Special Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन  है, जहाँ महत्तम पूर्णांक फलन है, और g(x) = |x|, निरपेक्ष मान फलन है।

हमें यह ज्ञात करना है:

के लिए, हम जानते हैं कि:

के लिए, हम जानते हैं कि:

के लिए, , इसलिए f(x) = sin(0) = 0

के लिए, , इसलिए , जो एक शून्येतर अचर है।

सीमा का मूल्यांकन:

के लिए,

के लिए, , जो अपरिभाषित हो जाता है क्योंकि क्योंकि हर 0 की ओर अग्रसर है, लेकिन अंश एक शून्येतर अचर रहता है।

∴ चूँकि बाएँ-पक्ष और दाएँ-पक्ष की सीमाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

सही उत्तर विकल्प (4) है। 

गणना:

दिया गया है,

फलन है , जहाँ महत्तम पूर्णांक फलन है, और g(x) = |x|, निरपेक्ष मान फलन है।

हमें ज्ञात करना है:

के लिए, हम जानते हैं कि:

के लिए, हम जानते हैं कि:

के लिए, , इसलिए f(x) = sin(0) = 0

के लिए, , इसलिए  है, जो कि एक शून्येतर अचर है।

सीमा का परिकलन:

के लिए,

के लिए, , जो 0 की ओर अग्रसर है चूँकि .है। 

इसलिए, का मान 0 है।

सही उत्तर विकल्प (2) है।

हल:

दिया गया है: log_a(ab) = x

हमें log_b(ab) ज्ञात करना है।

प्रयुक्त अवधारणा:

लघुगणकीय गुणधर्म बताता है:

log_a(ab) = log_a(a) + log_a(b)

यहाँ, log_a(a) = 1.

इस प्रकार, log_a(ab) = 1 + log_a(b).

यदि log_a(ab) = x है, तो log_a(b) = x - 1.

आधार रूपांतरण सूत्र का उपयोग करते हुए:

log_b(ab) = log_a(ab) / log_a(b).

गणना:

दिया गया है log_a(ab) = x और log_a(b) = x - 1:

log_b(ab) = log_a(ab) / log_a(b)

⇒ log_b(ab) = x / (x - 1)

दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर:

विकल्प 1: x / (1 + x)

विकल्प 2: x / (x - 1)

विकल्प 3: 1 / x

विकल्प 4: x / (1 - x)

सही उत्तर विकल्प 2 है।

निष्कर्ष: ∴ log_b(ab) = x / (x - 1), जो विकल्प 2 से मेल खाता है।

व्याख्या:

चूँकि, {x}+[x] = x

⇒x - [x] = {x}

⇒ 0≤ x - [x]

⇒ -1 ≤ [x] -x ≤ 0

परन्तु x धनात्मक और पूर्णांक नहीं है; तब

⇒ -1

⇒ -1

⇒ [y] = -1

∴ विकल्प (a) सही है।

दिया गया है:

8^k = 2

प्रयुक्त सूत्र:

log_b a = c ^{यदि और केवल यदि} b^c = a

गणना:

दिया गया है: 8^k = 2

⇒ log₈ 2 = k

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

लघुगणक का सूत्र:

यदि  तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: 

        (∵ )

               (∵ ) 

धारणा:

, यहाँ  और a > 0 और x कोई भी संख्या हो।

गणना:

दिया हुआ: 92^1/5 = 4

जैसा कि हम जानते हैं कि, 

 के साथ 921/5 = 4 की तुलना करके हमारे पास है

यहाँ, a = 92, b = 1 / 5 और x = 4

इसलिए, 921/5 = 4 का लघुगणक रूप  है।

धारणा:

लघुगणक गुण

1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

2. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

3. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

4. आधार का परिवर्तन नियम

यदि m = n;
⇒

गणना:

यहाँ, हमें का मूल्य ज्ञात करना है

= log₇ log₇ (7^1/2 × 7^1/4 × 7^1/8)

= log₇ log₇ (7(^{1/2 + 1/4 + 1/8)})

= log₇ log₇ (7^{(4 + 2 + 1)/8})

= log₇ log₇ (7^7/8)

घात नियम से;

= log₇ (7/8) log₇7

= log₇ (7/8) × 1 = log₇ (7/8) = log₇ 7 – log₇ 8

= 1 – log₇ 8 = 1 – log₇ 2³

= 1 – 3 log₇ 2

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

लघुगणक का सूत्र:

यदि  तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \log_{4}{(x^{2} - 1)} - \log_{4} (x + 1) = 1\)

        (∵ )

⇒ (x - 1) = 4

∴ x = 5

अवधारणा:

लघुगणक:

• यदि ab = x तो हम कहते हैं कि loga x = b
• loga a = 1
• loga (xy) = loga x + loga y

गणना:

हम जानते हैं कि 80 = 23 × 10

दिए गए लघुगणक को log 2 में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

log10 80

= log10 (23 × 10)

= log10 23 + log10 10

= 3 (log10 2) + 1

= 3(0.3010) + 1

= 1.9030

दिया गया है:

5x-1 = (2.5)log105

प्रयुक्त सूत्र:

यदि a^x = n है, तो x = log_aⁿ

log_a^b = log_e^b/log_e^a

गणना:

हमारे पास है, 5x-1 = (2.5)log105

⇒ (2.5)log105 = 5x-1 

⇒ log₁₀⁵  = log_2.5^5x-1 

⇒ log105  = (x - 1) log2.55

⇒ (x - 1) = (log105)/(log2.55)

⇒ (x - 1) = log₁₀^2.5

⇒ x = log102.5 _{+ 1}

⇒ x = log102.5 ₊ log₁₀¹⁰

⇒ x = log1010 × 2.5

⇒ x = log1025

⇒ x = log105²

⇒ x = 2log10​5

∴ x का मान 2log10​5 है।

धारणा:

लघुगणक गुण

1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

2. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

3. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

4. आधार का परिवर्तन नियम

यदि m = n;

⇒ 

5. 

गणना:

यहाँ, हमें का मूल्य ज्ञात करना है

अब

 = log₃ log₃ (3^1/2 × 3^1/4)

= log₃ log₃ (3^{(1/2 + 1/4)})

= log₃ log₃ (3^{(2 + 1)/4})

= log₃ log₃ (3^3/4)

घात नियम से;

= log₃ [(3/4)× log₃3]                [∵ log_a (m) ⁿ = n × log_a (m)]

= log₃ (3/4)                  (∵ log_m m = 1)

= log₃ (3/4) = log₃ 3 – log₃ 4

= 1 – log₃ 4 = 1 – log₃ 2²

= 1 – 2 log₃ 2

संकल्पना:

प्रयोग किया गया सूत्र:

• Log_a M + log_a N = log_a (MN)

क्रमगुणित:

• n! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × (n – 1) × n

गणना:

  का प्रयोग करने पर 

= log_N (2 × 3 × ⋯ × 100)

= log_N (100!)

संकल्पना:

लघुगुणक नियम 

log mⁿ = n log m

गणना:

माना कि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं। 

⇒ y = x + 1 और z = y + 1

⇒ z = x + 2

माना कि log (1 + xz) है। 

= log [1 + x(x+2)]

= log [1 + x² + 2x]

= log (1 + x)²

= 2 log (1 + x)

= 2 log y

अतः यदि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, तो log (1 + xz) का मान 2 log y है। 

संकल्पना:

• आधार परिवर्तन प्रमेय से हम जानते हैं कि .
• log _x (x) = 1

गणना:

दिया गया है कि 

आधार परिवर्तन से हम इसे निम्न रूप में लिखा सकते हैं -

⇒ log₆₀9 + log6016 +log6025

लघुगुणक के गुणनफल नियम से हम इसे निम्न रूप में फिर से लिख सकते हैं -

⇒ log₆₀(9 x 16 x 25) = log₆₀(3600)

⇒ log₆₀ (60)² = 2 log₆₀(60) = 2

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।