Sum and Product of Roots MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sum and Product of Roots - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

समीकरण \( x^2 - x + 1 = 0 \) है,

हमें निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात करना है:

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^8 \)

समीकरण \( x^2 - x + 1 = 0 \) को निम्न प्रकार हल किया जाता है:

\( x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = e^{i \pi / 3} \quad \text{or} \quad x = e^{-i \pi / 3} \)

अब, \( x \) के मान को व्यंजक \( x - \frac{1}{x} \): में प्रतिस्थापित करें।

\( x - \frac{1}{x} = i\sqrt{3} \)

\( x - \frac{1}{x} \) की घातों का मूल्यांकन करें

अब, व्यंजक में प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = (i \sqrt{3})^2 = -3 \)

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 = (-3)^2 = 9 \)

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^8 = 9^2 = 81 \)

अब, मानों को जोड़ें:

\( -3 + 9 + 81 = 87 \)

∴ व्यंजक का मान 87 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

द्विघात समीकरण x² - kx + k = 0 है।

एक मूल दूसरे मूल से 2√3 अधिक है।

⇒ α - β = 2√3.

साथ ही,

मूलों का योग: α + β = k

मूलों का गुणनफल: α × β = k

गणना:

हमें निम्नलिखित सर्वसमिका ज्ञात हैं

\((\alpha + \beta )^2 = (\alpha - \beta)^2 - 4\alpha\beta \)

⇒ k² = (2√3)² - 4k

⇒ k² - 12 - 4k = 0

⇒ k² - 6k + 2k -12 = 0

⇒ k(k - 6) + 2 ( k - 6) = 0

⇒ (k - 6) (k + 2) = 0

⇒ k = 6 और k = -2

इस प्रकार, k के संभावित मान 6 और -2 हैं। 

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

\(\mathrm{x}^{2}+60^{\frac{1}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{a}=0 \) मूल α और β के साथ

⇒ \(α+β=-60^{\frac{1}{4}} \quad \& \quad α β=a\)

दिया गया है α 4 + β 4 = –30

\(\Rightarrow\left(α^{2}+β^{2}\right)^{2}-2 α^{2} β^{2}=-30\)

\(\Rightarrow\left\{(α+β)^{2}-2 α β\right\}^{2}-2 \mathrm{a}^{2}=-30 \)

\(\Rightarrow\left\{60^{\frac{1}{2}}-2 \mathrm{a}\right\}^{2}-2 \mathrm{a}^{2}=-30 \)

\(\Rightarrow 60+4 \mathrm{a}^{2}-4 \mathrm{a} \times 60^{\frac{1}{2}}-2 \mathrm{a}^{2}=-30 \)

\(\Rightarrow 2 \mathrm{a}^{2}-4.60^{\frac{1}{2}} \mathrm{a}+90=0 \)

\(\text { Product }=\frac{90}{2}=45\)

अतः, सही उत्तर 45 है।

दिया गया है:

α और β एक द्विघात बहुपद x2 - 25x + 150 = 0 के शून्यक है। 

अवधारणा:

यदि ax2 + bx + c = 0 एक द्विघात समीकरण है, तो

मूलों का योग = -b/a

मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:

यहाँ,

x2 - 25x + 150

a = 1, b = -25, c = 150

मूलों का योग, (α + β)= \(\frac{-(-25)}{1}\) = 25

मूलों का गुणनफल, αβ = \(\frac{150}{1}\) = 150

\(\frac{1}{α}+\frac{1}{β}\) = \(\frac{(α+β)}{αβ}\) = \(\frac{25}{150}\) = \(\frac{1}{6}\)

∴ विकल्प 4 सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

\(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\) रूप के घनीय समीकरण के लिए, जिसके मूल \(\alpha, \beta, \gamma\) हैं:

1. मूलों का योग: \(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{B}{A}\)

2. एक समय में दो मूलों के गुणनफल का योग: \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{C}{A}\)

3. मूलों का गुणनफल: \(\alpha\beta\gamma = -\frac{D}{A}\)

गणना:

दिए गए समीकरण \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\) के लिए:

⇒ \(\alpha + \beta + \gamma = -a\)

⇒ \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b\)

⇒ \(\alpha\beta\gamma = -c\)

\( \alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} \)

⇒ \(\frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\)

⇒ \(\frac{b}{-c}\)

∴ \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = -\frac{b}{c}\)

इसलिए विकल्प 2 सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए, 

α + β = -b/a और αβ = c/a

गणना:

दिया गया समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 है

ax2 + bx + c = 0 द्वारा इस समीकरण की तुलना करने पर , हम प्राप्त करते हैं

a = (5 + √2), b =  - (4 + √5) और c = (8 + 2√5)

अब, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) और α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

अब, हमें 2αβ/(α + β) का मान ज्ञात करना है 

⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

∴ 2αβ/ (α + β) का आवश्यक मान 4 है।

संकल्पना:

एक द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।

एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग निम्न है: \({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा दिया गया है: \({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

गणना:

दिया हुआ: α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं

मूलों का योग = α + β = -p

मूलों का गुणनफल = αβ = q

हम जानते हैं कि (a + b)² = a² + b² + 2ab

तो (α + β)² = α² + β² + 2αβ

⇒ (-p)² = α² + β² + 2q

∴ α² + β² = p² - 2q

संकल्पना:

मापांक मान ऋणात्मक नहीं होता है। 

tan^-1 (- x) = - tan^-1 (x)

गणना:

दिया गया है, समीकरण x² + 5|x| - 6 = 0 है। 

⇒|x²| + 5|x| - 6 = 0 

⇒|x²| + 6|x| - |x| - 6 = 0

⇒|x| (|x|+ 6) - 1 (|x| + 6) = 0

⇒ (|x| + 6) (|x| - 1)= 0

⇒(|x| + 6) = 0  और (|x| - 1) = 0

⇒ |x| = - 6  और |x| = 1

लेकिन |x| = - 6 है, जो संभव नहीं है क्योंकि मापांक का मान ऋणात्मक नहीं होता है। 

⇒ |x| = 1

⇒ x = 1 और x = -1

दिया गया है, α और β समीकरण x² + 5|x| - 6 = 0 के मूल हैं। 

इसलिए, α = 1 और β = -1 

अब, माना कि, |tan-1 α - tan-1 β| = |tan-1 (1) - tan-1 (- 1)|

⇒ |tan-1 (1) + tan-1 (1)|

⇒ |2 tan-1 (1)|

⇒ 2.\(\rm \dfrac{\pi}{4}\)

∴ \(\rm \dfrac{\pi}{2}\)

अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए

मूलों का योग = \(\rm-{b\over a}\)

मूलों का गुणनफल = \(\rm{c\over a}\)

गणना:

माना दूसरा मूल β है

दिया गया समीकरण x(x + 1) + 1 = 0 है

⇒ x2 + x + 1 = 0

a = 1, b = 1 और c = 1

चूँकि k समीकरण का मूल है

⇒ k2 + k + 1 = 0

⇒ k2 = -k - 1     ..(i)

मूलों का योग = \(-{1\over1}\) = -1

⇒ β + k = -1

⇒ β = -1 - k      .....(ii)

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

⇒ β = k2

∴ दूसरा मूल = k2

दिया गया समीकरण x(x + 1) + 1 = 0 है

अब (x2 + x + 1) = 0 का गुणनखंड

\({\rm{x}} = {\rm{\;}}\frac{{ - 1{\rm{\;}} \pm {\rm{\;}}\sqrt {{1^2} - 4{\rm{\;}} \times 1{\rm{\;}} \times 1} }}{{2{\rm{\;}} \times 1}} = {\rm{\;}}\frac{{ - 1{\rm{\;}} \pm {\rm{i}}\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Rightarrow {\rm{x}} = {\rm{\;}}\frac{{ - 1 + {\rm{i}}\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;or\;\;}}\frac{{ - 1 - {\rm{i}}\sqrt 3 }}{2}\)

⇒ x = ω या ω2

माना k = ω 

∴ दूसरा मूल = ω² =  k2

अवधारणा:

सामान्य द्विघात समीकरण

ax2 + bx + c = 0

• मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a
• मूलों का योग (α + β) = -b/a
• इस सूत्र का उपयोग करके मूल प्राप्त करना,  \(\displaystyle \rm x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
• sin 3θ = 3 sinθ - 4 sin³θ 

गणना:

दिया गया: 4x2 + 2x - 1 = 0

a = 4, b = 2, c = -1

\(\displaystyle x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

⇒ \(\displaystyle x = {-2 \pm \sqrt{2^2-4(4)(-1)} \over 2(4)}\)

⇒ \(\displaystyleα = {-1 + \sqrt{5} \over 4}\) और \(\displaystyle β = {-1 - \sqrt{5} \over 4}\)

जैसा कि हम जानते हैं कि \(\displaystyle sin\ 18° = {-1 + \sqrt{5} \over 4}\) और \(\displaystyle sin\ 54° = {1 + \sqrt{5} \over 4}\)

तो, जैसा कि हम जानते हैं α = sin 18° और β = - sin 54°   -----(i)

अब, दिए गए सूत्र से, sin 3θ = 3 sinθ - 4 sin3θ 

उपरोक्त त्रिकोणमितीय सूत्र में θ = 18° रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ sin 54° = 3 sin18° - 4 sin318°   ----(ii)

(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

⇒ - β = 3α - 4α³

⇒ β = 4α3 - 3α

∴ सही संबंध β = 4α3 - 3α है।

अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल निम्नप्रकार है:

\(\rm x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

गणना:

दिया गया द्विघात समीकरण:

\(\rm 2x^2-\sqrt5x-2 = 0\)

a = 2, b = \(-\sqrt5\) और c = -2

∴ \(\rm x = {-(-\sqrt5)\pm \sqrt{(-\sqrt5)^2- 4\times 2\times(-2)} \over 2\times2}\)

\(\rm x = {\sqrt5\pm \sqrt{5+16} \over 4}\)

\(\rm x = {\sqrt5+\sqrt{21} \over 4},{\sqrt5-\sqrt{21} \over 4}\)

∴ समीकरण के मूल वास्तविक, एक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हैं

संकल्पना:

द्विघाती समीकरण को लेने पर: ax2 + bx + c = 0

माना कि α और β मूल हैं। 

मूलों का योग = α + β = -b/a

मूलों का गुणनफल = α × β = c/a

गणना:

दिया गया द्विघाती समीकरण: 4x2 + 8x – β = 0 तथा मूल -5α और 3 हैं। 

अब, मूलों का योग:

⇒ -5α + 3 = -(8)/4 = -2 

⇒ -5α = -5

⇒ α = 1

अब, मूलों का गुणनफल:

⇒ (-5α)(3) = -β/4

⇒ - 15 α  = -β/4

⇒ 15 α = β/4

⇒ 15 = β/4  (∵ α = 1)

∴  β = 60

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए

मूलों का योगफल = -b/a

और मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:

यदि मूलों का योगफल = मूलों का गुणनफल

⇒ \(\frac{-b}{a}=\frac ca\)

⇒ -b = c

अतः, -b = c और a ≠ 0 के साथ अपरिमित रूप से कई द्विघात समीकरण हो सकते हैं

∴  सही विकल्प (4) है।​

अवधारणा:

α और β समीकरण ax2 + bx + c =0 के मूल हैं, 

मूलों का योग (α + β) = \(\rm \frac{-b}{a}\)

मूलों का गुणनफल (αβ) = \(\rm \frac{c}{a}\)

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy

गणना:

दिया गया: f (x) = x2 - 5x + 6

ax2 + bx + c =0 के साथ f (x) की तुलना करके हमारे पास a = 1, b = -5 और c = 6 हैं।

अब, मूलों का योग = α + β = \(\rm \frac{-b}{a}\) = \(\rm \frac{-(-5)}{1}\) = 5

और मूलों का गुणनफल αβ = \(\rm \frac{c}{a}\) = \(\rm \frac{6}{1}\) = 6।

अब, α2β + β2α = αβ ( α+ β ) 

= 6 × 5

= 30

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

मूलों का गुणनफल:

माना कि α और β, ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं तो α × β = c/a है। 

गणना:

यहाँ, x2 + x + 2 = 0 की तुलना ax2 + bx + c = 0 के साथ करने पर 

हमें निम्न प्राप्त होता है, a = 1, b = 1, c =2

मूलों का गुणनफल = α × β = c/a = 2

\(\frac{{{α ^{10}} + {β ^{10}}}}{{{α ^{ - 10}} + {β ^{ - 10}}}}\)

\(\begin{array}{l} =\frac{\alpha^{10}+\beta^{10}}{\frac{1}{\alpha^{10}}+\frac{1}{\beta^{10}}} \\ =\frac{\alpha^{10}+\beta^{10}}{\frac{\beta^{10}+\alpha^{10}}{\alpha^{10} \cdot \beta^{10}}} \\ =\alpha^{10} \cdot \beta^{10} \\ =(\alpha \cdot \beta)^{10} \\ =(2)^{10} \end{array}\)

= 1024

अतः विकल्प (3) सही है।