Scalar or Dot Product MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Scalar or Dot Product - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 15, 2025
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यदि \(\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}\) इकाई सदिश हैं और \(\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=0\) तो \(\hat{a}\cdot \hat{b}+\hat{b}\cdot \hat{c}+\hat{c}\cdot \hat{a}\) का मान ___ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 1 Detailed Solution
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बिंदु गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या अदिश गुणनफल भी कहा जाता है
माना कि दो सदिश \({\rm{\vec a}}\) और \({\rm{\vec b}}\) हैं
दो सदिशों का बिंदु गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\rm \vec a.{\rm{\;}}\vec b\) = |a||b| cos θ
जहाँ |\(\rm \vec a\)| = सदिश a का परिमाण, |\(\rm \vec b\)| = सदिश b का परिमाण और θ, a और b के बीच का कोण है
बिंदु गुणनफल के सूत्र:
\(\rm \vec i.\vec i = \vec j.\vec j = \vec k.\vec k = 1\)
\(\rm \vec i.\vec j = \vec j.\vec i = \vec i.\vec k = \vec k.\vec i =\vec j.\vec k= \vec k.\vec j = 0\)
गणना:
दिया गया है कि,
(â + b̂ + ĉ) = 0 ----(1)
हम जानते हैं कि,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇒ (â + b̂ + ĉ)2 = â ⋅ â + b̂ ⋅ b̂ + ĉ ⋅ ĉ + 2(â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â)
समीकरण (1) से
⇒ 1 + 1 + 1 + 2 (â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â) = 0
⇒ (â ⋅ b̂ + b̂ ⋅ ĉ + ĉ ⋅ â) = - 3/2
यदि \(\rm \vec{a}\)और \(\rm \vec{b}\) परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं तो \(\rm (3\vec{a}+2\vec{b})\cdot (5\vec{a}-6\vec{b})=\) है।
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 2 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
यदि \(\rm \vec{a}\)और \(\rm \vec{b}\) परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं तो \(\rm \vec{a}.\vec{b} = 0= \)\(\rm \vec{b}.\vec{a} = 0\) है
\(\rm \vec{a}.\vec{a} = |\vec{a}|^2\), \(\rm \vec{b}.\vec{b} = |\vec{b}|^2\)
गणना:
\(\rm (3\vec{a}+2\vec{b})\cdot (5\vec{a}-6\vec{b})\)पर विचार करें
दिया गया है \(\rm \vec{a}\) और \(\rm \vec{b}\) परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।
इसलिए, \(\rm \vec{a}.\vec{b} = 0= \)\(\rm \vec{b}.\vec{a} = 0\)
और \(\rm \vec{a}\) और \(\rm \vec{b}\) इकाई सदिश हैं
इसलिए, \(\rm |\vec{a}|= |\vec{b}| = 1\)
\(\rm (3\vec{a}+2\vec{b})\cdot (5\vec{a}-6\vec{b})\)
\(= \rm 3\vec{a}\cdot 5\vec{a}+2\vec{b}\cdot 5\vec{a} -3\vec{a}\cdot6\vec{b}-2\vec{b}\cdot 6\vec{b}\)
= \(\rm 15|\vec {a}|^2 - 12 |\vec {b}|^2\)
= 15 - 12
= 3
दो सदिशों \(\rm \vec a\) और \(\rm \vec b\) का योग सदिश \(\rm \vec c\) है जैसे कि \(\rm \left|\vec a \right|=\left|\vec b \right|=\left|\vec c \right|=2\) है। तब \(\rm \vec a -\vec b\) का परिमाण किसके बराबर होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 3 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
दो सदिशों \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) के अन्योन्य गुणनफल को \(\rm \vec A.\vec B=\rm \left|\vec A\right|\rm \left|\vec B\right|\cos \theta\) से परिभाषित किया जाता है जहां \(\rm \left|\vec A\right|\) सदिश \(\rm \vec A\) का परिमाण है।
\(\rm \vec A.\vec A=\rm \left|\vec A\right|^2\)
गणना:
हमें दिया गया है कि "दो सदिशों \(\rm \vec a\) और \(\rm \vec b\) का योग एक सदिश \(\rm \vec c\) है"।
⇒ \(\rm \vec a +\vec b=\vec c\)
खुद के साथ दोनों पक्षों का बिंदु गुणनफल लेकर परिमाण अभी भी बराबर होंगे:
⇒ \(\rm \left(\vec a +\vec b\right).\left(\vec a +\vec b\right)=\left(\vec c\right).\left(\vec c\right)\)
⇒ \(\rm \left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2+2\vec a.\vec b=\left|\vec c\right|^2\)
चूंकि \(\rm \left|\vec a \right|=\left|\vec b \right|=\left|\vec c \right|=2\), हमें मिला:
⇒ \(\rm 2^2+2^2+2\vec a.\vec b=2^2\)
⇒ \(\rm 4+4+2\vec a.\vec b=4\)
⇒ \(\rm 2\vec a.\vec b=-4\)
अब, \(\rm \rm \left|\vec a-\vec b\right|^2=\left(\vec a -\vec b\right).\left(\vec a -\vec b\right)\)
= \(\rm \left|\vec a\right|^2+\left|\vec b\right|^2-2\vec a.\vec b\)
= 4 + 4 - (-4)
= 12
⇒ \(\rm \rm \left|\vec a-\vec b\right|=\sqrt{12}=2\sqrt3\)
सदिश \(\vec a = \hat i + \hat j - \hat k \ and \ \vec b =\hat i - \hat j - \hat k\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि \(\rm \vec{a} \ and \ \vec b\) दो सदिश हैं, तो \(\rm \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cosθ\) है।
सूचना: यदि सदिश \(\rm \vec{a} \ and \ \vec b\) एक-दूसरे के लंबवत है, तो \(\rm \vec{a}.\vec{b}=0\) है।
गणना:
दिया गया है:
\(\vec a = \hat i + \hat j - \hat k \ and \ \vec b =\hat i - \hat j - \hat k\)
माना कि θ सदिश \(\rm \vec{a} \ and \ \vec b\) के बीच का कोण है।
⇒ \(|\vec a| = \sqrt 3 \ and \ |\vec b| = \sqrt 3\)
हम जानते हैं कि,
\(\rm \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cosθ\)
⇒ \((\hat i + \hat j - \hat k) \cdot (\hat i - \hat j - \hat k) = \sqrt 3 \times \sqrt 3 \times cos θ \)
⇒ 1 = 3 cos θ
⇒ \(\rm cos\ θ=\frac{1}{3}\)
⇒ \(\rm θ=cos^{-1}\frac{1}{3}\)
अतः विकल्प 3 सही है।
\(|\vec x|\) ज्ञात करें यदि \((\vec x - \vec a) \cdot (\vec x + \vec a) = 12\) और \(\vec a\) एक इकाई सदिश है।
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा :
- \(\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2\)
- \(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)
- यदि \(\vec a\) एक इकाई सदिश है तो \(|\vec a| = 1\)
गणना :
दिया गया: \((\vec x - \vec a) \cdot (\vec x + \vec a) = 12\) और \(\vec a\) एक इकाई सदिश है
⇒ \((\vec x - \vec a) \cdot (\vec x + \vec a) = |\vec x|^2 + \vec x \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec x - |\vec a|^2 = 12\)
जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)
⇒ \((\vec x - \vec a) \cdot (\vec x + \vec a) = |\vec x|^2 - |\vec a|^2 = 12\)
जैसा कि हम जानते हैं कि, अगर \(\vec a\) एक इकाई सदिश है तो \(|\vec a| = 1\)
⇒ \(|\vec x|^2 = 13 \Rightarrow |\vec x| = \sqrt {13}\)
इसलिए, सही विकल्प 2 है।
यदि \(\vec a, \vec b\) सदिश हैं जिससे \(|\vec a + \vec b| = \sqrt {29}\) और \(\vec a \times (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) = (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) \times \vec b\) है, तो \((\vec a + \vec b).(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k)\) का संभव मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 6 Detailed Solution
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- सदिश का स्वयं के लिए पार गुणनफल = 0
- संरेखीय सदिश का पार गुणनफल = 0
- संरेखीय सदिश का बिंदु गुणनफल = उनके परिमाणों का गुणनफल
- \(\rm \vec a \times \vec b=-\vec b \times \vec a\)
- बिंदु गुणनफल के लिए \(\rm (\vec P + \vec Q) \cdot \vec R = (\vec P\cdot \vec R) +(\vec Q\cdot \vec R)\)
- पार गुणनफल के लिए\(\rm (\vec P + \vec Q) ×\vec R = (\vec P×\vec R) + (\vec Q×\vec R) \)
- \(\rm \vec P= \hat P={\vec P\over\left|\vec P\right|}\) की दिशा में इकाई सदिश
- \(\rm \vec P\) की दिशा में सदिश \(\rm \vec X\)= (\(\rm \vec X\) का परिमाण) × \(\rm \hat P\)
गणना:
दिया गया है:
\(\rm\vec a × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) = (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) × \vec b\)
⇒ \(\rm\vec a × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) - (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) × \vec b=0\)
⇒ \(\rm\vec a × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) + \vec b × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) =0\)
⇒ \(\boldsymbol{\rm(\vec a + \vec b) × (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) =0}\)
इसका अर्थ है कि \(\rm\vec a + \vec b\) और \(\rm2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\) संरेखीय सदिश हैं।
∴ \(\rm\vec a + \vec b = \left|\vec a + \vec b\right| × {2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\over \left|2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\right|}\)
⇒ \(\rm\vec a + \vec b = \sqrt{29}× {2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\over\sqrt{29}}\)
⇒ \(\boldsymbol{\rm\vec a + \vec b = 2\hat i + 3\hat j + 4\hat k}\)
\(\rm (\vec a + \vec b)\cdot(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = \left(2\hat i + 3\hat j + 4\hat k\right)\cdot\left(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k\right)\)
⇒ \(\rm (\vec a + \vec b)\cdot(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = \left(2\times(-7) + 3\times2 + 4\times3\right)\)
⇒ \(\rm (\vec a + \vec b)\cdot(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = \left(-14 +6 + 12\right)\)
⇒ \(\boldsymbol{\rm (\vec a + \vec b)\cdot(-7\hat i + 2\hat j + 3\hat k) = 4}\)
\([(\vec{a}.\hat{i})\hat{i}\ +\ (\vec{a}.\hat{j})\hat{j}\ +\ (\vec{a}.\hat{k})\hat{k}].\vec{a}\) का मान ______ के बराबर होगा।
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 7 Detailed Solution
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बिंदु गुणनफल: इसे आंतरिक गुणनफल या अदिश गुणनफल भी कहा जाता है
माना कि दो सदिश \({\rm{\vec a}}\) और \({\rm{\vec b}}\) हैं
दो सदिशों का बिंदु गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\rm \vec a.{\rm{\;}}\vec b\) = |a||b| cos θ
जहाँ |\(\rm \vec a\)| = सदिश a का परिमाण, |\(\rm \vec b\)| = सदिश b का परिमाण और θ, a और b के बीच का कोण है
बिंदु गुणनफल के सूत्र:
\(\rm \vec i.\vec i = \vec j.\vec j = \vec k.\vec k = 1\)
\(\rm \vec i.\vec j = \vec j.\vec i = \vec i.\vec k = \vec k.\vec i =\vec j.\vec k= \vec k.\vec j = 0\)
गणना:
माना \(\vec{a}\ =\ x̂{i}\ +\ ŷ{j}\ +\ ẑ{k}\)
\(\Rightarrow\ |a|\ =\ \sqrt{x^2\ +\ y^2\ +\ z^2}\)
\(\vec{a}.̂{i}\ =\ (x̂{i}\ +\ ŷ{j}\ +\ ẑ{k}).̂{i}\ =\ x\)
इसी प्रकार, \(\vec{a}.̂{j}\ =\ y, \ \vec{a}.̂{k}\ =\ z\)
इसलिए \([(\vec{a}.̂{i})̂{i}\ +\ (\vec{a}.̂{j})̂{j}\ +\ (\vec{a}.̂{k})̂{k}]\)
= xî + yĵ + zk̂
इसलिए, निम्न का आवश्यक मान
\([(\vec{a}.\hat{i})\hat{i}\ +\ (\vec{a}.\hat{j})\hat{j}\ +\ (\vec{a}.\hat{k})\hat{k}].\vec{a}\)
= (xî + yĵ + zk̂ ).(xî + yĵ + zk̂ )
= x2 + y2 + z2 = |a|2
सदिश \(\vec b = \vec i + 2\vec j + \hat k\) पर सदिश \(\vec a = 2\hat i + 3\hat j + 2\hat k\) के प्रक्षेपण का पता लगाएं।
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- अन्य सदिश \(\vec b\) पर एक सदिश \(\vec a\)का प्रक्षेपण इस प्रकार दिया गया है: \(\vec a \cdot \hat b = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}\)
गणना:
दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i + 3\hat j + 2\hat k\) और \(\vec b = \vec i + 2\vec j + \hat k\)
यहां, हमें अन्य सदिश \(\vec b\) पर एक सदिश \(\vec a\)का प्रक्षेपण ढूंढना होगा जो इस प्रकार दिया गया है: \(\vec a \cdot \hat b = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}\)
⇒ \(\vec a \cdot \vec b = 2 + 6 + 2 = 10 \ and \ |\vec b| = \sqrt {6}\)
⇒ \(\vec a \cdot \hat b = \frac{10}{\sqrt {6}} = \frac{5\sqrt6}{3}\)
इसलिए, विकल्प 3 सही है।
यदि \(\vec a \ और \ \vec b \) ऐसे दो सदिश हैं कि \(|\vec a + \vec b|= |\vec a - \vec b|=4,\) तो कौन सा एक निम्नलिखित में से सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
दो सदिश \(\vec a \ और \ \vec b \) का अदिश गुणनफल निम्न द्वारा दिया जाता है \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos θ \)
यदि सदिश \(\vec a \ और \ \vec b \) लंबवत हैं तो \(\vec a \cdot \;\vec b = 0\)
गणना:
दिया गया है कि: \(\vec a \ और \ \vec b \) ऐसे दो सदिश हैं कि \(|\vec a + \vec b|= |\vec a - \vec b|=4\)
⇒ \(|\vec a + \vec b|^2= |\vec a - \vec b|^2\)
⇒ \((\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b)\)
⇒ \(|\vec a|^2 + \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec a + |\vec b|^2 = |\vec a|^2 - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + |\vec b|^2\)
\(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)
⇒ \(|\vec a|^2 + 2\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2 = |\vec a|^2 - 2\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2\)
⇒ \(4\vec a \cdot \vec b = 0\)
⇒ \(\vec a \cdot \vec b = 0\)
तो \(\vec a \), \(\vec b\) के लंबवत होना चाहिए।
अत: सही विकल्प 3 है।
यदि \(\rm(\vec {a} + \vec{b})\), \(\rm\vec {a}\) पर लंब है और \(\rm\vec {b}\) का परिमाण \(\rm\vec {a}\) के परिमाण का दोगुना है, तो \(\rm(4\vec {a} + \vec{b})\cdot \vec{b}\) का मान किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Scalar or Dot Product Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि \(\rm(\vec {a} + \vec{b})\) \(\rm\vec {a}\) के लंबवत है तो
\(\rm(\vec {a} + \vec{b})\). \(\vec {a}\) = 0
गणना:
\(|\vec{a}|^{2}\) + \(\rm \vec {a}.\rm \vec {b}\) = 0
दिया गया: \(\rm |\vec{b}| = 2\times |\vec{a}|\)
तो, हम लिख सकते हैं
\(\rm \frac{|\vec{b}|^{2}}{4}\) + \(\rm \vec {a}.\rm \vec {b}\) = 0
\(\rm \vec {a}.\rm \vec {b}\) = - \(\rm \frac{|\vec{b}|^{2}}{4}\) ----(1)
प्राप्त करने के लिए: \(\rm (4\vec {a} + \vec{b})\cdot \vec{b}\)
\(\rm (4\vec {a} + \vec{b})\cdot \vec{b}\) = 4 \(\rm \vec {a}.\rm \vec {b}\) + \(\rm |\vec{b}|^{2}\) ----(2)
समीकरण (1) और समीकरण (2) से हम लिख सकते हैं,
\(\rm (4\vec {a} + \vec{b})\cdot \vec{b}\) = - \(\rm |\vec{b}|^{2}\) + \(\rm |\vec{b}|^{2}\) = 0
∴ \(\rm(4\vec {a} + \vec{b})\cdot \vec{b}\) का मान 0 के बराबर है।