुपद \(x^3, x^4, x^5, \dots\) \(W^\perp\) के लिए एक आधार बनाते हैं)।
विकल्प 4 सत्य है।
इसलिए, विकल्प 1) और 4) सही हैं।
Vector Spaces Question 13:
मान लीजिए S और T, ℝ2 के अरिक्त उपसमुच्चय हैं, और W, ℝ2 का एक शून्येतर उचित उपसमष्टि है। निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
I. यदि span(S) = ℝ2, तो span(S ∩ W) = W है।
II. span(S ∪ T) = span(S) ∪ span(T).
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 13 Detailed Solution
अवधारणा:
R, {(1,0),(0,1)} द्वारा विस्तारित है।
गणनाएँ:
I. यदि span(S) = R2 ,तो span(S)= {(1,0), (0,1)}
मान लीजिए \(W=\{(x,x),x\in R\}\), तब Span\((S\cap W)=\phi\neq\) W
इस प्रकार, I असत्य है।
II. मान लीजिए \(S=\{(x,0),x\in R\}\) और T = \(\{(0,y),y\in R\}\)
\(S\cup T=\{(x,y):x,y\in \mathbb R\}\)
Span\((S\cup T)=\mathbb R^2\)
लेकिन span(S) ∪ span(T) में केवल x-अक्ष और y-अक्ष ही होते हैं।
इस प्रकार, II भी असत्य है।
अतः विकल्प (4) सही है।
Vector Spaces Question 14:
यदि S तथा T एक सदिश समष्टि V(F) की उपसमष्टियाँ है, तब निम्न में से कौन सा संबंध सही नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 14 Detailed Solution
व्याख्या:
S और T एक सदिश समष्टि V(F) के उपसमष्टि हैं।
परिणामों से हम जानते हैं कि
(i) S ⊂ L(T) ⇔ L(S) ⊂ L(T)
(ii) L (S ∪ T) = L(S) + L(T)
(iii) L[L(T)] = L[T]
इसलिए, विकल्प (1) सही नहीं है।
Vector Spaces Question 15:
निम्नलिखित में से कौन-सा R3 का उपसमष्टि है?
Answer (Detailed Solution Below)
Vector Spaces Question 15 Detailed Solution
अवधारणा:
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या प्रत्येक समुच्चय \(\mathbb{R}^3 \) का उपसमष्टि है, इसे निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
1. शून्य सदिश सम्मिलित करें: शून्य सदिश (0, 0, 0), W में होना चाहिए।
2. योग के अंतर्गत संवृत: यदि \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \) , तब \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W \)।
3. अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत: यदि \(\mathbf{u} \in W \) और c एक अदिश है, तब \(c \mathbf{u} \in W \)।
आइए प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
विकल्प 1: W = \(\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + 4y - 10z = -2 \} \)
यह उपसमष्टि नहीं है क्योंकि इसमें शून्य सदिश नहीं है।
किसी भी सदिश के लिए x + 4y - 10z = -2 को संतुष्ट करने के लिए, यह शून्य के बराबर नहीं हो सकता (समीकरण समघात नहीं है)।
इसलिए, यह पहली शर्त को पूरा नहीं करता है।
विकल्प 2: W = \(\{ (x, y, z) \in : x y = 0 \} \)
इस समुच्चय में वे सदिश शामिल हैं जहाँ या तो x = 0 या y = 0 है।
हालांकि, यह योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।
उदाहरण के लिए, (1, 0, 0) \( \in \) W और (0, 1, 0) \(\in \) W, लेकिन (1, 1, 0) \(\notin \) W क्योंकि xy \(\neq \) 0 है।
इस प्रकार, यह समुच्चय उपसमष्टि नहीं है।
विकल्प 3: W =\( \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x + 3y - 4z = 0 \} \)
यह एक उपसमष्टि है क्योंकि यह तीनों शर्तों को पूरा करता है:
इसमें शून्य सदिश (0, 0, 0) है क्योंकि 2(0) + 3(0) - 4(0) = 0।
यह योग के अंतर्गत संवृत है: यदि \(2x_1 + 3y_1 - 4z_1 = 0 \) और \(2x_2 + 3y_2 - 4z_2 = 0 \), तब
\(2(x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) - 4(z_1 + z_2) = 0 \)।
यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है: यदि 2x + 3y - 4z = 0,
तब 2(cx) + 3(cy) - 4(cz) = 0 किसी भी अदिश c के लिए।
इसलिए, 2x + 3y - 4z = 0 द्वारा परिभाषित W एक उपसमष्टि है।
विकल्प 4: W = \(\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x \in \mathbb{Q} \} \)
इस समुच्चय में वे बिंदु शामिल हैं जहाँ x-निर्देशांक परिमेय है।
हालाँकि, यह अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत नहीं है।
उदाहरण के लिए, यदि (x, y, z) \( \in \) W जहाँ x = 1 (एक परिमेय संख्या है), इस सदिश को एक अपरिमेय अदिश से गुणा करने पर एक अपरिमेय x-घटक प्राप्त होगा,
जो अब W से संबंधित नहीं होगा।
इस प्रकार, यह उपसमष्टि नहीं है।
सही उत्तर विकल्प 3 है।
W = \( \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x + 3y - 4z = 0 \} \) R3 का एक उपसमष्टि है।