Sampling MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sampling - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

संकेत प्रसंस्करण में अतिआवरण (Aliasing) को समझना

परिभाषा: अतिआवरण एक ऐसी घटना है जो तब होती है जब किसी सिग्नल को उस दर पर प्रतिचयन किया जाता है जो सिग्नल में परिवर्तनों को सटीक रूप से कैप्चर करने के लिए अपर्याप्त होती है। विशेष रूप से, अतिआवरण तब होता है जब प्रतिचयन दर न्यक्विस्ट दर से कम होती है, जो सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति का दोगुना होती है। जब अतिआवरण होता है, तो प्रतिचयन के बाद विभिन्न सिग्नल एक-दूसरे से अप्रभेद्य हो जाते हैं, जिससे विकृति होती है।

विस्तृत व्याख्या: दी गई समस्या के संदर्भ में, एक सिग्नल में 15 kHz तक आवृत्ति घटक होते हैं, और इसे 20 kHz प्रतिचयन दर का उपयोग करके प्रतिचयन किया जाता है। न्यक्विस्ट प्रमेय के अनुसार, अतिआवरण से बचने के लिए प्रतिचयन दर सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति का कम से कम दोगुना होना चाहिए। इसलिए, 15 kHz की अधिकतम आवृत्ति वाले सिग्नल के लिए न्यक्विस्ट दर 30 kHz है। चूँकि दी गई 20 kHz की प्रतिचयन दर इस न्यक्विस्ट दर से कम है, इसलिए अतिआवरण होगा।

जब अतिआवरण होता है, तो सिग्नल के उच्च आवृत्ति घटक निचली आवृत्तियों में "मोड़" दिए जाते हैं, जिससे विकृति होती है जो मूल सिग्नल को उसके अतिआवरण समकक्ष से अप्रभेद्य बना देती है। इस प्रभाव के परिणामस्वरूप सूचना का नुकसान होता है और पुनर्निर्मित सिग्नल की गुणवत्ता में काफी गिरावट आ सकती है।

उदाहरण: 15 kHz की आवृत्ति वाली एक साधारण साइन वेव पर विचार करें। यदि हम इस तरंग को 20 kHz पर प्रतिचयन करते हैं, तो प्रतिचयन बिंदु तरंग के वास्तविक रूप को सटीक रूप से कैप्चर नहीं करेंगे। इसके बजाय, नमूने एक अलग, कम आवृत्ति सिग्नल का प्रतिनिधित्व करेंगे, जिससे विकृत प्रतिनिधित्व होगा। इस गलत व्याख्या को प्रतिचयन किए गए बिंदुओं को आलेखित करके और यह देखकर देखा जा सकता है कि पुनर्निर्मित सिग्नल मूल 15 kHz ज्या तरंग से मेल नहीं खाता है।

उचित प्रतिचयन का महत्व: अतिआवरण से बचने के लिए, सिग्नल को उस दर पर प्रतिचयन करना महत्वपूर्ण है जो सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति का कम से कम दोगुना हो। यह आवश्यकता सुनिश्चित करती है कि मूल सिग्नल को प्रतिचयन किए गए डेटा से सटीक रूप से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, इंजीनियर अक्सर प्रतिचयन से पहले उच्च आवृत्ति घटकों को हटाने के लिए प्रति-अलायसिंग फ़िल्टर का उपयोग करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रतिचयन किया गया सिग्नल न्यक्विस्ट मानदंड का पालन करता है।

निष्कर्ष: दी गई समस्या में, सही उत्तर विकल्प 2 (अतिआवरण) है क्योंकि 15 kHz तक आवृत्ति घटक वाला सिग्नल 20 kHz की दर से प्रतिचयन किया जाता है, जो 30 kHz की न्यक्विस्ट दर से कम है, जिससे अतिआवरण होता है और परिणामस्वरूप विकृति होती है।

महत्वपूर्ण जानकारी:

यह समझने के लिए कि अन्य विकल्प गलत क्यों हैं, आइए उनका विश्लेषण करें:

परिमाणीकरण त्रुटि एक सतत सिग्नल को एक असतत डिजिटल सिग्नल में परिवर्तित करने की प्रक्रिया के दौरान होती है, जो स्तरों के एक सीमित सेट के भीतर सिग्नल के आयाम को निकटतम मान तक अनुमानित करती है। इस प्रकार की त्रुटि डिजिटल प्रतिनिधित्व की परिशुद्धता से संबंधित है और विशेष रूप से प्रतिचयन दर से संबंधित नहीं है। दी गई समस्या में, प्राथमिक समस्या प्रतिचयन दर बहुत कम होना है, जिससे परिमाणीकरण त्रुटि के बजाय अतिआवरण होता है।

ढलान अधिभार एक ऐसी घटना है जो डेल्टा मॉड्यूलन में तब होती है जब निवेश सिग्नल के परिवर्तन की दर मॉड्यूलेटर की इसे ट्रैक करने की क्षमता से अधिक हो जाती है। इसके परिणामस्वरूप सिग्नल में सीधी ढालों का पालन करने में असमर्थता के कारण विकृति होती है। ढाल अधिभार प्रतिचयन दर से संबंधित नहीं है, बल्कि मॉड्यूलन तकनीक और इसके मापदंडों से संबंधित है। इसलिए, यह दी गई समस्या पर लागू नहीं होता है।

विकल्प 4 बताता है कि कोई विकृति नहीं होती है, जो गलत है। यह देखते हुए कि 20 kHz की प्रतिचयन दर 15 kHz तक आवृत्ति घटक वाले सिग्नल के लिए न्यक्विस्ट दर से कम है, अतिआवरण होगा, जिससे विकृति होगी। इस प्रकार, यह विकल्प समस्या में वर्णित परिदृश्य पर लागू नहीं होता है।

• विकल्प 1: परिमाणीकरण त्रुटि
• विकल्प 3: ढाल अधिभार
• विकल्प 4: कोई विकृति नहीं

अवधारणा:

नाइक्विस्ट दर: न्यूनतम प्रतिचयन दर को अक्सर नाइक्विस्ट दर कहा जाता है। नाइक्विस्ट प्रतिचयन दर निम्न है

इनपुट या संदेश सिग्नल की उच्चतम आवृत्ति का दो गुना।

$f_s=2f_m$

जहाँ,

fs न्यूनतम प्रतिचयन आवृत्ति या नाइक्विस्ट दर है

fm इनपुट या संदेश संकेत के सर्वोच्च आवृत्ति है।

गणना:

m(t) = 4 cos 100 πt + 8 sin 200 πt + cos 300 πt

f1 = 100π/2π = 50 Hz

f2 = 200π/2π = 100 Hz

f3 = 300π/2π = 150 Hz

fm = अधिकतम (f1, f2, f3) = अधिकतम (50,100,150) = 150 Hz

प्रतिचयन आवृत्ति,

fs = 2fm = 2 × 150 = 300 Hz

प्रतिचयन समय सीमा = 1/300 sec

सही संबंध वास्तव में f = F/F_s है। 

व्याख्या:

f विविक्त आवृत्ति या प्रतिचयन संकेत की आवृत्ति को निरूपित करता है।

F एनालॉग आवृत्ति या मूल सतत संकेत आवृत्ति है।

Fs प्रतिचयन आवृत्ति है, जो प्रति इकाई समय में लिए गए प्रतिचयन की संख्या होती है।

संबंध "f = F/Fs" दर्शाता है कि विविक्त आवृत्ति (f) एनालॉग आवृत्ति "F" और प्रतिचयन आवृत्ति (F_s) के अनुपात के बराबर होती है।

यह संबंध प्रतिचयन प्रमेय से उत्पन्न होता है, जो बताता है कि डिजिटल डोमेन में सतत संकेत का सटीक निरूपण करने के लिए, प्रतिचयन आवृत्ति एनालॉग संकेत (नाइक्विस्ट प्रमेय) की अधिकतम आवृत्ति से कम से कम दोगुनी होनी चाहिए।

इसलिए, f = F/Fs

डिजिटल संकेत प्रोसेसिंग और प्रतिचयन सिद्धांत के संदर्भ में इन प्रमुख मापदंडों के बीच संबंध की मात्रा निर्धारित करता है।

सही उत्तर स्ट्रैटिफाइड प्रतिदर्श है।

प्रतिदर्श तकनीक:

• प्रतिदर्श विधि या प्रतिदर्श तकनीक जानकारी एकत्र करके और उस डेटा का विश्लेषण करके जनसंख्या का अध्ययन करने की प्रक्रिया है।
• यह डेटा का आधार है जहां नमूना स्थान बहुत बड़ा है।
• कई अलग-अलग नमूनाकरण तकनीकें उपलब्ध हैं, और उन्हें दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है।
• संभाव्यता नमूनाकरण में यादृच्छिक चयन शामिल है, जिससे आप पूरे समूह के बारे में मजबूत सांख्यिकीय अनुमान लगा सकते हैं।
• गैर-संभाव्यता नमूनाकरण में सुविधा या अन्य मानदंडों के आधार पर गैर-यादृच्छिक चयन शामिल होता है, जिससे आप डेटा को आसानी से एकत्र कर सकते हैं।

Key Pointsप्रायिकता प्रतिदर्श के प्रकार:

• सरल याद्दच्छिक प्रतिदर्श 
• क्लस्टर प्रतिदर्श 
• व्यवस्थित प्रतिदर्श 
• स्तरीकृत यादृच्छिक प्रतिदर्श 

गैर-प्रायिकता प्रतिदर्श के प्रकार:

• सुविधा प्रतिदर्श 
• जजमेंट या प्रयोजन प्रतिदर्श 
• स्नो-बॉल प्रतिदर्श
• कोटा प्रतिदर्श

Important Points

स्ट्रैटिफाइड यादृच्छिक प्रतिदर्श:

• स्तरीकृत यादृच्छिक प्रतिदर्श एक व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली सांख्यिकीय तकनीक है जिसमें कुछ साझा विशेषताओं के आधार पर जनसंख्या को विभिन्न उपसमूहों या स्तरों में विभाजित किया जाता है।
• स्तरीकरण का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि नमूने में प्रत्येक स्तर और विशिष्ट जनसंख्या उपसमूहों के बारे में अनुमान लगाना।
• यह तकनीक उन मामलों में फायदेमंद है जहां जनसंख्या विषम है, और एक साधारण यादृच्छिक नमूना सटीक परिणाम प्रदान नहीं कर सकता है।
• जनसंख्या को स्तरों में विभाजित करके, शोधकर्ता यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि उनका नमूना जनसंख्या का प्रतिनिधि है और नमूनाकरण पक्षपात से बचें।

Additional Information

• निर्णायक या उद्देश्यपूर्ण नमूनाकरण: शोधकर्ता के विवेक पर निर्णयात्मक या उद्देश्यपूर्ण नमूने बनते हैं। लक्षित दर्शकों की समझ के साथ-साथ शोधकर्ता विशुद्ध रूप से अध्ययन के उद्देश्य पर विचार करते हैं।
• स्नो-बॉल प्रतिदर्श: स्नो-बॉल प्रतिदर्श एक नमूना पद्धति है जिसे शोधकर्ता तब लागू करते हैं जब विषयों का पता लगाना कठिन होता है। उदाहरण के लिए, आश्रयहीन लोगों या अवैध अप्रवासियों का सर्वेक्षण करना बेहद चुनौतीपूर्ण होगा। ऐसे मामलों में, स्नोबॉल सिद्धांत का उपयोग करते हुए, शोधकर्ता कुछ श्रेणियों को साक्षात्कार और परिणाम प्राप्त करने के लिए ट्रैक कर सकते हैं।
• कोटा प्रतिदर्श: कोटा प्रतिदर्श में, इस सैंपलिंग तकनीक में सदस्यों का चयन एक पूर्व निर्धारित मानक के आधार पर होता है। इस मामले में, जैसा कि विशिष्ट विशेषताओं के आधार पर एक नमूना बनता है, बनाए गए नमूने में वही गुण होंगे जो कुल जनसंख्या में पाए जाते हैं।

इसलिए, उपरोक्त विकल्पों में से स्तरीकृत नमूना संभाव्यता-आधारित नमूनाकरण तकनीक से संबंधित है।

संकल्पना:

उपघटन का परिवर्जन करने के लिए न्यूनतम प्रतिचयन दर:

f_s = 2f_m= (नाइक्विस्ट दर)

गणना:

दिया गया है कि, ω_m = 400 π

f_m = 200 Hz = सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति

प्रतिचयन आवृत्ति f_s = 2 × 200 = 400 Hz

मॉडुलन:

• वह प्रक्रिया जिसमें बैंडपास संकेत (सिग्नल) का निर्माण करने लिए बेसबैंड संदेश संकेत (सिग्नल) के अनुसार वाहक सिग्नल में भिन्न विशेषताएं होती हैं।

विबहुसंकेतन :

• एक चैनल पर कई एनालॉग या डिजिटल रूप में इनपुट किये गए संकेत (सिग्नल) या डेटा स्ट्रीम संचरित करने की प्रक्रिया या तकनीक को बहुसंकेतन कहा जाता है।
• बहुसंकेतन प्रक्रिया के उत्क्रम विबहुसंकेतन एक ऐसी प्रक्रिया है जो एक संकेत (सिग्नल) को कई एनालॉग या डिजिटल सिग्नल स्ट्रीम से मूल सिग्नल में वापस लाती है।​

प्रतिचयन :

• निरंतर समय संकेतों को असतत समय संकेत में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है।

परिमाणीकरण:

• यह असतत समय संकेत में निरंतर समय संकेतों के परिमाणीकरण की प्रक्रिया है।
• अतः सही उत्तर विकल्प "3" है। 

अवधारणा:

जब हम किसी सिग्नल को cos (ω0t) से गुणा करते हैं तो वह सिग्नल ω0 से शिफ्ट हो जाता है

x (t) → X (ω)

$x\left(t\right)\cos \left({\omega }_{0}t\right)\to \frac{1}{2}\left\{X\left(\omega -{\omega }_0\right)+X\left(\omega +{\omega }_0\right)\right\}$

यदि X(ω) हो

तो x(t) cos ω₀t = y(t)

दिया गया है:

x(t) की नाइक्विस्ट दर ω₀ है

माना ω_m x(t) की अधिकतम आवृत्ति

2ω_m = ω₀

${\omega }_m=\frac{{\omega }_0}{2}$

अब y (t) = x (t) cos ω₀ t

y (t) की अधिकतम आवृत्ति = ω₀ + ω_m

= ${\omega }_0+\frac{{\omega }_0}{2}$

= $\frac{3{\omega }_0}{2}$

y (t) की नाइक्विस्ट दर = $2\times \frac{3{\omega }_0}{2}=3{\omega }_0$

बैंड-सीमित सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति।

fm = 5 kHz

नायक्विस्ट प्रतिचयन प्रमेय के अनुसार, प्रतिचयन आवृत्ति नायक्विस्ट आवृत्ति से अधिक होनी चाहिए जो कि इस प्रकार दी गई है

fN = 2 fm = 2 × 5 = 10 kHz

तो प्रतिचयन आवृत्ति fs ≥ fN

fs ≥ 10 kHz

केवल विकल्प (A) शर्त को पूरा नहीं करता है।

∴ 5 kHz एक वैध प्रतिचयन आवृत्ति नहीं है।

फॉरियर रूपांतरण के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:

जो बताता है कि गैर-शून्य फलन समान समय पर समय-सीमित और बंध-सीमित दोनों नहीं हो सकते हैं।

मूल रूप से इसका अर्थ है कि गैर-शून्य फलन एकसमान दोनों डोमेन में दृढ़तापूर्वक समर्थित नहीं हो सकते हैं। 

उदाहरण: Rect फलन (समय-डोमेन) $\stackrel{\mathrm{F}.\mathrm{T}.}{\to }$ Sinc(f)

महत्वपूर्ण बिंदु -

समय और आवृत्ति डोमिन दोनों में एकसाथ सीमित होने वाले केवल संभव फलन शून्य फलन है। 

अवधारणा:

नाइक्विस्ट प्रतिचयन प्रमेय: यदि सिग्नल में उपस्थित अधिकतम आवृत्ति के 2 गुना से अधिक प्रतिचयन आवृत्ति पर प्रतिचयनित किया जाता है, तो किसी भी बैंड सीमित सतत-सिग्नल को इसके प्रतिचयन द्वारा पूरी तरह से दर्शाया जा सकता है।

उपघटन से बचने के लिए न्यूनतम प्रतिचयन दर:

fs = 2fm = (नाइक्विस्ट दर)

गणना:

दिया गया है कि, ωm = 100 π

ωm = 2πfm

fm = 50 Hz = सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति

प्रतिचयन आवृत्ति fs = 2 × 50 = 100 प्रतिचयन/sec

इस अवधारणा को स्पेक्ट्रम विश्लेषण द्वारा इस प्रकार समझाया गया है:

संकल्पना:

नाइक्विस्ट दर वह न्यूनतम दर है जिसपर त्रुटियों को पेश किये बिना एक सिग्नल का प्रतिचयन किया जा सकता है, जो सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति का दोगुना है।

नाइक्विस्ट दर = 2 × सिग्नल में मौजूद अधिकतम आवृत्ति

fs = 2fm

प्रतिचयन अंतराल पर स्थिति है, f_s > 2f_m

गणना:

x(t) = cos (πt) + 3 sin (2πt) + sin (4πt)

ω₁ = π ⇒ f₁ = 0.5

ω₂ = 2π ⇒ f₂ = 1

ω₃ = 4π ⇒ f₃ = 2

f_m = max (f₁, f₂, f₃) = 2

fs > 4

प्रतिचयन अंतराल पर स्थिति $T_S<\frac{1}{4}$ है

अवधारणा :

प्रतिचयन प्रमेय: प्रतिचयन प्रमेय के अनुसार, सिग्नल को वापस पुनर्प्राप्त करने के लिए, किसी भी सिग्नल के प्रतिचयन के लिए आवश्यक न्यूनतम प्रतिचयन दर निक्विस्ट प्रतिचयन दर है जो आवृत्ति के अधिकतम बंध से दोगुना है।

स्केलिंग का प्रभाव:

समय डोमेन में स्केलिंग का परिणाम आवृत्ति डोमेन में स्केलिंग के विपरीत होता है, अर्थात

एक सिग्नल x(t) के लिए बैंडसीमा fm Hz तक है, सिग्नल x(at),  (a × fm) Hz तक बैंडसीमा होगी।

गणना :

हमें एक सिग्नल दिया गया है x₁(t) बैंड 4π rad/sec तक बैंडसीमा है, फिर सिग्नल x₁(2t) बैंड सीमित इस प्रकार होगा:

$f_m=4\pi \times 2=8\pi rad/sec$

ऐसा इसलिए है क्योंकि x(2t) x(t) का संपीडित संस्करण है और इसलिए आवृत्ति डोमेन में स्पेक्ट्रम का विस्तार होगा।

इसी तरह, सिग्नल x₂ (t) के लिए, बैंड-सीमित 10π rad/sec तक है, x₂ (t/2) इस प्रकार सीमित होगा:

$f_m=10\pi \times 1/2=5\pi rad/sec$

ऐसा इसलिए है क्योंकि x(t/2) x(t) का विस्तारित संस्करण है और इसलिए आवृत्ति डोमेन में स्पेक्ट्रम संपीडित हो जाएगा।

अब एक सिग्नल x(t) = x₁ (2t) + x ₂ (t/2) को 8π rad/sec तक सीमित किया जाएगा।

निक्विस्ट या सिग्नल x(t) की न्यूनतम नमूना दर उसमें मौजूद अधिकतम दर से दोगुनी होगी, अर्थात

निक्विस्ट दर = 2 × 8π rad/sec

समतल-शीर्ष प्रतिचयन:

इसमें स्पंद समतल-शीर्ष होंगी।

नमूने का शीर्ष स्थिर रहता है और प्रतिचयन की शुरुआत में बेसबैंड सिग्नल g(t) के तात्कालिक मान के बराबर होता है:

$s\left(t\right)=\sum _{n=\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(n{T}_s\right)\cdot h\left(t-n{T}_s\right)$

$s\left(f\right)=f_s\cdot \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}G\left(f-n{f}_s\right)\cdot H\left(f\right)$

उपरोक्त समीकरण समतल-शीर्ष प्रतिचयन सिग्नल के स्पेक्ट्रम का प्रतिनिधित्व करता है।

अवधारणा:

निक्विस्ट प्रतिचयन प्रमेय कहता है कि:

एक बैंडलिमिटेड निरंतर-समय संकेत का नमूना लिया जा सकता है और इसके नमूनों से पूरी तरह से पुनर्निर्माण किया जा सकता है यदि तरंग को उच्चतम आवृत्ति घटक के रूप में दो बार तेजी से नमूना लिया जाता है।

f_s ≥ 2f_m

जहाँ;

f_s → निक्विस्ट आवृत्ति

f_m → सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति

निक्विस्ट अंतराल (T_S):

T_s = 1/f_s

गणना:

दिया गया है;

 x(t) = cos(2000 t) + cos(500 t)

f_m = (2000/2π) = 318.47 Hz

निक्विस्ट आवृत्ति;

f_s = 2f_m = 2 × 318.47 = 636.94 Hz

निक्विस्ट अंतराल;

Ts = 1/fs = (1/636.94) = 1.57 mse