Sum and Product of Roots MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sum and Product of Roots - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Sum and Product of Roots MCQ Objective Questions
Sum and Product of Roots Question 1:
यदि , तो \((x-\frac{1}{x})^2+(x-\frac{1}{x})^4+(x-\frac{1}{x})^8\) का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 1 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
समीकरण \( x^2 - x + 1 = 0 \) है,
हमें निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात करना है:
\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^8 \)
समीकरण \( x^2 - x + 1 = 0 \) को निम्न प्रकार हल किया जाता है:
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = e^{i \pi / 3} \quad \text{or} \quad x = e^{-i \pi / 3} \)
अब, \( x \) के मान को व्यंजक \( x - \frac{1}{x} \): में प्रतिस्थापित करें।
\( x - \frac{1}{x} = i\sqrt{3} \)
\( x - \frac{1}{x} \) की घातों का मूल्यांकन करें
अब, व्यंजक में प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:
\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = (i \sqrt{3})^2 = -3 \)
\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 = (-3)^2 = 9 \)
\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^8 = 9^2 = 81 \)
अब, मानों को जोड़ें:
\( -3 + 9 + 81 = 87 \)
∴ व्यंजक का मान 87 है।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।
Sum and Product of Roots Question 2:
यदि समीकरण x2−kx+k=0 का एक मूल दूसरे से 2/3 अधिक है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा k का मान है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
द्विघात समीकरण x2 - kx + k = 0 है।
एक मूल दूसरे मूल से 2√3 अधिक है।
⇒ α - β = 2√3.
साथ ही,
मूलों का योग: α + β = k
मूलों का गुणनफल: α × β = k
गणना:
हमें निम्नलिखित सर्वसमिका ज्ञात हैं
\((\alpha + \beta )^2 = (\alpha - \beta)^2 - 4\alpha\beta \)
⇒ k2 = (2√3)2 - 4k
⇒ k2 - 12 - 4k = 0
⇒ k2 - 6k + 2k -12 = 0
⇒ k(k - 6) + 2 ( k - 6) = 0
⇒ (k - 6) (k + 2) = 0
⇒ k = 6 और k = -2
इस प्रकार, k के संभावित मान 6 और -2 हैं।
अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।
Sum and Product of Roots Question 3:
मान लीजिए a ∈ R है और α, β समीकरण \(\mathrm{x}^{2}+60^{\frac{1}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{a}=0\) के मूल हैं। यदि α 4 + β 4 = –30 है, तो a के सभी संभावित मानों का गुणनफल _____ है।
Answer (Detailed Solution Below) 45
Sum and Product of Roots Question 3 Detailed Solution
गणना:
\(\mathrm{x}^{2}+60^{\frac{1}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{a}=0 \) मूल α और β के साथ
⇒ \(α+β=-60^{\frac{1}{4}} \quad \& \quad α β=a\)
दिया गया है α 4 + β 4 = –30
\(\Rightarrow\left(α^{2}+β^{2}\right)^{2}-2 α^{2} β^{2}=-30\)
\(\Rightarrow\left\{(α+β)^{2}-2 α β\right\}^{2}-2 \mathrm{a}^{2}=-30 \)
\(\Rightarrow\left\{60^{\frac{1}{2}}-2 \mathrm{a}\right\}^{2}-2 \mathrm{a}^{2}=-30 \)
\(\Rightarrow 60+4 \mathrm{a}^{2}-4 \mathrm{a} \times 60^{\frac{1}{2}}-2 \mathrm{a}^{2}=-30 \)
\(\Rightarrow 2 \mathrm{a}^{2}-4.60^{\frac{1}{2}} \mathrm{a}+90=0 \)
\(\text { Product }=\frac{90}{2}=45\)
अतः, सही उत्तर 45 है।
Sum and Product of Roots Question 4:
यदि α और β, बहुपद p(x) = x2 - 25x + 150 = 0 के शून्यक हैं, तो \(\frac{1}{α}+\frac{1}{β}\) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
α और β एक द्विघात बहुपद x2 - 25x + 150 = 0 के शून्यक है।
अवधारणा:
यदि ax2 + bx + c = 0 एक द्विघात समीकरण है, तो
मूलों का योग = -b/a
मूलों का गुणनफल = c/a
गणना:
यहाँ,
x2 - 25x + 150
a = 1, b = -25, c = 150
मूलों का योग, (α + β)= \(\frac{-(-25)}{1}\) = 25
मूलों का गुणनफल, αβ = \(\frac{150}{1}\) = 150
\(\frac{1}{α}+\frac{1}{β}\) = \(\frac{(α+β)}{αβ}\) = \(\frac{25}{150}\) = \(\frac{1}{6}\)
∴ विकल्प 4 सही है।
Sum and Product of Roots Question 5:
यदि \(\alpha, \beta, \gamma\) समीकरण \( x^3 + ax^2 + bx + c = 0, \) के मूल हैं, तो \( \alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1} = \)
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 5 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
\(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\) रूप के घनीय समीकरण के लिए, जिसके मूल \(\alpha, \beta, \gamma\) हैं:
1. मूलों का योग: \(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{B}{A}\)
2. एक समय में दो मूलों के गुणनफल का योग: \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{C}{A}\)
3. मूलों का गुणनफल: \(\alpha\beta\gamma = -\frac{D}{A}\)
गणना:
दिए गए समीकरण \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\) के लिए:
⇒ \(\alpha + \beta + \gamma = -a\)
⇒ \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b\)
⇒ \(\alpha\beta\gamma = -c\)
\( \alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} \)
⇒ \(\frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\)
⇒ \(\frac{b}{-c}\)
∴ \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = -\frac{b}{c}\)
इसलिए विकल्प 2 सही है।
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यदि α और β द्विघात समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 के मूल हैं, तो 2αβ / (α + β) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए,
α + β = -b/a और αβ = c/a
गणना:
दिया गया समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 है
ax2 + bx + c = 0 द्वारा इस समीकरण की तुलना करने पर , हम प्राप्त करते हैं
a = (5 + √2), b = - (4 + √5) और c = (8 + 2√5)
अब, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) और α + β = (4 + √5)/(5 + √2)
अब, हमें 2αβ/(α + β) का मान ज्ञात करना है
⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]
⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]
⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11
⇒ 44/11 = 4
∴ 2αβ/ (α + β) का आवश्यक मान 4 है।
यदि α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं तो α2 + β2 का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।
माना कि α और β उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग निम्न है: \({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)
मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा दिया गया है: \({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)
गणना:
दिया हुआ: α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं
मूलों का योग = α + β = -p
मूलों का गुणनफल = αβ = q
हम जानते हैं कि (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
तो (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ
⇒ (-p)2 = α2 + β2 + 2q
∴ α2 + β2 = p2 - 2q
यदि α और β समीकरण x2 + 5|x| - 6 = 0 के मूल हैं, तो |tan-1α - tan-1 β| का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 8 Detailed Solution
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मापांक मान ऋणात्मक नहीं होता है।
tan-1 (- x) = - tan-1 (x)
गणना:
दिया गया है, समीकरण x2 + 5|x| - 6 = 0 है।
⇒|x2| + 5|x| - 6 = 0
⇒|x2| + 6|x| - |x| - 6 = 0
⇒|x| (|x|+ 6) - 1 (|x| + 6) = 0
⇒ (|x| + 6) (|x| - 1)= 0
⇒(|x| + 6) = 0 और (|x| - 1) = 0
⇒ |x| = - 6 और |x| = 1
लेकिन |x| = - 6 है, जो संभव नहीं है क्योंकि मापांक का मान ऋणात्मक नहीं होता है।
⇒ |x| = 1
⇒ x = 1 और x = -1
दिया गया है, α और β समीकरण x2 + 5|x| - 6 = 0 के मूल हैं।
इसलिए, α = 1 और β = -1
अब, माना कि, |tan-1 α - tan-1 β| = |tan-1 (1) - tan-1 (- 1)|
⇒ |tan-1 (1) + tan-1 (1)|
⇒ |2 tan-1 (1)|
⇒ 2.\(\rm \dfrac{\pi}{4}\)
∴ \(\rm \dfrac{\pi}{2}\)
यदि k समीकरण x(x + 1) + 1 = 0 के मूलों में से एक है तो इसका दूसरा मूल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 9 Detailed Solution
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द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए
मूलों का योग = \(\rm-{b\over a}\)
मूलों का गुणनफल = \(\rm{c\over a}\)
गणना:
माना दूसरा मूल β है
दिया गया समीकरण x(x + 1) + 1 = 0 है
⇒ x2 + x + 1 = 0
a = 1, b = 1 और c = 1
चूँकि k समीकरण का मूल है
⇒ k2 + k + 1 = 0
⇒ k2 = -k - 1 ..(i)
मूलों का योग = \(-{1\over1}\) = -1
⇒ β + k = -1
⇒ β = -1 - k .....(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
⇒ β = k2
∴ दूसरा मूल = k2
दिया गया समीकरण x(x + 1) + 1 = 0 है
अब (x2 + x + 1) = 0 का गुणनखंड
\({\rm{x}} = {\rm{\;}}\frac{{ - 1{\rm{\;}} \pm {\rm{\;}}\sqrt {{1^2} - 4{\rm{\;}} \times 1{\rm{\;}} \times 1} }}{{2{\rm{\;}} \times 1}} = {\rm{\;}}\frac{{ - 1{\rm{\;}} \pm {\rm{i}}\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Rightarrow {\rm{x}} = {\rm{\;}}\frac{{ - 1 + {\rm{i}}\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;or\;\;}}\frac{{ - 1 - {\rm{i}}\sqrt 3 }}{2}\)
⇒ x = ω या ω2
माना k = ω
∴ दूसरा मूल = ω2 = k2
यदि α और β समीकरण 4x2 + 2x - 1 = 0 के मूल हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 10 Detailed Solution
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सामान्य द्विघात समीकरण
ax2 + bx + c = 0
- मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a
- मूलों का योग (α + β) = -b/a
- इस सूत्र का उपयोग करके मूल प्राप्त करना, \(\displaystyle \rm x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
- sin 3θ = 3 sinθ - 4 sin3θ
गणना:
दिया गया: 4x2 + 2x - 1 = 0
a = 4, b = 2, c = -1
\(\displaystyle x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
⇒ \(\displaystyle x = {-2 \pm \sqrt{2^2-4(4)(-1)} \over 2(4)}\)
⇒ \(\displaystyleα = {-1 + \sqrt{5} \over 4}\) और \(\displaystyle β = {-1 - \sqrt{5} \over 4}\)
जैसा कि हम जानते हैं कि \(\displaystyle sin\ 18° = {-1 + \sqrt{5} \over 4}\) और \(\displaystyle sin\ 54° = {1 + \sqrt{5} \over 4}\)
तो, जैसा कि हम जानते हैं α = sin 18° और β = - sin 54° -----(i)
अब, दिए गए सूत्र से, sin 3θ = 3 sinθ - 4 sin3θ
उपरोक्त त्रिकोणमितीय सूत्र में θ = 18° रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
⇒ sin 54° = 3 sin18° - 4 sin318° ----(ii)
(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
⇒ - β = 3α - 4α3
⇒ β = 4α3 - 3α
∴ सही संबंध β = 4α3 - 3α है।
समीकरण 2x2 - √5x - 2 = 0 के मूल ____________ हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 11 Detailed Solution
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द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल निम्नप्रकार है:
\(\rm x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
गणना:
दिया गया द्विघात समीकरण:
\(\rm 2x^2-\sqrt5x-2 = 0\)
a = 2, b = \(-\sqrt5\) और c = -2
∴ \(\rm x = {-(-\sqrt5)\pm \sqrt{(-\sqrt5)^2- 4\times 2\times(-2)} \over 2\times2}\)
\(\rm x = {\sqrt5\pm \sqrt{5+16} \over 4}\)
\(\rm x = {\sqrt5+\sqrt{21} \over 4},{\sqrt5-\sqrt{21} \over 4}\)
∴ समीकरण के मूल वास्तविक, एक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हैं
4x2 + 8x – β = 0 में मूल -5α और 3 है। तो β का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
द्विघाती समीकरण को लेने पर: ax2 + bx + c = 0
माना कि α और β मूल हैं।
मूलों का योग = α + β = -b/a
मूलों का गुणनफल = α × β = c/a
गणना:
दिया गया द्विघाती समीकरण: 4x2 + 8x – β = 0 तथा मूल -5α और 3 हैं।
अब, मूलों का योग:
⇒ -5α + 3 = -(8)/4 = -2
⇒ -5α = -5
⇒ α = 1
अब, मूलों का गुणनफल:
⇒ (-5α)(3) = -β/4
⇒ - 15 α = -β/4
⇒ 15 α = β/4
⇒ 15 = β/4 (∵ α = 1)
∴ β = 60
अतः विकल्प (2) सही है।
कितने द्विघात समीकरणों के लिए मूलों का योगफल, मूलों के गुणनफल के बराबर है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 13 Detailed Solution
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द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए
मूलों का योगफल = -b/a
और मूलों का गुणनफल = c/a
गणना:
यदि मूलों का योगफल = मूलों का गुणनफल
⇒ \(\frac{-b}{a}=\frac ca\)
⇒ -b = c
अतः, -b = c और a ≠ 0 के साथ अपरिमित रूप से कई द्विघात समीकरण हो सकते हैं
∴ सही विकल्प (4) है।
यदि α और β द्विघात बहुपद f (x) = x2 - 5x +6 के शून्यक हैं तो ( α2β + β2α ) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
α और β समीकरण ax2 + bx + c =0 के मूल हैं,
मूलों का योग (α + β) = \(\rm \frac{-b}{a}\)
मूलों का गुणनफल (αβ) = \(\rm \frac{c}{a}\)
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
गणना:
दिया गया: f (x) = x2 - 5x + 6
ax2 + bx + c =0 के साथ f (x) की तुलना करके हमारे पास a = 1, b = -5 और c = 6 हैं।
अब, मूलों का योग = α + β = \(\rm \frac{-b}{a}\) = \(\rm \frac{-(-5)}{1}\) = 5
और मूलों का गुणनफल αβ = \(\rm \frac{c}{a}\) = \(\rm \frac{6}{1}\) = 6।
अब, α2β + β2α = αβ ( α+ β )
= 6 × 5
= 30
सही विकल्प 2 है।
यदि α, β समीकरण \(\frac{{{\alpha ^{10}} + {\beta ^{10}}}}{{{\alpha ^{ - 10}} + {\beta ^{ - 10}}}}\) किसके बराबर है?
x2 + x + 2 = 0 के मूल हैं तोAnswer (Detailed Solution Below)
Sum and Product of Roots Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
मूलों का गुणनफल:
माना कि α और β, ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं तो α × β = c/a है।
गणना:
यहाँ, x2 + x + 2 = 0 की तुलना ax2 + bx + c = 0 के साथ करने पर
हमें निम्न प्राप्त होता है, a = 1, b = 1, c =2
मूलों का गुणनफल = α × β = c/a = 2
\(\frac{{{α ^{10}} + {β ^{10}}}}{{{α ^{ - 10}} + {β ^{ - 10}}}}\)
\(\begin{array}{l} =\frac{\alpha^{10}+\beta^{10}}{\frac{1}{\alpha^{10}}+\frac{1}{\beta^{10}}} \\ =\frac{\alpha^{10}+\beta^{10}}{\frac{\beta^{10}+\alpha^{10}}{\alpha^{10} \cdot \beta^{10}}} \\ =\alpha^{10} \cdot \beta^{10} \\ =(\alpha \cdot \beta)^{10} \\ =(2)^{10} \end{array}\)
= 1024
अतः विकल्प (3) सही है।