Relations between AM, GM, HM MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Relations between AM, GM, HM - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

1. समांतर श्रेढ़ी (AP): क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है।

⇒ यदि p, a, q AP में हैं, तो 2a = p + q।

2. गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP): क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर होता है।

⇒ यदि p, b, q GP में हैं, तो b² = pq।

3. हरात्मक श्रेढ़ी (HP): पदों के व्युत्क्रम AP में होते हैं।

⇒ यदि p, c, q HP में हैं, तो (1/p), (1/c), (1/q) AP में हैं।

गणना:

समांतर श्रेढ़ी शर्त का उपयोग करते हुए: p, 1, q AP में हैं।

⇒ 2(1) = p + q

⇒ p + q = 2 ............(1)

गुणोत्तर श्रेढ़ी शर्त का उपयोग करते हुए: p, 2, q GP में हैं।

⇒ 2² = p × q

⇒ 4 = pq ............(2)

अब,

$\frac{2pq}{p+q}=\frac{8}{2}=4$

और

$\frac{p+q}{2pq}=\frac{1}{4}$

∴ (1/p), (1/4), (1/q) समांतर श्रेढ़ी में हैं और

p, 4 और q हरात्मक श्रेढ़ी में हैं।

इस प्रकार, दोनों कथन सत्य हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

$a,b,\frac{1}{18}\to GP$

⇒ $\frac{a}{18}=b^2\dots ..\text{ (i) }$

⇒ $\frac{1}{a},10,\frac{1}{b}\to AP$

⇒ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=20$

⇒ a + b = 20ab, समीकरण (i) से; हम पाते हैं

⇒ 18b2 + b = 360b3

⇒ 360b2 - 18b - 1 = 0 {∵ b ≠ 0} 

⇒ $b=\frac{18\pm \sqrt{324+1440}}{720}$

⇒ $\mathrm{b}=\frac{18+\sqrt{1764}}{720}\{\because \mathrm{b}>0\}$

⇒ $\mathrm{b}=\frac{1}{12}$

⇒ $\mathrm{a}=18\times \frac{1}{144}=\frac{1}{8}$

अब, $16a+12b=16\times \frac{1}{8}+12\times \frac{1}{12}=3$

अतः सही उत्तर 3 है।

दिया गया है:

AM, GM और HM के बीच संबंध

प्रयुक्त सूत्र:

AM ≥ GM ≥ HM

गणना:

मान लीजिए तीन संख्याएँ a, b, और c हैं।

समान्तर माध्य (AM) = (a + b + c) / 3

गुणोत्तर माध्य (GM) = (a × b × c)^1/3

हरात्मक माध्य (HM) = 3 / (1/a + 1/b + 1/c)

माध्यों की असमिका के अनुसार, धनात्मक संख्याओं के किसी भी समुच्चय के लिए:

AM ≥ GM ≥ HM

∴ AM, GM और HM के बीच संबंध AM ≥ GM ≥ HM है। 

संकल्पना:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध:

(ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)गणना:

दिया गया है समांतर माध्य = 27 और ज्यामितीय माध्य = 9

चूँकि हम जानते हैं कि (ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)

⇒(9)² = 27 × हरात्मक माध्य

⇒ हरात्मक माध्य = $\frac{81}{27}$

= 3  

अतः विकल्प (3) सही है। 

दिया गया है:

संख्या के धनात्मक समुच्चय के लिए AM, GM, HM के बीच संबंध ज्ञात करना।

प्रयुक्त संकल्पना:

AM( समांतर माध्य) के लिए सूत्र का उपयोग करने पर = $\frac{a+b}{2}$, GM( गुणोत्तर माध्य) = $\sqrt{ab}$  और HM ( हरात्मक माध्य)= $\frac{2ab}{a+b}$

हल:

मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} कोई भी समुच्चय धनात्मक संख्याएँ हैं।

AM = 1.5 {a= 1 और b = 2}

GM = $\sqrt{2}$ = 1.414

HM = 1.333

अतः AM > GM> HM

जब a = b 

तब AM ≥ GM ≥ HM

$\therefore$ विकल्प 1 सही है।

दिया है :

दो संख्याओं के हरात्मक माध्य और गुणोत्तर माध्य, क्रमशः 10 और 12 हैं।

प्रयुक्त अवधारणा :

(गुणोत्तर माध्य)² = हरात्मक माध्य × समान्तर माध्य 

गणना :

ऊपर दिए गए सूत्र के अनुसार

(12)² = 10 × समान्तर माध्य  

⇒ समान्तर माध्य = 144/10 

⇒ 14.4 

∴ विकल्प 4 सही उत्तर होगा।

Alternate Method 

अवधारणा:

a और b के बीच समान्तर माध्य = $\frac{a+b}{2}$

a और b के बीच गुणोत्तर माध्य = $\sqrt{ab}$

a और b के बीच हरात्मक माध्य = $\frac{2ab}{a+b}$

गणना​:

दिया गया है, G.M. = 12, H.M. = 10

$GM=\sqrt{ab}$

${12}^2=ab$

ab = 144 ........(1)

$HM=\frac{2ab}{a+b}$

$10=\frac{2ab}{a+b}$

2ab = 10a + 10b

ab = 5 (a + b)........(2)

समीकरण (1) और (2) से

144 = 5 (a + b)

$\frac{144}{5}=a+b$

$\frac{144}{10}=\frac{a+b}{2}$

$\frac{a+b}{2}=14.4$

लेकिन, हम जानते हैं कि,

a और b के बीच समान्तर माध्य = 

Therefore, समान्तर माध्य = 14.4

संकल्पना:

• यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}$
• यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ $\mathrm{G}=\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}}$
• यदि H संख्या a और b का हरात्मक माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है⇔ $\mathrm{H}=\frac{2\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$
• समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच का संबंध निम्न है

1. G2 = AH
2. AM  ≥  GM  ≥  HM

गणना:

दिया गया है: G = 8 और A = 12

ज्ञात करना है: H

चूँकि हम जानते हैं, G2 = AH

∴ H = ${\displaystyle \frac{{\mathrm{G}}^2}{\mathrm{A}}}={\displaystyle \frac{8^2}{12}}=5.3$

संकल्पना:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध:

(ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)

गणना:

दिया गया है समांतर माध्य = 24 और हरात्मक माध्य = 6 

और हम जानते हैं कि (ज्यामितीय माध्य)² = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)

⇒ GM =

 $$\begin{gathered} \sqrt{24\times 6}=\sqrt{144} \\ =12 \end{gathered}$$

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध:

(ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)गणना:

दिया गया है समांतर माध्य = 27 और ज्यामितीय माध्य = 9

चूँकि हम जानते हैं कि (ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)

⇒(9)² = 27 × हरात्मक माध्य

⇒ हरात्मक माध्य = $\frac{81}{27}$

= 3  

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

माना कि x और y दो संख्याएँ हैं। x और y के समांतर माध्य A, ज्यामितीय मध्य G और हरात्मक माध्य H को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

⇒ A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}}$ 

⇒ G2 = xy

⇒  $\mathrm{H}={\displaystyle \frac{2\mathrm{x}\mathrm{y}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}}$

गणना:

माना कि दो संख्याएँ x और y हैं। 

दिया गया है, x और y का समांतर माध्य और ज्यामितीय माध्य A और G है। 

⇒ A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}}$           ....(1)

⇒ G² = xy               ....(2)

दो संख्या x और y का हरात्मक माध्य 4 है। 

⇒  ${\displaystyle \frac{2\mathrm{x}\mathrm{y}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}}=4$

⇒ 2xy = 4(x + y)

⇒  $\mathrm{x}\mathrm{y}=2(\mathrm{x}+\mathrm{y})$

⇒ G2 = 4A                     (∵ x + y = 2A)

⇒ G2 = 4A            ....(3)

दिया गया है, उनका समांतर माध्य A और ज्यामितीय माध्य G संबंध 2A + G2 = 27 को संतुष्ट करता है। 

⇒2A + G2 = 27

⇒ 6A = 27

⇒ A = ${\displaystyle \frac{9}{2}}$

समीकरण (1), (2) और (3) से, हमारे पास निम्न हैं

 x + y = 9 और xy = 18

⇒ x = 6 और y = 3

अतः दो संख्या का हरात्मक माध्य 4 है, उनका समांतर माध्य A और ज्यामितीय माध्य G संबंध 2A + G2 = 27 संतुष्ट करता है, तो दो संख्याएँ 6 और 3 हैं। 

अवधारणा:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य, हरात्मक माध्य के सूत्र:

यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है 

⇔ $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}$

यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है 

⇔ $\mathrm{G}=\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}}$

समांतर माध्य (AM) और ज्यामितीय माध्य (GM) के बीच संबंध

AM  ≥ GM

गणना:

Given that,

$2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$

Let a = 2x, b = $\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$

We know that,

AM  ≥  GM

$\frac{2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}}{2}\ge \sqrt{2x\times \frac{ta{n}^2\alpha }{2x}}$

⇒ $2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$ ≥ 2 tan α 

⇒  $2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$ ∈ [2 tan α, ∞)

Hence, the minimum value is 2 tan α​. 

धारणा:

AM-GM असमिका:

यदि x1.  . . Xn ≥ 0 तो

$\Rightarrow \frac{x1+x2+\dots +xn}{n}\ge \sqrt[n]{x1.x2\dots xn}$

गणना:

माना कि a²x और b²y दो संख्या हैं।

फिर AM-GM असमिका लागू करें

$AM\ge GM$

$\Rightarrow \frac{{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+{\mathrm{b}}^2\mathrm{y}}{2}\ge \sqrt[2]{{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}{\mathrm{b}}^2\mathrm{y}}$

$\Rightarrow {\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+{\mathrm{b}}^2\mathrm{y}\ge 2\sqrt[2]{{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^{2}xy}$

$Givenxy=c^2$

$\Rightarrow {\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+{\mathrm{b}}^2\mathrm{y}\ge 2\sqrt[2]{{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+{\mathrm{b}}^2\mathrm{y}\ge 2\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{c}$

a2x + b2y का न्यूनतम मान 2abc है

अवधारणा:

• यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}$
• यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है और यह निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ $\mathrm{G}=\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}}$
• यदि H संख्या a और b का हरात्मक माध्य है और यह निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ $\mathrm{H}=\frac{2\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$
• समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध

1. G² = AH
2. AM ≥ GM ≥ HM

गणना:

दिया हुआ: log₂x + log₂y ≥ 6

⇒ log₂ (xy) ≥ 6                  (∵ log m + log n = log mn)

⇒ xy ≥ 2⁶

∴ xy ≥ 64                          (If log_x y = p then y = x^p)

माना कि x और y दो धनात्मक संख्याएँ हैं।

जैसा कि हम जानते हैं, AM ≥ GM

$\Rightarrow \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\ge \sqrt{\mathrm{x}\times \mathrm{y}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}\ge 2\sqrt{64} \\ \therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}\ge 16 \end{gathered}$$

तो, (x + y) का अल्पतम मान 16 है

अवधारणा:

किसी भी n संख्याओं ${\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,{\mathrm{x}}_3,..........,{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}$ के लिए

GM = $\sqrt[\mathrm{n}]{{\mathrm{x}}_1\times {\mathrm{x}}_2\times {\mathrm{x}}_3\times ..........\times {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}$

HM = ${\left[\frac{\frac{1}{{\mathrm{x}}_1}+\frac{1}{{\mathrm{x}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{x}}_3}+..........+\frac{1}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}}{\mathrm{n}}\right]}^{-1}$

गणना:

m और n के GM = y

$\sqrt{\mathrm{m}\mathrm{n}}$ = y

m और n के HM = x

${\left[\frac{\frac{1}{\mathrm{m}}+\frac{1}{\mathrm{n}}}{2}\right]}^{-1}$ = x

$\frac{2\mathrm{m}\mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$ = x

अब दिया गया है 5x = 4y 

$\frac{10\mathrm{m}\mathrm{n}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$ = $4\sqrt{\mathrm{m}\mathrm{n}}$

$10\sqrt{\mathrm{m}\mathrm{n}}$ = 4 (m + n)

100mn = 16(m2 + n2 + 2mn)

16m2 + 16n2 - 68mn = 0

$16\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}+16\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}-68=0$

माना $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ = t

16t + $\frac{16}{\mathrm{t}}$ - 68 = 0

16t2 - 68t + 16 = 0

t = $\frac{68\pm \sqrt{(-68{)}^2-4(16)(16)}}{2\times 16}$

t = $\frac{68\pm \sqrt{4624-1024}}{32}$

t = $\frac{68\pm 60}{32}$ = 4 या $\frac{1}{4}$

$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ = 4 या $\frac{1}{4}$

∴ m = 4n या n = 4m

अवधारणा:

माना कि a और b दो संख्याएँ हैं।

समान्तर श्रेणी = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})}{2}$ और ज्यामितीय श्रेणी = $\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}}$

गणना:

माना कि दो संख्याएँ a और b हों,

हम जानते हैं, समान्तर श्रेणी = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})}{2}$ और ज्यामितीय श्रेणी = $\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}}$

दिया गया है कि, ज्यामितीय श्रेणी : समान्तर श्रेणी = n : m

⇒ समान्तर श्रेणी: ज्यामितीय श्रेणी = m : n

$\Rightarrow \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}{)}^2}{4\mathrm{a}\mathrm{b}}=\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{n}}^2}\dots \dots \dots ..\text{ (i) } \\ \Rightarrow \frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}{)}^2-4\mathrm{a}\mathrm{b}}{4\mathrm{a}\mathrm{b}}=\frac{{\mathrm{m}}^2-{\mathrm{n}}^2}{{\mathrm{n}}^2} \\ \Rightarrow \frac{(\mathrm{a}-\mathrm{b}{)}^2}{4\mathrm{a}\mathrm{b}}=\frac{{\mathrm{m}}^2-{\mathrm{n}}^2}{{\mathrm{n}}^2}\dots \dots \dots ..\text{ (ii) } \end{gathered}$$

चूंकि, eqn (i) और (ii) को विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$\begin{gathered} \frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}{)}^2}{(\mathrm{a}-\mathrm{b}{)}^2}=\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{m}}^2-{\mathrm{n}}^2} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{m}}{\sqrt{{\mathrm{m}}^2-{\mathrm{n}}^2}} \\ \Rightarrow \frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})+(\mathrm{a}-\mathrm{b})}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})-(\mathrm{a}-\mathrm{b})}=\frac{\mathrm{m}+\sqrt{{\mathrm{m}}^2-{\mathrm{n}}^2}}{\mathrm{m}-\sqrt{{\mathrm{m}}^2-{\mathrm{n}}^2}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \frac{2\mathrm{a}}{2\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{m}+\sqrt{{\mathrm{m}}^2-{\mathrm{n}}^2}}{\mathrm{m}-\sqrt{{\mathrm{m}}^2-{\mathrm{n}}^2}}$

इसलिए, विकल्प (2) सही है।