Time Differentiation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Time Differentiation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

फूरिये रूपांतर:

• किसी फलन का फूरिये रूपांतर उसे समय प्रांत से आवृत्ति प्रांत में परिवर्तित करता है।
• यदि f(t) एक समय-प्रांत फलन है, तो इसका फूरिये रूपांतर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
• \( F(p) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-ipt} dt \)
• गॉसियन फलनों जैसे \(( e^{-t^2/2} )\) के लिए, उनका फूरिये रूपांतर भी गॉसियन होता है।
• \(e^{-t^2/2}\) का फूरिये रूपांतर \(\sqrt{2\pi} e^{-p^2/2} \) है।
• समय प्रांत में t से गुणा करने से आवृत्ति प्रांत में p के संबंध में व्युत्पन्न लेना होता है:
• \( \mathcal{F}[t f(t)] = i \frac{d}{dp}F(p) \)

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए f(t) = t e^−t²⁄2

मान लीजिए F(p) = e^−t²⁄2 का फूरिये रूपांतर = e^−p²⁄2

⇒ t f(t) का फूरिये रूपांतर = i × d/dp (e^−p²⁄2)

⇒ = i × (−p e^−p²⁄2) = −i p e^−p²⁄2

⇒ अब t e^−t²⁄2 = f(t),

इसलिए पूर्ण FT, i × d/dp (F(p)) है। 

⇒ F(p) को स्वयं जोड़ें:

अंतिम परिणाम = (1 + i p) e^{−(p² − 1)/2}

∴ सही फूरिये रूपांतर : \(\rm (1-ip)e^{-ip}e^{-(p^2-1)/2}\) है। 

माना कि \({{\rm{x}}_1}\left( {\rm{t}} \right){\rm{}} = {\rm{x}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{}}1} \right)\)

तो \({{\rm{x}}_1}\left( {\rm{t}} \right)\mathop \leftrightarrow \limits^{{\rm{FT}}} {{\rm{X}}_1}\left( {{\rm{j\omega }}} \right) = {\rm{X}}\left( {{\rm{j\omega }}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j\omega }}}}\)

अब,

माना कि \({{\rm{x}}_2}\left( {\rm{t}} \right) = \frac{{{{\rm{d}}^2}{{\rm{x}}_1}\left( {\rm{t}} \right)}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}} = \frac{{{{\rm{d}}^2}{\rm{x}}\left( {{\rm{t}} - 1} \right)}}{{{\rm{d}}{{\rm{t}}^2}}}\)

फूरियर परिवर्तन लेने पर 

\(\begin{array}{l} {{\rm{X}}_2}\left( {{\rm{j\omega }}} \right){\rm{}} = {\rm{}}{\left( {{\rm{j\omega }}} \right)^2}{\rm{}}{{\rm{X}}_1}\left( {{\rm{j\omega }}} \right)\\ \Rightarrow {{\rm{X}}_2}\left( {{\rm{j\omega }}} \right) = - {{\rm{\omega }}^2}{\rm{X}}\left( {{\rm{j\omega }}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j\omega }}}} \end{array}\)

अतः 

संप्रत्यय:

फूरिये रूपांतर:

• किसी फलन का फूरिये रूपांतर उसे समय प्रांत से आवृत्ति प्रांत में परिवर्तित करता है।
• यदि f(t) एक समय-प्रांत फलन है, तो इसका फूरिये रूपांतर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
• \( F(p) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-ipt} dt \)
• गॉसियन फलनों जैसे \(( e^{-t^2/2} )\) के लिए, उनका फूरिये रूपांतर भी गॉसियन होता है।
• \(e^{-t^2/2}\) का फूरिये रूपांतर \(\sqrt{2\pi} e^{-p^2/2} \) है।
• समय प्रांत में t से गुणा करने से आवृत्ति प्रांत में p के संबंध में व्युत्पन्न लेना होता है:
• \( \mathcal{F}[t f(t)] = i \frac{d}{dp}F(p) \)

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए f(t) = t e^−t²⁄2

मान लीजिए F(p) = e^−t²⁄2 का फूरिये रूपांतर = e^−p²⁄2

⇒ t f(t) का फूरिये रूपांतर = i × d/dp (e^−p²⁄2)

⇒ = i × (−p e^−p²⁄2) = −i p e^−p²⁄2

⇒ अब t e^−t²⁄2 = f(t),

इसलिए पूर्ण FT, i × d/dp (F(p)) है। 

⇒ F(p) को स्वयं जोड़ें:

अंतिम परिणाम = (1 + i p) e^{−(p² − 1)/2}

∴ सही फूरिये रूपांतर : \(\rm (1-ip)e^{-ip}e^{-(p^2-1)/2}\) है।