Relations between AM, GM, HM MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Relations between AM, GM, HM - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

1. समांतर श्रेढ़ी (AP): क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है।

⇒ यदि p, a, q AP में हैं, तो 2a = p + q।

2. गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP): क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर होता है।

⇒ यदि p, b, q GP में हैं, तो b² = pq।

3. हरात्मक श्रेढ़ी (HP): पदों के व्युत्क्रम AP में होते हैं।

⇒ यदि p, c, q HP में हैं, तो (1/p), (1/c), (1/q) AP में हैं।

गणना:

समांतर श्रेढ़ी शर्त का उपयोग करते हुए: p, 1, q AP में हैं।

⇒ 2(1) = p + q

⇒ p + q = 2 ............(1)

गुणोत्तर श्रेढ़ी शर्त का उपयोग करते हुए: p, 2, q GP में हैं।

⇒ 2² = p × q

⇒ 4 = pq ............(2)

अब,

\(\frac{2pq}{p + q} = \frac{8}{2} = 4\)

और

\(\frac{p + q}{2pq} = \frac{1}{4}\)

∴ (1/p), (1/4), (1/q) समांतर श्रेढ़ी में हैं और

p, 4 और q हरात्मक श्रेढ़ी में हैं।

इस प्रकार, दोनों कथन सत्य हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

\(a, b, \frac{1}{18} \rightarrow G P \)

⇒ \(\frac{a}{18}=b^{2} \quad \ldots . . \text { (i) } \)

⇒ \(\frac{1}{a}, 10, \frac{1}{b} \rightarrow A P \)

⇒ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=20 \)

⇒ a + b = 20ab, समीकरण (i) से; हम पाते हैं

⇒ 18बी ² + बी = 360 ^{बी 3}

⇒ 360बी ² - 18बी - 1 = 0 {∵ बी ≠ 0}

⇒ \(b=\frac{18 \pm \sqrt{324+1440}}{720}\)

⇒ \(\mathrm{b}=\frac{18+\sqrt{1764}}{720} \quad\{∵ \mathrm{~b}>0\} \)

⇒ \(\mathrm{b}=\frac{1}{12} \)

⇒ \(\mathrm{a}=18 \times \frac{1}{144}=\frac{1}{8}\)

अब, \(16 a+12 b=16 \times \frac{1}{8}+12 \times \frac{1}{12}=3\)

अतः सही उत्तर 3 है।

दिया गया है:

AM, GM और HM के बीच संबंध

प्रयुक्त सूत्र:

AM ≥ GM ≥ HM

गणना:

मान लीजिए तीन संख्याएँ a, b, और c हैं।

समान्तर माध्य (AM) = (a + b + c) / 3

गुणोत्तर माध्य (GM) = (a × b × c)^1/3

हरात्मक माध्य (HM) = 3 / (1/a + 1/b + 1/c)

माध्यों की असमिका के अनुसार, धनात्मक संख्याओं के किसी भी समुच्चय के लिए:

AM ≥ GM ≥ HM

∴ AM, GM और HM के बीच संबंध AM ≥ GM ≥ HM है। 

संकल्पना:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध:

(ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)गणना:

दिया गया है समांतर माध्य = 27 और ज्यामितीय माध्य = 9

चूँकि हम जानते हैं कि (ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)

⇒(9)² = 27 × हरात्मक माध्य

⇒ हरात्मक माध्य = \(\frac{81}{27}\)

= 3  

अतः विकल्प (3) सही है। 

दिया गया है:

संख्या के धनात्मक समुच्चय के लिए AM, GM, HM के बीच संबंध ज्ञात करना।

प्रयुक्त संकल्पना:

AM( समांतर माध्य) के लिए सूत्र का उपयोग करने पर = \(\frac{a + b}{2}\), GM( गुणोत्तर माध्य) = \( \sqrt{ab} \)  और HM ( हरात्मक माध्य)= \(\frac{2ab}{a + b}\)

हल:

मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} कोई भी समुच्चय धनात्मक संख्याएँ हैं।

AM = 1.5 {a= 1 और b = 2}

GM = \(\sqrt{2}\) = 1.414

HM = 1.333

अतः AM > GM> HM

जब a = b 

तब AM ≥ GM ≥ HM

\(\therefore\) विकल्प 1 सही है।

दिया है :

दो संख्याओं के हरात्मक माध्य और गुणोत्तर माध्य, क्रमशः 10 और 12 हैं।

प्रयुक्त अवधारणा :

(गुणोत्तर माध्य)² = हरात्मक माध्य × समान्तर माध्य 

गणना :

ऊपर दिए गए सूत्र के अनुसार

(12)² = 10 × समान्तर माध्य  

⇒ समान्तर माध्य = 144/10 

⇒ 14.4 

∴ विकल्प 4 सही उत्तर होगा।

Alternate Method 

अवधारणा:

a और b के बीच समान्तर माध्य = \(a+b \over 2\)

a और b के बीच गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{ab} \)

a और b के बीच हरात्मक माध्य = \(2ab\over a+b \)

गणना​:

दिया गया है, G.M. = 12, H.M. = 10

\(GM = \sqrt{ab} \)

\(12^2 = ab\)

ab = 144 ........(1)

\(HM=\frac{2ab}{a+b}\)

\(10=\frac{2ab}{a+b}\)

2ab = 10a + 10b

ab = 5 (a + b)........(2)

समीकरण (1) और (2) से

144 = 5 (a + b)

\(\frac{144}{5}=a+b\)

\(\frac{144}{10}=\frac{a+b}{2}\)

\(\frac{a+b}{2}=14.4\)

लेकिन, हम जानते हैं कि,

a और b के बीच समान्तर माध्य = 

Therefore, समान्तर माध्य = 14.4

संकल्पना:

• यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ \({\rm{A}} = \frac{{{\rm{a\;}} + {\rm{\;b}}}}{2}\)
• यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ \({\rm{G}} = \sqrt {{\rm{ab}}} \)
• यदि H संख्या a और b का हरात्मक माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है⇔ \({\rm{H}} = \frac{{2{\rm{ab}}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}}\)
• समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच का संबंध निम्न है

1. G2 = AH
2. AM  ≥  GM  ≥  HM

गणना:

दिया गया है: G = 8 और A = 12

ज्ञात करना है: H

चूँकि हम जानते हैं, G2 = AH

∴ H = \(\rm \dfrac {G^2}{A} = \dfrac{8^2}{12} = 5.3\)

संकल्पना:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध:

(ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)

गणना:

दिया गया है समांतर माध्य = 24 और हरात्मक माध्य = 6 

और हम जानते हैं कि (ज्यामितीय माध्य)² = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)

⇒ GM =

 \(\sqrt{24\times 6}=\sqrt{144}\\=12 \)

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध:

(ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)गणना:

दिया गया है समांतर माध्य = 27 और ज्यामितीय माध्य = 9

चूँकि हम जानते हैं कि (ज्यामितीय माध्य)2 = (समांतर माध्य) × (हरात्मक माध्य)

⇒(9)² = 27 × हरात्मक माध्य

⇒ हरात्मक माध्य = \(\frac{81}{27}\)

= 3  

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

माना कि x और y दो संख्याएँ हैं। x और y के समांतर माध्य A, ज्यामितीय मध्य G और हरात्मक माध्य H को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

⇒ A = \(\rm \dfrac {x + y}{2}\) 

⇒ G2 = xy

⇒  \(\rm H = \dfrac {2xy}{x+y}\)

गणना:

माना कि दो संख्याएँ x और y हैं। 

दिया गया है, x और y का समांतर माध्य और ज्यामितीय माध्य A और G है। 

⇒ A = \(\rm \dfrac {x + y}{2}\)           ....(1)

⇒ G² = xy               ....(2)

दो संख्या x और y का हरात्मक माध्य 4 है। 

⇒  \(\rm \dfrac {2xy}{x+y}= 4\)

⇒ 2xy = 4(x + y)

⇒  \(\rm xy = 2(x+y)\)

⇒ G2 = 4A                     (∵ x + y = 2A)

⇒ G2 = 4A            ....(3)

दिया गया है, उनका समांतर माध्य A और ज्यामितीय माध्य G संबंध 2A + G2 = 27 को संतुष्ट करता है। 

⇒2A + G2 = 27

⇒ 6A = 27

⇒ A = \(\rm \dfrac 9{2}\)

समीकरण (1), (2) और (3) से, हमारे पास निम्न हैं

 x + y = 9 और xy = 18

⇒ x = 6 और y = 3

अतः दो संख्या का हरात्मक माध्य 4 है, उनका समांतर माध्य A और ज्यामितीय माध्य G संबंध 2A + G2 = 27 संतुष्ट करता है, तो दो संख्याएँ 6 और 3 हैं। 

अवधारणा:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य, हरात्मक माध्य के सूत्र:

यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है 

⇔ \({\rm{A}} = \frac{{{\rm{a\;}} + {\rm{\;b}}}}{2}\)

यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है 

⇔ \({\rm{G}} = \sqrt {{\rm{ab}}} \)

समांतर माध्य (AM) और ज्यामितीय माध्य (GM) के बीच संबंध

AM  ≥ GM

गणना:

Given that,

\(2x+\frac{tan^2α}{2x}\)

Let a = 2x, b = \(\frac{tan^2α}{2x}\)

We know that,

AM  ≥  GM

\(\frac{2x+\frac{tan^2α}{2x}}{2} ≥ \ \sqrt{2x\times\frac{tan^2α}{2x}}\)

⇒ \(2x+\frac{tan^2α}{2x}\) ≥ 2 tan α 

⇒  \(2x+\frac{tan^2α}{2x}\) ∈ [2 tan α, ∞)

Hence, the minimum value is 2 tan α​. 

धारणा:

AM-GM असमिका:

यदि x1.  . . Xn ≥ 0 तो

\(\Rightarrow \frac{{x1 + x2 + \ldots + xn}}{n}\; \ge \;\sqrt[n]{{x1.x2 \ldots xn}}\)

गणना:

माना कि a²x और b²y दो संख्या हैं।

फिर AM-GM असमिका लागू करें

\(AM \ge GM\)

\(\Rightarrow \frac{{{{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y}}}}{2}\; \ge \;\sqrt[2]{{{{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y}}}}\)

\(\Rightarrow {{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y\;}} \ge 2\sqrt[2]{{{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2}xy}}\)

\(Given\;xy = {c^2}\)

\(\Rightarrow {{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y}} \ge 2\sqrt[2]{{{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2}{c^2}}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y\;}} \ge {\rm{\;}}2{\rm{abc}}\)

a2x + b2y का न्यूनतम मान 2abc है

अवधारणा:

• यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ \({\rm{A}} = \frac{{{\rm{a\;}} + {\rm{\;b}}}}{2}\)
• यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है और यह निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ \({\rm{G}} = \sqrt {{\rm{ab}}} \)
• यदि H संख्या a और b का हरात्मक माध्य है और यह निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है ⇔ \({\rm{H}} = \frac{{2{\rm{ab}}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}}\)
• समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य के बीच संबंध

1. G² = AH
2. AM ≥ GM ≥ HM

गणना:

दिया हुआ: log₂x + log₂y ≥ 6

⇒ log₂ (xy) ≥ 6                  (∵ log m + log n = log mn)

⇒ xy ≥ 2⁶

∴ xy ≥ 64                          (If log_x y = p then y = x^p)

माना कि x और y दो धनात्मक संख्याएँ हैं।

जैसा कि हम जानते हैं, AM ≥ GM

\(\Rightarrow \rm \frac{ x + y }{2} \geq \sqrt { x \times y }\)

\(\Rightarrow \rm x + y \geq 2\sqrt { 64 }\\ \therefore \rm x + y \geq 16\)

तो, (x + y) का अल्पतम मान 16 है

अवधारणा:

किसी भी n संख्याओं \(\rm x_1 ,x_2 ,x_3 ,..........,x_n\) के लिए

GM = \(\rm \sqrt[n]{x_1\times x_2\times x_3\times ..........\times x_n}\)

HM = \(\rm {\left[{1\over x_1}+{1\over x_2}+{1\over x_3}+..........+{1\over x_n}\over n\right]}^{-1}\)

गणना:

m और n के GM = y

\(\rm \sqrt{mn}\) = y

m और n के HM = x

\(\rm {\left[{1\over m}+{1\over n}\over 2\right]}^{-1}\) = x

\(\rm {2mn\over m+ n}\) = x

अब दिया गया है 5x = 4y 

\(\rm {10mn\over m+ n}\) = \(\rm 4\sqrt{mn}\)

\(\rm 10\sqrt{mn}\) = 4 (m + n)

100mn = 16(m2 + n2 + 2mn)

16m2 + 16n2 - 68mn = 0

\(\rm16{m\over n}+16{n\over m} -68= 0\)

माना \(\rm m\over n\) = t

16t + \(\rm 16\over t\) - 68 = 0

16t2 - 68t + 16 = 0

t = \(\rm {68 \pm \sqrt{(-68)^2-4(16)(16)} \over 2\times16}\)

t = \(\rm {68 \pm \sqrt{4624-1024} \over 32}\)

t = \(\rm {68 \pm60\over 32}\) = 4 या \(\rm 1\over 4\)

\(\rm m\over n\) = 4 या \(\rm 1\over 4\)

∴ m = 4n या n = 4m

अवधारणा:

माना कि a और b दो संख्याएँ हैं।

समान्तर श्रेणी = \(\rm (a+b)\over 2\) और ज्यामितीय श्रेणी = \(\rm \sqrt{ab}\)

गणना:

माना कि दो संख्याएँ a और b हों,

हम जानते हैं, समान्तर श्रेणी = \(\rm (a+b)\over 2\) और ज्यामितीय श्रेणी = \(\rm \sqrt{ab}\)

दिया गया है कि, ज्यामितीय श्रेणी : समान्तर श्रेणी = n : m

⇒ समान्तर श्रेणी: ज्यामितीय श्रेणी = m : n

\(⇒ \frac{\rm a+b}{2\rm \sqrt{ab}}= \frac{\rm m}{\rm n}\)

\(⇒ \frac{(\rm a+b)^{2}}{4\rm a b}= \frac{\rm m^{2}}{\rm n^{2}}\;\;\;\;\; \ldots \ldots \ldots . . \text { (i) } \\ ⇒\frac{(\rm a+b)^{2}-4 a b}{4\rm a b}=\frac{\rm m^{2}- \rm n^{2}}{ \rm n^{2}} \\ ⇒ \frac{(\rm a-b)^{2}}{4 \rm a b}=\frac{\rm m^{2}-\rm n^{2}}{\rm n^{2}} \ldots \ldots \ldots . . \text { (ii) }\)

चूंकि, eqn (i) और (ii) को विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

\( \rm \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}=\frac{m^{2}}{m^{2}-n^{2}}\\ \rm ⇒ \frac{a+b}{a-b}=\frac{m}{\sqrt{m^{2}-n^{2}}} \\ \rm ⇒ \frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}=\frac{m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m-\sqrt{m^{2}-n^{2}}}\)

\(\rm \Rightarrow \frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}=\frac{m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m-\sqrt{m^{2}-n^{2}}}\)

इसलिए, विकल्प (2) सही है।