Scalar or Dot Product MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Scalar or Dot Product - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

\( \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1 \)

सर्वसमिका \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

\( (1 - \sin^2(\alpha)) + (1 - \sin^2(\beta)) + (1 - \sin^2(\gamma)) = 1 \)

समीकरण को सरल करने पर:

\( 3 - (\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma)) = 1 \)

साइन पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

\( \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

अब, अदिश गुणनफल की गणना करने पर:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

∴  \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) का मान 2 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

\(\overrightarrow{\mathrm{b}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \hat{\mathrm{j}})\)

⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{b}}=\lambda(-2 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})\)

⇒ \(|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{a}}| \quad \therefore \sqrt{6}=\sqrt{12}|\lambda| \Rightarrow \lambda= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\left(\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}} \text { rejected } \because \overrightarrow{\mathrm{b}} \text { makes acute angle with y axis }\right)\)

⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{b}}=-\sqrt{2}(-\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\)

⇒ \(\frac{(3 \vec{a}+\sqrt{2 b}) \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}=3 \sqrt{2}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

\(⃗ a+2⃗ b\) और \(\rm 5⃗ a-4⃗ b\) लंबवत सदिश हैं।

⇒ \((⃗ a+2⃗ b).\)\((\rm 5⃗ a-4⃗ b)\) = 0

⇒ \(5|⃗ a|^2 -4⃗ a.⃗ b + 10⃗ a . ⃗ b - 8(⃗ b)^2=0\)

⇒ \(5× 1 + 6⃗ a.⃗ b-8 =0\)

अब \(\vec a, \vec b\) इकाई सदिश हैं

⇒ \(6 |\vec a||\vec b| Cosθ = 3\)

⇒ 6 cosθ = 3

⇒Cosθ = 1/2

अब

cos2 θ = 2Cos²θ -1

= 2x (1/2)² -1

= \(-\frac{1}{2}\)

अब,

cosθ + cos2θ = 1/2 -1/2 =0

∴ सही उत्तर विकल्प a है

संकल्पना:

\(\begin{aligned} |\vec{a}-\vec{b}|^{2} &=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b} \\ &=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}-4 \vec{a} \cdot \bar{b} \\ &=|\vec{a}+\vec{b}|^{2}-4 \vec{a} \cdot \vec{b} \end{aligned}\)​

\({\rm{\vec a}}.{\rm{\vec b}}= |{\rm{\vec a}}|.|{\rm{\vec b}}|\cos \theta\)

यदि \({\rm{\vec a}}.{\rm{\vec b}}= 0\) है, तो सदिश a, b के लंबवत है। 

गणना:

\(\left| {{\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}} \right| = \left| {{\rm{\vec a}} - {\rm{\vec b}}} \right|\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

\(\begin{aligned} |\vec{a}-\vec{b}|^{2} &=|\vec{a}+\vec{b}|^{2}\end{aligned}\)

अब हमारे पास निम्न हैं,

\(\begin{aligned} |\vec{a}-\vec{b}|^{2} &=|\vec{a}+\vec{b}|^{2}-4 \vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}+\vec{b}|^{2}\end{aligned}\\\Rightarrow-4 \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \\\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} =0\)

∴  सदिश a, b के लंबवत है। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

• सदिश \(\vec{b}\) का \(\vec{a}\) पर प्रक्षेपण \(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}\) द्वारा दिया जाता है।

• \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta\)

गणना:

दिया गया है:

\(\vec{a} \times \vec{b} = 7\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}\) और \(\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}\)

\(\vec{b}\) के \(\vec{a}\) पर प्रक्षेपण की लंबाई \( = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} = \frac{8}{\sqrt{14}}\)

हमारे पास \(\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}\)

इसलिए, \(|\vec{b} \cdot \vec{a}| = 8\)

हमारे पास \(\vec{a} \times \vec{b} = 7\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}\)

\(|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 25 + 16} = \sqrt{90}\)

हम जानते हैं कि \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta\)

इसलिए, \(\sqrt{90} = \sqrt{14} |\vec{b}| \sin \theta\)

\(|\vec{b}| \sin \theta = \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{14}}\)

हमारे पास \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 8\)

\(|\vec{b}| \cos \theta = \frac{8}{\sqrt{14}}\)

वर्ग करके जोड़ने पर, हमें मिलता है

\(|\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \frac{90}{14} + \frac{64}{14} = \frac{154}{14} = 11\)

⇒ \(|\vec{b}|^2 = 11\)

⇒ \(|\vec{b}| = \sqrt{11}\)

इसलिए विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

बिंदु गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या अदिश गुणनफल भी कहा जाता है

माना कि दो सदिश \({\rm{\vec a}}\) और \({\rm{\vec b}}\) हैं

दो सदिशों का बिंदु गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\rm \vec a.{\rm{\;}}\vec b\) = |a||b| cos θ

जहाँ |\(\rm \vec a\)| = सदिश a का परिमाण, |\(\rm \vec b\)| = सदिश b का परिमाण और θ, a और b के बीच का कोण है

बिंदु गुणनफल के सूत्र:

 \(\rm \vec i.\vec i = \vec j.\vec j = \vec k.\vec k = 1\)

\(\rm \vec i.\vec j = \vec j.\vec i = \vec i.\vec k = \vec k.\vec i =\vec j.\vec k= \vec k.\vec j = 0\)

गणना:

दिया गया है कि,

(â + b̂ + ĉ) = 0    ----(1)

हम जानते हैं कि,

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

⇒ (â + b̂ + ĉ)2 = â ⋅ â + b̂ ⋅ b̂ + ĉ ⋅ ĉ + 2(â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â) 

समीकरण (1) से 

⇒ 1 + 1 + 1 + 2 (â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â) = 0

 ⇒ (â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â) = - 3/2    

अवधारणा:

यदि \(\rm \vec{a}\)और \(\rm \vec{b}\) परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं तो \(\rm \vec{a}.\vec{b} = 0= ​​\)\(\rm \vec{b}.\vec{a} = 0\) है

\(\rm \vec{a}.\vec{a} = |\vec{a}|^2\),  \(\rm \vec{b}.\vec{b} = |\vec{b}|^2\)

गणना:

 \(\rm (3\vec{a}+2\vec{b})\cdot (5\vec{a}-6\vec{b})\)पर विचार करें

दिया गया है  \(\rm \vec{a}\) और \(\rm \vec{b}\) परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।

इसलिए,  \(\rm \vec{a}.\vec{b} = 0= ​​\)\(\rm \vec{b}.\vec{a} = 0\)

और \(\rm \vec{a}\) और \(\rm \vec{b}\) इकाई सदिश हैं

इसलिए, \(\rm |\vec{a}|= |\vec{b}| = 1\)

\(\rm (3\vec{a}+2\vec{b})\cdot (5\vec{a}-6\vec{b})\)

\(= \rm 3\vec{a}\cdot 5\vec{a}+2\vec{b}\cdot 5\vec{a} -3\vec{a}\cdot6\vec{b}-2\vec{b}\cdot 6\vec{b}\)

= \(\rm 15|\vec {a}|^2 - 12 |\vec {b}|^2\)

= 15 - 12 

= 3

संकल्पना:

दो सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) के अन्योन्य गुणनफल को \(\rm \vec A.\vec B=\rm \left|\vec A\right|\rm \left|\vec B\right|\cos \theta\) से परिभाषित किया जाता है जहां \(\rm \left|\vec A\right|\) सदिश \(\rm \vec A\) का परिमाण है।

\(\rm \vec A.\vec A=\rm \left|\vec A\right|^2\)

गणना:

हमें दिया गया है कि "दो सदिशों \(\rm \vec a\) और \(\rm \vec b\) का योग एक सदिश \(\rm \vec c\) है"। 

⇒ \(\rm \vec a +\vec b=\vec c\)

खुद के साथ दोनों पक्षों का बिंदु गुणनफल लेकर परिमाण अभी भी बराबर होंगे:

⇒ \(\rm \left(\vec a +\vec b\right).\left(\vec a +\vec b\right)=\left(\vec c\right).\left(\vec c\right)\)

⇒ \(\rm \left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2+2\vec a.\vec b=\left|\vec c\right|^2\)

चूंकि \(\rm \left|\vec a \right|=\left|\vec b \right|=\left|\vec c \right|=2\), हमें मिला:

⇒ \(\rm 2^2+2^2+2\vec a.\vec b=2^2\)

⇒ \(\rm 4+4+2\vec a.\vec b=4\)

⇒ \(\rm 2\vec a.\vec b=-4\)

अब, \(\rm \rm \left|\vec a-\vec b\right|^2=\left(\vec a -\vec b\right).\left(\vec a -\vec b\right)\)

= \(\rm \left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2-2\vec a.\vec b\)

= 4 + 4 - (-4)

= 12

⇒ \(\rm \rm \left|\vec a-\vec b\right|=\sqrt{12}=2\sqrt3\)

संकल्पना:

यदि \(\rm \vec{a} \ and \ \vec b\) दो सदिश हैं, तो \(\rm \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cosθ\)  है। 

सूचना: यदि सदिश \(\rm \vec{a} \ and \ \vec b\)  एक-दूसरे के लंबवत है, तो \(\rm \vec{a}.\vec{b}=0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

\(\vec a = \hat i + \hat j - \hat k \ and \ \vec b =\hat i - \hat j - \hat k\)

माना कि θ सदिश \(\rm \vec{a} \ and \ \vec b\) के बीच का कोण है। 

⇒ \(|\vec a| = \sqrt 3 \ and \ |\vec b| = \sqrt 3\)

हम जानते हैं कि, 

\(\rm \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cosθ\)

⇒ \((\hat i + \hat j - \hat k) \cdot (\hat i - \hat j - \hat k) = \sqrt 3 \times \sqrt 3 \times cos θ \)

⇒ 1 = 3 cos θ 

⇒ \(\rm cos\ θ=\frac{1}{3}\) 

⇒ \(\rm θ=cos^{-1}\frac{1}{3}\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

अवधारणा :

• \(\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2\)
• \(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)
• यदि \(\vec a\) एक इकाई सदिश है तो \(|\vec a| = 1\)

गणना :

दिया गया: \((\vec x - \vec a) \cdot (\vec x + \vec a) = 12\) और \(\vec a\) एक इकाई सदिश है

⇒ \((\vec x - \vec a) \cdot (\vec x + \vec a) = |\vec x|^2 + \vec x \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec x - |\vec a|^2 = 12\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)

⇒ \((\vec x - \vec a) \cdot (\vec x + \vec a) = |\vec x|^2 - |\vec a|^2 = 12\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, अगर \(\vec a\) एक इकाई सदिश है तो \(|\vec a| = 1\)

⇒ \(|\vec x|^2 = 13 \Rightarrow |\vec x| = \sqrt {13}\)

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

• सदिश का स्वयं के लिए पार गुणनफल = 0 
• संरेखीय सदिश का पार गुणनफल = 0 
• संरेखीय सदिश का बिंदु गुणनफल = उनके परिमाणों का गुणनफल 
• \(\rm \vec a \times \vec b=-\vec b \times \vec a\)
• बिंदु गुणनफल के लिए \(\rm (\vec P + \vec Q) \cdot \vec R = (\vec P\cdot \vec R) +(\vec Q\cdot \vec R)\)
• पार गुणनफल के लिए\(\rm (\vec P + \vec Q) ×\vec R = (\vec P×\vec R) + (\vec Q×\vec R) \) 
• \(\rm \vec P= \hat P={\vec P\over\left|\vec P\right|}\) की दिशा में इकाई सदिश 
• \(\rm \vec P\) की दिशा में सदिश \(\rm \vec X\)= (\(\rm \vec X\) का परिमाण) × \(\rm \hat P\)

गणना:

दिया गया है:

\(\rm\vec a × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) = (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) × \vec b\)

⇒ \(\rm\vec a × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) - (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) × \vec b=0\)

⇒ \(\rm\vec a × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) + \vec b × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) =0\)

⇒ \(\boldsymbol{\rm(\vec a + \vec b) × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) =0}\)

इसका अर्थ है कि \(\rm\vec a + \vec b\) और \(\rm2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\)  संरेखीय सदिश हैं। 

∴ \(\rm\vec a + \vec b = \left|\vec a + \vec b\right| × {2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\over \left|2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\right|}\) 

⇒ \(\rm\vec a + \vec b = \sqrt{29}× {2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\over\sqrt{29}}\) 

⇒ \(\boldsymbol{\rm\vec a + \vec b = 2\hat i + 3\hat j + 4\hat k}\)

\(\rm (\vec a + \vec b)\cdot(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = \left(2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\right)\cdot\left(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k\right)\)

⇒ \(\rm (\vec a + \vec b)\cdot(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = \left(2\times(-7) + 3\times2 + 4\times3\right)\) 

⇒ \(\rm (\vec a + \vec b)\cdot(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = \left(-14 +6 + 12\right)\) 

⇒ \(\boldsymbol{\rm (\vec a + \vec b)\cdot(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = 4}\)

अवधारणा:

बिंदु गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या अदिश गुणनफल भी कहा जाता है

माना कि दो सदिश \({\rm{\vec a}}\) और \({\rm{\vec b}}\) हैं

दो सदिशों का बिंदु गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\rm \vec a.{\rm{\;}}\vec b\) = |a||b| cos θ

जहाँ |\(\rm \vec a\)| = सदिश a का परिमाण, |\(\rm \vec b\)| = सदिश b का परिमाण और θ, a और b के बीच का कोण है

बिंदु गुणनफल के सूत्र:

 \(\rm \vec i.\vec i = \vec j.\vec j = \vec k.\vec k = 1\)

\(\rm \vec i.\vec j = \vec j.\vec i = \vec i.\vec k = \vec k.\vec i =\vec j.\vec k= \vec k.\vec j = 0\)

गणना:

माना \(\vec{a}\ =\ x̂{i}\ +\ ŷ{j}\ +\ ẑ{k}\)

\(\Rightarrow\ |a|\ =\ \sqrt{x^2\ +\ y^2\ +\ z^2}\)

\(\vec{a}.̂{i}\ =\ (x̂{i}\ +\ ŷ{j}\ +\ ẑ{k}).̂{i}\ =\ x\)

इसी प्रकार, \(\vec{a}.̂{j}\ =\ y, \ \vec{a}.̂{k}\ =\ z\)

इसलिए \([(\vec{a}.̂{i})̂{i}\ +\ (\vec{a}.̂{j})̂{j}\ +\ (\vec{a}.̂{k})̂{k}]\)

= xî + yĵ + zk̂ 

इसलिए, निम्न का आवश्यक मान

 \([(\vec{a}.\hat{i})\hat{i}\ +\ (\vec{a}.\hat{j})\hat{j}\ +\ (\vec{a}.\hat{k})\hat{k}].\vec{a}\)

= (xî + yĵ + zk̂ ).(xî + yĵ + zk̂ )

= x2 + y2 + z2 = |a|²

अवधारणा:

• अन्य सदिश \(\vec b\) पर एक सदिश \(\vec a\)का प्रक्षेपण इस प्रकार दिया गया है: \(\vec a \cdot \hat b = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i + 3\hat j + 2\hat k\) और \(\vec b = \vec i + 2\vec j + \hat k\)

यहां, हमें अन्य सदिश \(\vec b\) पर एक सदिश \(\vec a\)का प्रक्षेपण ढूंढना होगा जो इस प्रकार दिया गया है: \(\vec a \cdot \hat b = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}\)

⇒ \(\vec a \cdot \vec b = 2 + 6 + 2 = 10 \ and \ |\vec b| = \sqrt {6}\)

⇒ \(\vec a \cdot \hat b = \frac{10}{\sqrt {6}} = \frac{5\sqrt6}{3}\)

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

दो सदिश \(\vec a \ और \ \vec b \) का अदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos θ \)

यदि सदिश \(\vec a \ और \ \vec b \) लंबवत हैं तो \(\vec a \cdot \;\vec b = 0\)

गणना:

दिया गया है कि: \(\vec a \ और \ \vec b \) ऐसे दो सदिश हैं कि \(|\vec a + \vec b|= |\vec a - \vec b|=4\)

⇒ \(|\vec a + \vec b|^2= |\vec a - \vec b|^2\)

⇒ \((\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b)\)

⇒ \(|\vec a|^2 + \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec a + |\vec b|^2 = |\vec a|^2 - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + |\vec b|^2\)

\(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)

⇒ \(|\vec a|^2 + 2\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2 = |\vec a|^2 - 2\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2\)

⇒ \(4\vec a \cdot \vec b = 0\)

⇒ \(\vec a \cdot \vec b = 0\)

तो \(\vec a \), \(\vec b\) के लंबवत होना चाहिए।

अत: सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:

यदि \(\rm(\vec {a} + \vec{b})\) \(\rm\vec {a}\) के लंबवत है तो

\(\rm(\vec {a} + \vec{b})\). \(\vec {a}\) = 0

गणना​:

\(|\vec{a}|^{2}\) + \(\rm \vec {a}.\rm \vec {b}\) = 0

दिया गया: \(\rm |\vec{b}| = 2\times |\vec{a}|\)

तो, हम लिख सकते हैं

\(\rm \frac{|\vec{b}|^{2}}{4}\) + \(\rm \vec {a}.\rm \vec {b}\) = 0

\(\rm \vec {a}.\rm \vec {b}\) = - \(\rm \frac{|\vec{b}|^{2}}{4}\)     ----(1)

प्राप्त करने के लिए: \(\rm (4\vec {a} + \vec{b})\cdot \vec{b}\)

\(\rm (4\vec {a} + \vec{b})\cdot \vec{b}\) = 4 \(\rm \vec {a}.\rm \vec {b}\) + \(\rm |\vec{b}|^{2}\)     ----(2)

समीकरण (1) और समीकरण (2) से हम लिख सकते हैं,

\(\rm (4\vec {a} + \vec{b})\cdot \vec{b}\) = - \(\rm |\vec{b}|^{2}\) + \(\rm |\vec{b}|^{2}\) = 0