Thermodynamic Relations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Thermodynamic Relations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

• आंतरिक ऊर्जा (U): किसी निकाय में निहित कुल ऊर्जा को दर्शाती है, जिसमें कणों की गतिज और स्थितिज ऊर्जा शामिल है।
• नियत दाब पर विशिष्ट ऊष्मा (\(C_p\)): नियत दाब पर प्रति इकाई द्रव्यमान के निकाय की ऊष्मा धारिता।
• एन्थैल्पी (H): एक ऊष्मागतिक निकाय में कुल ऊर्जा का माप, जिसमें आंतरिक ऊर्जा और दाब और आयतन का गुणनफल \(H=U+PV\) शामिल है।
• नियत आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा (\(C_V\)): नियत आयतन पर प्रति इकाई द्रव्यमान के निकाय की ऊष्मा धारिता।

मिलान है:

(A) - (III), (B) - (IV), (C) - (I), (D) - (II)

इस प्रकार, विकल्प '4' सही है।

हल:

ऊँचाई के साथ पानी के क्वथनांक में परिवर्तन की दर की गणना करने के लिए, हम क्लाउसियस-क्लेपेरॉन समीकरण और बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करते हैं। यहाँ विस्तृत विवरण दिया गया है:

क्लाउसियस-क्लेपेरॉन समीकरण:

क्लाउसियस-क्लेपेरॉन समीकरण तापमान के साथ दाब में परिवर्तन को जोड़ता है:

\( \frac{dp}{dT} = \frac{L}{T(V_2 - V_1)} \),

जहाँ:

• \( L = 2.44 \times 10^6 \, \text{J/kg} \) (वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा)
• \( V_2 \approx \frac{1}{\rho} = \frac{1}{0.598} \, \text{m}^3/\text{kg} \) (वाष्प आयतन)
• \( V_1 \approx 0 \, \text{m}^3/\text{kg} \) (द्रव आयतन, नगण्य).

इस प्रकार:

\( \frac{dp}{dT} \approx \frac{L}{T \cdot V_2} = \frac{2.44 \times 10^6}{373 \cdot \frac{1}{0.598}} = 3.91 \times 10^3 \, \text{Pa/K}. \)

बोल्ट्जमान वितरण:

बोल्ट्जमान वितरण ऊँचाई के साथ दाब में परिवर्तन का वर्णन करता है:

\( \frac{dp}{dz} = -\rho g, \)

जहाँ:

• \( \rho \approx 1.225 \, \text{kg/m}^3 \) (हवा का घनत्व)
• \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) (गुरुत्वाकर्षण त्वरण).

प्रतिस्थापित करें:

\( \frac{dp}{dz} = -1.225 \cdot 9.8 = -12 \, \text{Pa/m}. \)

उबलते बिंदु के परिवर्तन की दर:

ऊँचाई के साथ उबलते तापमान में परिवर्तन की दर है:

\( \frac{dT}{dz} = \frac{dT}{dp} \cdot \frac{dp}{dz}. \)

क्लाउसियस-क्लेपेरॉन समीकरण से:

\( \frac{dT}{dp} = \frac{1}{\frac{dp}{dT}} = \frac{1}{3.91 \times 10^3}. \)

प्रतिस्थापित करें:

\( \frac{dT}{dz} = \frac{1}{3.91 \times 10^3} \cdot (-12) \approx -0.87 \, ^\circ \text{C/km}. \)

अंतिम उत्तर: ऊँचाई के साथ उबलते तापमान में परिवर्तन की दर लगभग \( -0.87 \, ^\circ \text{C/km}. \) है।

सही विकल्प 2) है।

हल:

सबसे कम तापमान जिस पर आइस स्केटिंग आनंददायक रहती है, वह बर्फ पर स्केटर द्वारा लगाए गए दाब से निर्धारित होता है। यह दबाव ठोस और तरल पानी के बीच सहअस्तित्व रेखा पर दाब के साथ संरेखित होना चाहिए।

पानी का त्रिक बिंदु है:

• \( T_0 = 273.16 \, \text{K} \)
• \( P_0 = 1 \, \text{atm}. \)

औसत वजन वाले स्केटर के लिए, बर्फ पर लगाया गया दबाव लगभग है:

\( P \approx 10 \, \text{atm}. \)

तापमान की गणना करने के लिए क्लेपेरॉन संबंध का उपयोग किया जाता है:

\( \frac{P - P_0}{T_{\text{min}} - T_0} = -\frac{L}{T_{\text{min}} \Delta V} \),

जहाँ:

• \( L = 80 \, \text{cal/g} \, \text{(latent heat of fusion)} \)
• \( \Delta V = 0.091 \, \text{cm}^3/\text{g} \, \text{(volume change on melting)}. \)

\( T_{\text{min}} \): के लिए पुनर्व्यवस्थित करें:

\( T_{\text{min}} = T_0 \cdot \left(1 - \frac{(P - P_0) \Delta V}{L} \right). \)

मानों को प्रतिस्थापित करें:

\( T_{\text{min}} = 273.16 \cdot \left(1 - \frac{(10 - 1) \cdot 0.091}{80} \right). \)

\( T_{\text{min}} = 273.16 \cdot (1 - 0.0025) = 273.16 \cdot 0.9975. \)

\( T_{\text{min}} \approx 273.08 \, \text{K}. \)

सेल्सियस में परिवर्तित करें:

\( T_{\text{min}} \approx -0.06^\circ \text{C}. \)

अंतिम उत्तर: आनंददायक स्केटिंग के लिए सबसे कम तापमान लगभग \( -0.06^\circ \text{C}. \) है।

हल:

\( 20^\circ \text{C} \) पर 10 किग्रा पानी को \( -10^\circ \text{C} \) पर बर्फ में बदलने में तीन चरण शामिल हैं:

1. \( 20^\circ \text{C} \) से \( 0^\circ \text{C} \) तक पानी को ठंडा करना।
2. \( 0^\circ \text{C} \) पर पानी को बर्फ में जमाना।
3. \( 0^\circ \text{C} \) से \( -10^\circ \text{C} \) तक बर्फ को ठंडा करना।

प्रत्येक चरण कुल एंट्रॉपी परिवर्तन में योगदान देता है:

चरण 1: \( 20^\circ \text{C} \) से \( 0^\circ \text{C} \) तक पानी को ठंडा करना।

एंट्रॉपी परिवर्तन है:

\( \Delta S_1 = m C_{\text{water}} \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) \),

जहाँ:

• \( m = 10 \, \text{kg} \)
• \( C_{\text{water}} = 4180 \, \text{J/kg·deg} \)
• \( T_1 = 293 \, \text{K} \) और \( T_2 = 273 \, \text{K}. \)

प्रतिस्थापित करें:

\( \Delta S_1 = 10 \cdot 4180 \ln\left(\frac{273}{293}\right) = -2955 \, \text{J/K}. \)

चरण 2: \( 0^\circ \text{C} \) पर पानी को जमाना।

एंट्रॉपी परिवर्तन है:

\( \Delta S_2 = -\frac{Q}{T} = -\frac{m L_{\text{fusion}}}{273} \),

जहाँ \( L_{\text{fusion}} = 3.34 \times 10^5 \, \text{J/kg}. \)

प्रतिस्थापित करें:

\( \Delta S_2 = -\frac{10 \cdot 3.34 \times 10^5}{273} = -1.2234 \times 10^4 \, \text{J/K}. \)

चरण 3: \( 0^\circ \text{C} \) से \( -10^\circ \text{C} \) तक बर्फ को ठंडा करना।

एंट्रॉपी परिवर्तन है:

\( \Delta S_3 = m C_{\text{ice}} \ln\left(\frac{T_4}{T_3}\right) \),

जहाँ:

• \( C_{\text{ice}} = 2090 \, \text{J/kg·deg} \)
• \( T_3 = 273 \, \text{K} \) और \( T_4 = 263 \, \text{K}. \)

प्रतिस्थापित करें:

\( \Delta S_3 = 10 \cdot 2090 \ln\left(\frac{263}{273}\right) = -757 \, \text{J/K}. \)

भंडार का एंट्रॉपी परिवर्तन:

भंडार अवशोषित मुक्त ऊष्मा को अवशोषित करता है, इसलिए इसका एंट्रॉपी परिवर्तन है:

\( \Delta S_{\text{reservoir}} = \frac{Q_{\text{total}}}{T_{\text{reservoir}}} \),

जहाँ:

\( Q_{\text{total}} = 10 \cdot (4180 \cdot 20 + 3.34 \times 10^5 + 2090 \cdot 10) \).

प्रतिस्थापित करें:

\( \Delta S_{\text{reservoir}} = \frac{10 \cdot (8.36 \times 10^4 + 3.34 \times 10^5 + 2.09 \times 10^4)}{263} = 16673 \, \text{J/K}. \)

कुल एंट्रॉपी परिवर्तन:

समष्टि में एंट्रॉपी में कुल परिवर्तन है:

\( \Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 + \Delta S_{\text{reservoir}}. \)

प्रतिस्थापित करें:

\( \Delta S = -2955 - 1.2234 \times 10^4 - 757 + 16673 = 727 \, \text{J/K}. \)

अंतिम उत्तर: समष्टि में एंट्रॉपी में कुल परिवर्तन \( 727 \, \text{J/K}. \) है।

सही विकल्प 4) है।

हल:

मोटर का उपयोग करके \( 0^\circ \text{C} \) पर 2 kg पानी को जमा करने के लिए आवश्यक न्यूनतम समय की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:

मुक्त ऊष्मा (Q₂):

जब 2 kg पानी जमता है तो मुक्त ऊष्मा की गणना गलन की गुप्त ऊष्मा का उपयोग करके की जाती है:

\( Q_2 = m \cdot L_{\text{fusion}} \),

जहाँ:

• \( m = 2 \, \text{kg} \)
• \( L_{\text{fusion}} = 80 \, \text{cal/g} = 1.44 \, \text{kcal/g} \)

\( Q_2 = 1.44 \times 10^2 \, \text{kcal} = 1.6 \times 10^2 \, \text{kcal} \)

मोटर की दक्षता (η):

अधिकतम दक्षता कार्नोट समीकरण का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:

\( η = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \).

यहाँ:

• \( T_1 = 300 \, \text{K} \) (गर्म भंडार)
• \( T_2 = 273 \, \text{K} \) (ठंडा भंडार).

\( η = \frac{300 - 273}{300} = \frac{27}{300} = 0.09 \, \text{(or 9%)}. \)

न्यूनतम कार्य (W_min):

आवश्यक कार्य इस प्रकार दिया गया है:

\( W_{\text{min}} = Q_2 \cdot \frac{T_1 - T_2}{T_2} \).

मानों को प्रतिस्थापित करें:

\( W_{\text{min}} = 1.6 \times 10^2 \cdot \frac{27}{273} = 15.8 \, \text{kcal} \)

जूल में परिवर्तित करें (1 kcal = 4184 J):

\( W_{\text{min}} = 15.8 \cdot 4184 = 6.61 \times 10^4 \, \text{J} \)

आवश्यक समय (τ):

न्यूनतम समय की गणना मोटर की शक्ति का उपयोग करके की जाती है:

\( τ = \frac{W_{\text{min}}}{P} \).

दिया गया \( P = 50 \, \text{W} \), मानों को प्रतिस्थापित करें:

\( τ = \frac{6.61 \times 10^4}{50} = 1.32 \times 10^3 \, \text{seconds}. \)

मिनट में परिवर्तित करें:

\( τ = \frac{1.32 \times 10^3}{60} \approx 22 \, \text{minutes}. \)

अंतिम उत्तर: सबसे छोटा आवश्यक समय लगभग \( 1.3 \times 10^3 \, \text{seconds} \) या \( 22 \, \) मिनट है।

सही विकल्प 4) है।

स्पष्टीकरण:

जूल-थॉमसन गुणांक:- जब स्थिर प्रवाह में गैस को संकीर्णन से पारित किया जाता है, उदाहरण के लिए एक छिद्र या वाल्व के माध्यम से, तो सामान्यतौर पर इसके तापमान में बदलाव होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, ऐसी प्रक्रिया सम-तापीय धारिता होती है और उपयोगी रूप से जूल-थॉमसन गुणांक को हम निम्नवत परिभाषित कर सकते हैं:

\(\mu = {\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_H}\)

तापमान में परिवर्तन के एक माप के रूप में जो निर्माण के दौरान दबाव में पात के परिणामस्वरूप होता है।

• एक आदर्श गैस के लिए, μ = 0, क्योंकि आदर्श गैसें न तो गर्म होती हैं और न ही स्थिर तापीय धारिता पर विस्तारित होने पर ठंडी होती हैं।
• यदि μ, + ve है तो उपरोध के दौरान तापमान गिर जाएगा।
• यदि μ, -ve है तो उपरोध के दौरान तापमान बढ़ जाएगा।

स्पष्टीकरण:

यदि x, y और z के बीच कोई संबंध है तो z को x और y के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

प्रकार dz = Mdx + Ndy का एक समीकरण सटीक अवकल है, इसे \({\left( {\frac{{\partial M}}{{\partial y}}} \right)_x} = {\left( {\frac{{\partial N}}{{\partial x}}} \right)_y}\) के रूप में लिखा जा सकता है

व्युत्क्रमणीय प्रक्रिया से गुजरने वाले शुद्ध पदार्थ के लिए ये समीकरण सही हैं:

1. dU = T.ds – p.dv
2. dH = T.ds + v.dp
3. dF = -p.dV – s.dT
4. dG = v.dP –s.dT

उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है

1. \({\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial v}}} \right)_s} = - {\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial s}}} \right)_v}\)
2. \({\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial p}}} \right)_s} = \;{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial s}}} \right)_p}\)
3. \({\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial T}}} \right)_v} = \;{\left( {\frac{{\partial s}}{{\partial v}}} \right)_T}\)
4. \({\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial T}}} \right)_p} = - {\left( {\frac{{\partial s}}{{\partial p}}} \right)_T}\)

इन्हें मैक्सवेल के समीकरण के रूप में जाना जाता है ।

इन विकल्पों में से 4 मैक्सवेल के समीकरण के साथ मेल नहीं खाता है ।

अन्य मैक्सवेल संबंध हैं:

अगर x = ϕ (y, z) तो

\(dx = {\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial y}}} \right)_z}dy + {\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial z}}} \right)_y}dz\)

\(or,\;{\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial y}}} \right)_z}{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)_y}{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial z}}} \right)_x} = - 1\)

यदि F = ϕ (x, y, z) तो

\({\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial y}}} \right)_F}{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial z}}} \right)_F}{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)_F} = 1\)

संकल्पना:

आयतन विस्तार का गुणांक:

\(β = \frac{1}{V} × \frac{{{\rm{Δ }}V}}{{{\rm{Δ }}T}}\)

जहाँ, 

V = प्रारंभिक आयतन 

ΔV = आयतन में परिवर्तन, अर्थात् अंतिम आयतन - प्रारंभिक आयतन 

ΔT = तापमान में परिवर्तन, अर्थात् अंतिम तापमान - प्रारंभिक तापमान 

गणना:

दिया गया है:

β = 1 × 10-3 /K, V = 40000 लीटर

माना कि चेन्नई में तापमान अर्थात् प्रारंभिक तापमान = T1, ऊटी में तापमान अर्थात् अंतिम तापमान = T₂

साथ ही, हमारे पास निम्न हैं, T₂ = T₁ - 20

ΔT = T2 - T1

ΔT = -20 K

साथ ही, \(β = \frac{1}{V} × \frac{{{\rm{Δ }}V}}{{{\rm{Δ }}T}}\)

इसलिए, ΔV = β × V × ΔT

ΔV = 1 × 10-3 × 40000 × (-20)

ΔV = -800 लीटर 

चूँकि आयतन में परिवर्तन = अंतिम आयतन - प्रारंभिक आयतन 

अंतिम आयतन = 40000 + (-800)

अंतिम आयतन = 39200 लीटर 

अतः ऊटी पहुंंचाये गए डीजल की मात्रा 39200 लीटर थी। 

संकल्पना:

• मैक्सवेल के ऊष्मागतिक संबंध साम्यावस्था में एक ऊष्मागतिक प्रणाली के लिए मान्य हैं।
• एक संपीड्य तरल पदार्थ के p, v, T और s के गुणों के आंशिक अवकलजों से संबंधित समीकरण को मैक्सवेल संबंध कहा जाता है।

एक इकाई द्रव्यमान के लिए चार गिब्सियन संबंध हैं

• du = Tds – Pdv
• dh = Tds + vdP
• df = - Pdv – sdT
• dg = -sdT + vdP

चूँकि u, h, f और g गुण हैं इस प्रकार बिंदु फलन और उपरोक्त संबंध निम्न रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं

dz = Mdx + Ndy

साथ में,

\({\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial v}}} \right)_s} = \; + {\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial s}}} \right)_v}\)

निम्न रूप में चक्रीय संबंध को लागू करके

Mdx + Ndy → \({\left( {\frac{{\delta M}}{{\delta y}}} \right)_x} = {\left( {\frac{{\delta N}}{{\delta x}}} \right)_y}\)

अभी,

चक्रीय क्रम में गिब्सियन समीकरणों में से प्रत्येक के T,p,v,s से M,N,y और x को प्रतिस्थापित करके हम निम्नलिखित चार संबंध प्राप्त करेंगे।

\(1){\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial p}}} \right)_s} = {\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial s}}} \right)_p}\;\)

\(2){\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial T}}} \right)_v} = {\left( {\frac{{\partial s}}{{\partial v}}} \right)_T}\;\)

\(3){\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial v}}} \right)_s} = - {\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial s}}} \right)_v}\)

\(4){\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial T}}} \right)_p} = - {\left( {\frac{{\partial s}}{{\partial p}}} \right)_T}\)

ये संबंध मैक्सवेल के संबंध हैं और ऊष्मागतिकी में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे एन्ट्रापी में परिवर्तन को निर्धारित करने के साधन प्रदान करते हैं।

स्पष्टीकरण :

क्लॉसियस-क्लैप्रोन संबंध:

क्लॉसियस-क्लैप्रोन समीकरण फेज सीमाओं के साथ तापमान के साथ संतृप्ति दबाव की भिन्नता से संबंधित है।

सम्बन्ध इस प्रकार है: -

\({\left( {\frac{{dP}}{{dT}}} \right)_V} = {\left( {\frac{{ds}}{{dv}}} \right)_T}\)

जूल - थॉमसन संबंध:

किसी भी बिंदु पर T - P आरेख पर स्थिर तापीय धारिता की ढलान का संख्यात्मक मान जूल-थाॅमसन गुणांक कहलाता है और μj द्वारा निरूपित किया जाता है।

\({\mu _j} = \;{\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial P}}} \right)_h}\)

रैंकिन-हूगोनियोट का संबंध:

रैंकिन-हूगोनियोट का संबंध एक आघात अग्र पर द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के संरक्षण के लिए अभिव्यक्ति हैं।

कार्नोट समीकरण:

ऊष्मा प्रवाह एक शक्ति है जो तापमान T और एन्ट्रापी प्रवाह Ṡ के गुणनफल से उत्पन्न होती है
Q = TṠ
इस समीकरण को कार्नोट समीकरण कहा जाता है।

संकल्पना:

एक पूर्ण गैस का एंट्रॉपी समीकरण:

पहले और दूसरे नियम के लिए संयोजित समीकरण से:

पहला समीकरण:

Tds = du + pdv 

\(ds = \frac{{du}}{T} + \frac{P}{T}dv\)

पूर्ण गैस के लिए, du = C_vdT

Pv = RT

\(\frac{P}{T} = \frac{R}{v}\)

\(ds = {C_v}\frac{{dT}}{T} + \frac{R}{v}dv\)      ----(1)

दूसरा समीकरण:

Tds = dh – vdP

\(ds = \frac{{dh}}{T} - \frac{v}{T}dP\)

पूर्ण गैस के लिए, dh = C_pdT

\(ds = {C_p}\frac{{dT}}{T} - \frac{R}{P}\;dP\)      ----(2)

आदर्श गैस समीकरण Pv = RT को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

\(\ln P + \ln v = \ln R + \ln T\)

दोनों पक्षों पर अवकलन लेने पर 

\(\frac{{dP}}{P} + \frac{{dv}}{v} = \frac{{dT}}{T}\)

अब समीकरण (1) में dT/T का मान रखने पर

\(ds = {C_v}\frac{{dT}}{T} + \frac{R}{v}dv\)

\(ds = {C_v}\left( {\frac{{dP}}{P} + \frac{{dv}}{v}} \right) + R\frac{{dv}}{v}\)

\( \Rightarrow ds = {C_v}\frac{{dP}}{P} + \frac{{dv}}{v}\left( {{C_v} + R} \right)\)

यह ज्ञात है कि C_p = C_v + R 

\(\therefore ds = {C_v}\frac{{dP}}{P} + {C_p}\frac{{dv}}{v}\)      ----(3)

व्याख्या:

वेंडर-वाल्स समीकरण:

• समीकरण आदर्श गैस नियम का एक संशोधित संस्करण है जिसमें कहा गया है कि गैसों में बिंदु द्रव्यमान होते हैं जो पूरी तरह से प्रत्यास्थ संघटन से गुजरते हैं।
• आदर्श गैस समीकरण वास्तविक गैसों के व्यवहार की व्याख्या करने में विफल रहता है। इसलिए, वांडर-वाल समीकरण व्युत्पन्न किया गया था और यह हमें वास्तविक गैस की भौतिक स्थिति को परिभाषित करने में मदद करता है।
• वांडर-वाल समीकरण वास्तविक गैसों के दबाव, आयतन, तापमान और मात्रा के बीच संबंध को दर्शाता है। 'n' मोल वाली वास्तविक गैस के लिए,समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है:

\((P~+~\frac{an^2}{V^2})~(V~-~nb)~=~nRT\)

• स्थिरांक 'a' अंतर-आणविक बलों के लिए एक संशोधन प्रदान करता है।
• स्थिरांक 'b' गैस के कणों द्वारा अध्यासित ​किए गए आयतन के लिए प्रदान करता है।
• \(\frac{a}{V^2}\) संसजन बल कहा जाता है और 'b' को सह-आयतन कहा जाता है।

स्थिरांक 'a' और 'b' अलग-अलग पदार्थों के लिए अलग-अलग हैं। हम उस पदार्थ के क्रांतिक मूल्यों को जानकर किसी पदार्थ के 'a' और 'b' के अनुमान प्राप्त कर सकते हैं। यदि हम P-V आरेख बनाते हैं, तो ऐसा लगता है जैसे चित्र में दिखाया गया है:

क्रांतिक बिंदु से गुजरने वाले समताप में उस बिंदु पर एक नतिपरिवर्ती बिंदु होता है।

अत: T = Tc के लिए और क्रांतिक बिंदु पर,

\({(\frac{\partial P}{\partial V})}_{T ~= ~T_c}~=~0~and~{(\frac{\partial ^2P}{\partial V^2})}_{T~=~T_c}~=~0\)

और वेंडर-वाल समीकरण से, \(P~=~\frac{RT}{V~-~b}~-~\frac{a}{V^2}\)

\({(\frac{\partial P}{\partial V})}_{T ~= ~T_c}~=~-\frac{RT_c}{{(V_c ~-~b)}^2}~+~\frac{2a}{{V_c}^3}~=~0\)

और, \({(\frac{\partial ^2P}{\partial V^2})}_{T~=~T_c}~=~\frac{2RT_c}{{(V_c~-~b)}^3}~-~\frac{6a}{{V_c }^4}~=~0\)

और क्रांतिक बिंदु पर, वेंडर-वाल्स समीकरण है:

\((P_c~+~\frac{a}{V_c^2})~(V_c~-~b)~=~RT_c\)

उपरोक्त तीन समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(V_c ~=~3b,~T_c~=~\frac{8a}{27Rb},~P_c~=~\frac{a}{27b^2}\)

वैकल्पिक रूप से, हम क्रांतिक स्थिरांक के संदर्भ में वेंडर-वाल स्थिरांक की गणना कर सकते हैं:

\(a~=~\frac{27R^2 {T_c }^2}{64P_c},~b~=~\frac{RT_c}{8P_c}\)

क्रांतिक बिंदु पर भी, \(\frac{P_c V_c}{RT_c}~=~\frac{3}{8}\)

धारणा:

चार्ल्स का नियम बताता है कि एक आदर्श गैस के लिए गैस के स्थिर दबाव के तहत गैस का आयतन इसके तापमान के समानुपाती होता है।

PV = mRT

अब स्थिर दबाव के लिए यदि हम V बनाम T के बीच एक आलेख बनाते हैं तो यह एक सीधी रेखा होती है।

चार्ल्स ने विभिन्न दबावों के लिए प्रयोगात्मक रूप से आलेख का निर्माण किया और निम्नलिखित आलेख का पता लगाया

sPV = mRT

जब T = 0 K है, तो आयतन शून्य होता है।

उपरोक्त आलेख से हम देख सकते हैं कि T= –273.15 ˚C पर आयतन शून्य हो जाता है।

हम जानते हैं कि 0 K, –273.15 ˚C है जो निरपेक्ष शून्य तापमान को दर्शाता है।

निरपेक्ष तापमान केल्विन स्केल का उपयोग करके मापा जाने वाला तापमान है जहां शून्य निरपेक्ष शून्य है। शून्य बिंदु वह तापमान है जिस पर पदार्थ के कणों की अपनी न्यूनतम गति होती है और कोई ठंडा (न्यूनतम ऊर्जा) नहीं बन सकता है।

वर्णन:

क्लौसियस - क्लैपेरॉन समीकरण

• क्लौसियस - क्लैपेरॉन संबंध एकल घटक वाले पदार्थ के दो चरणों के बीच अनिरंतर चरण परिवर्तन के वर्गीकरण का एक तरीका है। 
• दबाव-तापमान (P - T) आरेख पर दो चरणों को अलग करने वाली रेखा को सहास्तित्व वक्र के रूप में जाना जाता है।
• क्लौसियस - क्लैपेरॉन संबंध इस वक्र के लिए स्पर्श रेखा का ढलान प्रदान करता है।
• क्लौसियस - क्लैपेरॉन संबंध का प्रयोग चरण सीमाओं के साथ दबाव और तापमान के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। बिन्दूदार हरी रेखा पानी का असंगत व्यवहार प्रदान करती है।

क्लौसियस - क्लैपेरॉन समीकरण जो जलवाष्प वक्र के ढलान को परिभाषित करता है:

\(\frac{{dP}}{{dT}} = \frac{{{h_{fg}}}}{{T\left( {{V_g}\;-\;{V_f}} \right)}} = \frac{L}{{T\left( {{V_2}\;-\;{V_1}} \right)}}\)

स्पष्टीकरण :

जूल-थॉम्पसन प्रभाव के सिद्धांत के कारण पंचर टायर से निकलने वाली संपीड़ित हवा ठंडी हो जाती है।

वाहन के ट्यूब के अंदर की हवा उच्च दबाव में होती है। जब टायर में पंचर हो जाता है, तो अंदर की हवा उस उच्च दबाव से बाहर के वातावरण में आती है जो कम दबाव पर होती है। इस प्रक्रिया में उसे एक छोटे से छेद से होकर गुजरना पड़ता है। ऐसा करने के लिए, हवा को ऊर्जा की आवश्यकता होती है। यह ऊर्जा वायु की आंतरिक ऊष्मा से प्राप्त होती है। तो यह बाहर आने के लिए अपनी आंतरिक ऊर्जा का उपयोग करता है। इस प्रकार अपनी आन्तरिक ऊष्मा को व्यय करके वह नली से बाहर आ जाती है और चूँकि वह अपनी ऊष्मा खो चुकी होती है, इसलिए वह ठंडी हो जाती है।

T-P के ग्राफ से हम चीजों को भी जोड़ सकते हैं।