System of Linear Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for System of Linear Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 5, 2025
Latest System of Linear Equations MCQ Objective Questions
System of Linear Equations Question 1:
a, b, c पर स्थिति का पता लगाएं ताकि निम्न समीकरणों की रैखिक प्रणाली
x + 2y – 3z = a
2x + 6y – 11z = b
x – 2y + 7z = c
संगत हो।Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 1 Detailed Solution
संगति का अर्थ है, समीकरणों की प्रणाली के अनंत समाधान या अद्वितीय समाधान होना चाहिए
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 2&6&{ - 11}&:&b\\ 1&{ - 2}&7&:&c \end{array}} \right]\)
R2 → R2 - 2R1
R3 → R3 – R1
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&{ - 4}&{10}&:&{c - a} \end{array}} \right]\)
R3 → R3 + 2R2
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&0&0&:&{c - a + 2b - 4a} \end{array}} \right]\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&0&0&:&{ - 5a + 2b + c} \end{array}} \right]\)
संगति के लिए ρ [A/b] = ρ [A] < n
⇒ -5a + 2b + c = 0System of Linear Equations Question 2:
k के किस मान के लिए समीकरण 2x – 3y + 2z = a, 5x + 4y – 2z = – 3 तथा x – 13y + kz = 9 का अद्वितीय हल नहीं होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
2x – 3y + 2z = a,
5x + 4y – 2z = – 3 और
x – 13y + kz = 9
प्रयुक्त संकल्पना:
यदि x, y, और z के गुणांक का सारणिक शून्य के बराबर है, तब समीकरण के दिए गए निकाय का अद्वितीय हल नहीं होगा।
हल:
D = \(\begin{vmatrix}2 & - 3 & 2\\5 & 4 & -2\\1 & -13 & k\end{vmatrix}\) = 0
⇒ 2 (4k - 26) - (- 3) (5k + 2) + 2 (- 65 - 4) = 0
⇒ 8k - 52 + 15k + 6 - 138 = 0
⇒ 23k - 184 = 0
⇒ k = 8
\(\therefore\) विकल्प 1 सही है।
System of Linear Equations Question 3:
रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित निकाय x + y + 5z = 3, x + 2y + mz = 5 और x + 2y + 4z = k पर विचार करें। निकाय सुसंगत है यदि
(A). m ≠ 4
(B). k ≠ 5, m = 4
(C). m = 4, k = 1
(D). m = 4, k = 5
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
रैखिक समीकरणों का एक निकाय सुसंगत माना जाता है यदि उसका कम से कम एक हल होता है।
संवर्धित आव्यूह:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & m & 5 \\ 1 & 2 & 4 & k \\ \end{pmatrix} \)
पंक्ति संक्रिया:
\(R_2 → R_2 - R_1 \)
\(R_3 → R_3 - R_1 \)
यह हमें देता है:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & m-5 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & k-3 \\ \end{pmatrix} \)
\(R_3 = R_3 - R_2 \)
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & m-5 & 2 \\ 0 & 0 & 4-m & k-5 \\ \end{pmatrix} \)
निकाय के सुसंगत होने के लिए, अंतिम पंक्ति असंगत समीकरण का प्रतिनिधित्व नहीं करनी चाहिए।
यदि -m + 4 ≠ 0 (अर्थात, m ≠ 4), तो हम अंतिम पंक्ति में z के लिए हल कर सकते हैं और x और y को खोजने के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
यदि -m + 4 = 0 और k - 5 = 0 (अर्थात, m = 4 और k = 5), तो अंतिम पंक्ति 0 = 0 बन जाती है, जो हमेशा सत्य होती है।
निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
यदि -m + 4 = 0 और k - 5 ≠ 0 (अर्थात, m = 4 और k ≠ 5),
तो अंतिम पंक्ति एक असुसंगत समीकरण (0 = एक शून्येतर मान) को दर्शाता है, और निकाय का कोई हल नहीं है।
इसलिए, निकाय सुसंगत है यदि:
1. m ≠ 4
2. m = 4 और k = 5
⇒ सही विकल्प (A) और (D) हैं।
अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।
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System of Linear Equations Question 4:
k के किस मान के लिए समीकरण 2x – 3y + 2z = a, 5x + 4y – 2z = – 3 तथा x – 13y + kz = 9 का अद्वितीय हल नहीं होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
2x – 3y + 2z = a,
5x + 4y – 2z = – 3 और
x – 13y + kz = 9
प्रयुक्त संकल्पना:
यदि x, y, और z के गुणांक का सारणिक शून्य के बराबर है, तब समीकरण के दिए गए निकाय का अद्वितीय हल नहीं होगा।
हल:
D = \(\begin{vmatrix}2 & - 3 & 2\\5 & 4 & -2\\1 & -13 & k\end{vmatrix}\) = 0
⇒ 2 (4k - 26) - (- 3) (5k + 2) + 2 (- 65 - 4) = 0
⇒ 8k - 52 + 15k + 6 - 138 = 0
⇒ 23k - 184 = 0
⇒ k = 8
\(\therefore\) विकल्प 1 सही है।
System of Linear Equations Question 5:
a, b, c पर स्थिति का पता लगाएं ताकि निम्न समीकरणों की रैखिक प्रणाली
x + 2y – 3z = a
2x + 6y – 11z = b
x – 2y + 7z = c
संगत हो।Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 5 Detailed Solution
संगति का अर्थ है, समीकरणों की प्रणाली के अनंत समाधान या अद्वितीय समाधान होना चाहिए
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 2&6&{ - 11}&:&b\\ 1&{ - 2}&7&:&c \end{array}} \right]\)
R2 → R2 - 2R1
R3 → R3 – R1
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&{ - 4}&{10}&:&{c - a} \end{array}} \right]\)
R3 → R3 + 2R2
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&0&0&:&{c - a + 2b - 4a} \end{array}} \right]\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&0&0&:&{ - 5a + 2b + c} \end{array}} \right]\)
संगति के लिए ρ [A/b] = ρ [A] < n
⇒ -5a + 2b + c = 0System of Linear Equations Question 6:
रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित निकाय x + y + 5z = 3, x + 2y + mz = 5 और x + 2y + 4z = k पर विचार करें। निकाय सुसंगत है यदि
(A). m ≠ 4
(B). k ≠ 5, m = 4
(C). m = 4, k = 1
(D). m = 4, k = 5
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
System of Linear Equations Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
रैखिक समीकरणों का एक निकाय सुसंगत माना जाता है यदि उसका कम से कम एक हल होता है।
संवर्धित आव्यूह:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & m & 5 \\ 1 & 2 & 4 & k \\ \end{pmatrix} \)
पंक्ति संक्रिया:
\(R_2 → R_2 - R_1 \)
\(R_3 → R_3 - R_1 \)
यह हमें देता है:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & m-5 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & k-3 \\ \end{pmatrix} \)
\(R_3 = R_3 - R_2 \)
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & m-5 & 2 \\ 0 & 0 & 4-m & k-5 \\ \end{pmatrix} \)
निकाय के सुसंगत होने के लिए, अंतिम पंक्ति असंगत समीकरण का प्रतिनिधित्व नहीं करनी चाहिए।
यदि -m + 4 ≠ 0 (अर्थात, m ≠ 4), तो हम अंतिम पंक्ति में z के लिए हल कर सकते हैं और x और y को खोजने के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
यदि -m + 4 = 0 और k - 5 = 0 (अर्थात, m = 4 और k = 5), तो अंतिम पंक्ति 0 = 0 बन जाती है, जो हमेशा सत्य होती है।
निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
यदि -m + 4 = 0 और k - 5 ≠ 0 (अर्थात, m = 4 और k ≠ 5),
तो अंतिम पंक्ति एक असुसंगत समीकरण (0 = एक शून्येतर मान) को दर्शाता है, और निकाय का कोई हल नहीं है।
इसलिए, निकाय सुसंगत है यदि:
1. m ≠ 4
2. m = 4 और k = 5
⇒ सही विकल्प (A) और (D) हैं।
अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।