Arithmetic Progressions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Arithmetic Progressions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक समांतर श्रेढ़ी में, nवाँ पद दिया जाता है:

T_n = a + (n - 1)d

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में, पद निम्न संबंध को संतुष्ट करते हैं:

T_m² = T_n × T_p

गणना:

मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी के 5वें, 7वें और 13वें पद क्रमशः T₅, T₇ और T₁₃ हैं।

⇒ T₅ = a + 4d

⇒ T₇ = a + 6d

⇒ T₁₃ = a + 12d

चूँकि पद गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं:

⇒ T₇² = T₅ × T₁₃

⇒ (a + 6d)² = (a + 4d) × (a + 12d)

दोनों पक्षों का प्रसार करने पर:

⇒ (a + 6d)² = a² + 12ad + 48d²

⇒ a² + 12ad + 36d² = a² + 12ad + 48d²

उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करने पर:

⇒ 36d² = 48d²

⇒ -12d² = 0

d² से भाग देने पर (यह मानते हुए कि d ≠ 0):

⇒ a = -3d

निष्कर्ष:

∴ प्रथम पद का सार्व अंतर से अनुपात है:

⇒ a/d = -3

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

किसी श्रेढ़ी S के प्रथम k पदों का योग S_k = 3k² + 5k दिया गया है।

संप्रत्यय:

किसी श्रेढ़ी का nवाँ पद ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

a_n = S_n - S_n-1

यदि nवाँ पद एक समान्तर श्रेढ़ी (AP) बनाता है, तो सार्व अंतर (d) इस प्रकार दिया जाता है:

d = a_n+1 - a_n

गणना:

हमें S_k = 3k² + 5k दिया गया है।

⇒ a_n = S_n - S_n-1

इसलिए S_n = 3n² + 5n और S_n-1 = 3(n-1)² + 5(n-1)

⇒ a_n = [3n² + 5n] - [3(n-1)² + 5(n-1)]

⇒ a_n = [3n² + 5n] - [3(n² - 2n + 1) + 5n - 5]

⇒ a_n = [3n² + 5n] - [3n² - 6n + 3 + 5n - 5]

⇒ a_n = 3n² + 5n - 3n² + 6n - 3 - 5n + 5

⇒ a_n = 6n + 2

यदि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है, तो श्रेढ़ी एक समांतर श्रेढ़ी (AP) है।

⇒ सार्व अंतर d = a_n+1 - a_n

⇒ a_n+1 = 6(n+1) + 2 = 6n + 6 + 2 = 6n + 8

⇒ d = (6n + 8) - (6n + 2) = 6

∴ श्रेढ़ी के पद 6 के सार्व अंतर वाली एक समान्तर श्रेढ़ी बनाते हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प B है।

व्याख्या:

समीकरण (ii) में d का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 5 x 6 = 2a

⇒ a = 15

इस प्रकार, पद हैं 3, 9, 15, 21 और 27

इसलिए आवश्यक योग = 3 + 9 + 15 + 21 + 27 = 75

∴ विकल्प (c) सही है

व्याख्या:

मान लीजिये कि समांतर श्रेणी के अभीष्ट पद a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d हैं

⇒ (a - 2d) (a - d) a (a + d) (a + 2d) = 2,29,635

⇒ a(a ² - d² ) (a ² - 4d² ) = 2,29,635.....(i)

अब a - 2d, a - d और a + 2d गुणोत्तर श्रेणी में हैं

⇒ (a - d)² = a² - 4d²

⇒ 5d² - 2ad = 0

⇒ d(5d - 2a) = 0

⇒ 5d = 2a......(ii)

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ d = 6

∴ विकल्प (d) सही है।

संकल्पना:

समांतर श्रेणी (AP):

• संख्याओं का वह अनुक्रम जहाँ किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है, उसे समांतर श्रेणी कहा जाता है।
• यदि एक समांतर श्रेणी का पहला पद a है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है, तो अनुक्रम को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:
  a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d.
• उपरोक्त श्रृंखला के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
  Sn = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{2}}[\mathrm{a}+\{\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\}]=\left({\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}+\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}{2}}\right)\times \mathrm{n}$​

गणना:

दी गयी श्रृंखला 5 + 9 + 13 + … + 49 है, जो पहला पद a = 5 और सार्व अंतर d = 4 के साथ एक समांतर श्रेणी है। 

माना कि अंतिम पद 49, nवां पद है। 

∴ a + (n - 1)d = 49

⇒ 5 + 4(n - 1) = 49

⇒ 4(n - 1) = 44

⇒ n = 12.

और, इस समांतर श्रेणी का योग है:

S₁₂ = $\left({\displaystyle \frac{\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}+\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}{2}}\right)\times 12$

= $\left({\displaystyle \frac{5+49}{2}}\right)\times 12$ = 54 × 6 = 324.

संकल्पना:

समांतर श्रेणी श्रंखला के लिए,

n पदों का योग = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{2}}$ (पहला पद + nवां पद)

गणना:

हम जानते हैं कि, समांतर श्रेणी श्रंखला के लिए,

n पदों का योग = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{2}}$ (पहला पद + nवां पद)

दिया गया है, दी गयी श्रृंखला का nवां पद a_n = 5n + 1 है। 

n = 1 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

a1 = 5(1) + 1 = 6.

हम जानते हैं कि

n पदों का योग = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{2}}$ (पहला पद + nवां पद)

⇒ n पदों का योग = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{2}}$ (6 + 5n + 1)

⇒ n पदों का योग = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{2}}$ (7+ 5n)

दिया है:

दो श्रेढ़ियाँ अर्थात् S1 और S2 दी गई हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

a_n = a + ( n - 1 ) d 

S_n = n/2 [2a + (n - 1) d ] 

जहाँ,

श्रेढ़ी में a_n = nवां पद, n = पदों की संख्या, a = श्रेढ़ी में पहला पद, d = सार्व अंतर, Sn = योग

गणना:

यहाँ, श्रेढ़ी S1 और S2 समान्तर श्रेणी में हैं।

इसलिए, श्रेढ़ी एक निश्चित सार्व अंतर (दूसरा पद - पहला पद) को क्रमागत पदों में जोड़कर आगे बढ़ेगी

S1 = 2 , 9 , 16 , 23, 30 , 37 , 44 , 51 ,........ 632    [चूँकि यहाँ d = 7, इसलिए, अगला पद प्राप्त करने के लिए पिछले पद में 7 जोड़ना है ]

S2 = 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51 , ......... 743  [यहाँ d = 4 ] 

अब, हम एक तीसरी श्रेढ़ी S3 लेते हैं जो उभयनिष्ठ श्रेढ़ी है [इसमें केवल दोनों श्रेढ़ियों की उभयनिष्ठ संख्याएँ होंगी]

इसलिए, S1 और S2 श्रेढ़ी से, यहाँ पहला उभयनिष्ठ पद = 23, दूसरा उभयनिष्ठ पद = 51, d = (51 - 23) = 28 है

इसलिए, तीसरा पद प्राप्त करने के लिए दूसरे पद में 28 जोड़ें और इसी प्रकार आगे

S3 = 23 , 51 , .................. $\le$  632            [चूंकि, 632, 743 से कम है इसलिए उनके बीच उभयनिष्ठ 632 से कम होना चाहिए]

अब, यहाँ a = 23, d = 28 है

⇒ a_n = a + ( n - 1) d    $\le$ 632 

⇒ 23 + ( n - 1) × 28 $\le$ 632 

⇒ ( n -  1) × 28  $\le$  ( 632 - 23 ) 

⇒ ( n - 1) × 28  $\le$ 609 

⇒ n -1 $\le$ 609 /28 

⇒ n - 1 $\le$ 21.75 

⇒ n $\le$ 22 .75

जैसा कि n को 22.75 के बराबर या उससे कम होना चाहिए। अतः, n = 22 लें 

अब, जैसा कि हम जानते हैं कि, 

Sn = n/2 [2a + (n - 1) d]

⇒ Sn = 22/2 [2 × 23 + (22 - 1) 28] = 11 [46 + 21 × 28 ]

⇒ 11 [46 + 588 ] = 11 × 634 = 6974

इसलिए, श्रेढ़ी के सभी उभयनिष्ठ पदों का योग 6974 है।

संकल्पना:

समांतर श्रेणी:

• उन संख्याओं की श्रृंखला को समांतर श्रेणी कहा जाता है जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है।
• यदि एक समांतर श्रेणी का a पहला पद है, d सार्व अंतर है और n पदों की संख्या है, तो अनुक्रम को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:                          a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d 
• किसी दो समांतर श्रेणी के लिए सामान्य पद स्वयं समांतर श्रेणी का निर्माण करती है, जिसके साथ सार्व अंतर दो समांतर श्रेणी के सार्व अंतर के ल.स. के बराबर है।

गणना:

दिए गए दो समांतर श्रेणी 3, 7, 11, ... और 1, 6, 11, ..., के लिए सार्व अंतर क्रमशः 4 और 5 हैं और 11 पहला सामान्य पद है।

दोनों श्रृंखला के लिए सामान्य पदों का सार्व अंतर निम्न होगा: (4 और 5) का ल.स. = 20 

दोनों समांतर श्रेणी के लिए सामान्य आवश्यक दसवां पद = a + (n - 1)d

= 11 + (10 - 1) × 20

= 11 + 180

= 191

संकल्पना:

यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं तो 2b = a + c है। 

गणना:

दिया गया है:

n - 3, 4n - 2, 5n + 1 समांतर श्रेणी में हैं। 

इसलिए, 2 × (4n - 2) = (n - 3) + (5n + 1)

⇒ 8n - 4 = 6n - 2

⇒ 2n = 2

∴ n = 1

धारणा:

AP का nवां पद निम्न द्वारा दिया गया है: T_n = a + (n - 1) × d, जहाँ a = पहला पद और d = सार्व अंतर।

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि, AP का nवां पद निम्न द्वारा दिया गया है: T_n = a + (n - 1) × d, जहाँ a = पहला पद और d = सार्व अंतर।

माना कि a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

$\Rightarrow a_{p+q}=a+\left(p+q-1\right)\times d$     ...1)

$\Rightarrow a_{p-q}=a+\left(p-q-1\right)\times d$     ...2)

(1) और (2) को जोड़कर हम प्राप्त करते हैं

संकल्पना:

माना कि हम अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है। 

• सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

• समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• पहले n पदों का योग = Sn =$\frac{\mathrm{n}}{2}$ [2a + (n − 1) × d]= $\frac{\mathrm{n}}{2}$(a + l)

जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद 

गणना:

यहाँ पहला पद = a = 102 (पहला पद 100 से बड़ा है जो 6 से विभाज्य है।)

400 से कम अंतिम पद 396 है, जो 6 से विभाज्य है।

समांतर श्रेणी में पद; 102, 108, 114 … 396 

अब

पहला पद = a = 102

सार्व अंतर = d = 108 - 102 = 6

nवां पद = 396

चूँकि हम जानते हैं, समांतर श्रेणी का nवां पद = a_n = a + (n – 1) d

⇒ 396 = 102 + (n - 1) × 6

⇒ 294 = (n - 1) × 6

⇒ (n - 1) = 49

∴ n = 50

अब, 

योग =  $\frac{\mathrm{n}}{2}$(a + l) =  $\frac{50}{2}$(102 + 396) = 25 × 498 = 12450

संकल्पना:

आइए अनुक्रम a1, a2, a3 …. an पर विचार करें, जो कि A.P. है

सार्व अंतर "“d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

AP का n^वाँ पद = an = a + (n – 1) d

पहले n पदों का योग (S) = $\frac{n}{2}[2a+(n-1)d)]$

साथ ही,  S =  (n/2)(a + l)

जहाँ,
a = पहला पद,
d = सार्व अंतर,
n = पदों की संख्या,
an = n^वाँ पद,
l = अंतिम पद

गणना​:

दिया गया है, a1 = 2      ...(1)

S5 = $\frac{1}{4}$(S10 - S5)

⇒ 4S5 = S10 - S5

⇒ 4S5 + S5 = S10

⇒ 5S5 = S10

⇒ 5 × $\frac{5}{2}$[2a1 + (n5 - 1)d] = $\frac{10}{2}$ [2a1 + (n10 - 1)d]

[∵ n5 = 5 और n10 = 10]

⇒ 5 × $\frac{5}{2}$[a1 + a1 + 4d] = $\frac{10}{2}$ [a1 + a1 + 9d]

⇒ 5 × [2a1 + 4d] = 2 × [2a1 + 9d]

⇒ 10a1 + 20d = 4a1 + 18d

⇒ 6a1 = 2d

⇒ a1 = $\frac{-\mathrm{d}}{3}$

∴ d = -3a1 = - 3 × 2 = - 6

इसलिये,

S10 = $\frac{10}{2}$ [a1 + a1 + 9d]

⇒ 5[2a1 + 9d]

⇒ 5[4 - 54] = -250

∴ S10 = 5 × (-50) = - 250.

संकल्पना:

माना कि हम अनुक्रम a1, a2, a3 …. an एक समांतर श्रेणी है। 

• सार्व अंतर “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

• समांतर श्रेणी के nवें पद को an = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 
• पहले n पदों का योग = Sn =$\frac{\mathrm{n}}{2}$ [2a + (n − 1) × d]= $\frac{\mathrm{n}}{2}$(a + l)

जहाँ, a = पहला पद, d = सार्व अंतर, n = पदों की संख्या, an = nवां पद और l = अंतिम पद 

गणना:

माना कि समांतर श्रेणी का पहला पद 'a' है और सार्व अंतर 'd' है। 

दिया गया है: एक समांतर श्रेणी का चौथा पद शून्य है। 

⇒ a₄ = 0

⇒ a + (4 - 1) × d = 0

⇒ a + 3d = 0         

∴ a = -3d                     .... (1)

ज्ञात करना है:​ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{t}}_{25}}{{\mathrm{t}}_{11}}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\displaystyle \frac{{\mathrm{t}}_{25}}{{\mathrm{t}}_{11}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}+24\mathrm{d}}{\mathrm{a}+10\mathrm{d}}} \\ ={\displaystyle \frac{-3\mathrm{d}+24\mathrm{d}}{-3\mathrm{d}+10\mathrm{d}}} \\ ={\displaystyle \frac{21\mathrm{d}}{7\mathrm{d}}}=3 \end{gathered}$$

संकल्पना:

माना कि अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. a_n समांतर श्रेणी में है। 

• सार्व अंतर “d”= a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = …. = a_n – a_{n – 1}

• समांतर श्रेणी के nवें पद को a_n = a + (n – 1) d द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी श्रृंखला 2, 6, 10, ...,146 है। 

पहला पद,  = 2, अंतिम पद, a_n = 146, an

सार्व अंतर d = 4, इसलिए यह एक समांतर श्रेणी है। 

an = a + (n – 1) d

146 = 2 + (n - 1) (4)

⇒ n - 1 = 144/4

⇒ n = 36 + 1 = 37

इसलिए, दी गयी श्रृंखला में पदों की संख्या = 37 

मध्य पद =  (37 + 1)/2 = 19वां पद 

a₁₉ = 2 + (19 - 1) × 4

= 2 + 72 

= 74

अतः विकल्प (3) सही है।