Magnitude and Directions of a Vector MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Magnitude and Directions of a Vector - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

सदिश का परिमाण \(\rm \vec{z} = a\hat i + b\hat j + c\hat k\) है, तो सदिश के परिमाण को \( \left | \vec z \right |=\sqrt{(a^2+b^2 + c^2)}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है:  माना कि \(\rm \vec{z} = 5\vec a\)है, जहाँ \(\rm \vec{a} = 2\hat i + 3\hat j + 7\hat k\) है। 

⇒ \(\vec z = \rm 5\vec{a} = 10\hat i + 15\hat j + 35\hat k\)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि \(\rm \vec{z} = a\hat i + b\hat j + c\hat k\) है, तो \( \left | \vec z \right |=\sqrt{(a^2+b^2 + c^2)}\) है। 

⇒ |\(\rm \vec{z}| = \sqrt {10^2 + 15^2 +35^2} = \sqrt{1550}\)

⇒  \(|\vec z | = 5\sqrt{62}\)

अतः विकल्प 1 सही है। 

\( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} = 0 \Rightarrow A + \overrightarrow{B} = - \overrightarrow{C} \)

\( A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta_1 = C^2 \quad (\because A = B) \)

\( B^2 + B^2 + 2AB \cos \theta_1 = 2B^2 \quad (\because C = \sqrt{2}B) \)

\( 2AB \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \theta_1 = 90^{\circ} \)

\( \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} = - \overrightarrow{A} \Rightarrow B^2 + C^2 + 2BC \cos \theta_2 = A^2 \)

\( B^2 + 2B^2 + 2B \sqrt{2} B \cos \theta_2 = B^2 \)

\( 2B^2 (1+ \sqrt{2} \cos \theta_2) = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta_2 = 135^{\circ} \)

इस प्रकार, कोण \( 90^{\circ} , 135^{\circ} , 135^{\circ} \) हैं। 

गणना:

\(\vec{P} \)= î + ĵ - 2k̂

\(\vec{Q} \) = î - 3ĵ + k̂

\(\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} \)

⇒ \(\vec{PQ} = -4 \hat{j} + 3\hat{k} \)

रेखा का समीकरण:

\(L : \vec{r} = \vec{P} +\lambda \vec{PQ} \)

⇒ \(\vec{r} = \hat{i}+ \hat{j} -\hat{2k} + \lambda (-4 \hat{j}+3\hat{k}) \)

⇒ \(\vec{R} = \vec{r} = \hat{i}+ (1-4\lambda)\hat{j} + (-2+3\lambda )\hat{k} \)

⇒ \(\vec{PR} = \vec{R} - \vec{P} = -4 \lambda \hat{j} + 3 \lambda \hat{k} \)

⇒ \(|\vec{PR}|=\sqrt{(-4\lambda)^2+(3\lambda)^2}=2 \)

⇒ \(25 \lambda ^2 = 4 \)

⇒ \(\lambda = \pm \frac{2}{5} \)

अब,

\(\vec{r} = \hat{i}+ \hat{j} -\hat{2k} + \lambda (-4 \hat{j}+3\hat{k}) \)

⇒ ​\(\vec{r} = \hat{i}+ \hat{j} -2\hat{k} \pm \frac{2}{5} (-4 \hat{j}+3\hat{k}) \)​

धनात्मक और ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

⇒ \(\vec{r} =\frac{ \hat{5i}-3\hat{j} -\hat{4k}}{5} \) और \(\vec{r} =\frac{ \hat{5i}+ \hat{13j} -\hat{16k}}{5} \)

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है

संप्रत्यय:

• सदिश योग: दो सदिशों, \((\vec{A}\ and (\vec{B})\), का परिणामी सदिश योग \((\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}).\) द्वारा दिया जाता है।
• दो सदिशों के बीच का कोण: दो सदिशों \( (\vec{A}) and (\vec{R}) \) के बीच का कोण \( (\theta)\) डॉट उत्पाद सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
• \( \vec{A} \cdot \vec{R} = |\vec{A}| |\vec{R}| \cos \theta \)
• \( \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{R}}{|\vec{A}| |\vec{R}|} \)

गणना:

\(\rm \vec {{R}}=(2 \vec {{Q}}+2 \vec {{P}})+(2 \vec {{Q}}-2 \vec {{P}})\)

\(\rm \vec {{R}}=4 \vec {{Q}}\)

कोण की गणना करने के लिए डॉट उत्पाद सूत्र का उपयोग करें

A⋅R =∣A∣∣R∣cosθ

Q.4Q = |1||4|cosθ

θ = cos^-1 (4Q²/ 4)

\(\vec{Q}\) और \(\vec{R}\) के बीच का कोण शून्य है

विकल्प (1) सही है

दिया गया है:

अंतिम बिंदु (5, -5, 0) और (2, 3, 0) वाला सदिश

अवधारणा:

माना, बिन्दुओं A और B के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec a \ and \ \vec b\) हैं, तो A और B से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण I \(\vec{r}\) I = I\(( \vec{b}-\vec{a} )\) द्वारा दिया जाता है।

गणना:

माना, बिन्दुओं A (-1, 0, 2) और B (3, 4, 6) के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}\) और \(\vec b\) हैं,

तब, \(\vec a=\widehat 5i -5\widehat j +0\widehat k\)

और, \(\vec b=2\widehat i + 3\widehat j + 0\widehat k\)

⇒  \(\vec b -\vec a=-3\widehat i + 8\widehat j +0\widehat k\)

⇒ I \(\vec{r}\) I = I\(-3\widehat i + 8\widehat j +0\widehat k\)I

⇒ I \(\vec{r}\) I = \( \sqrt{(-3)^2-(8)^2 +(0)^2} \)

⇒ I \(\vec{r}\) I = ​√​73

∴ सही उत्तर √​73 है। 

संकल्पना:

माना कि \(\rm {\rm{\vec a}} = {\rm{x\;\vec i}} + {\rm{y\;\vec j}} + {\rm{z\;\vec k}}\) है, तो a के सदिश का परिमाण =\(\left| {{\rm{\vec a}}} \right| = {\rm{\;}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2}} \)

गणना:

माना कि \(\rm \vec{a}\) = p(2î - ĵ + 2k̂) है। 

दिया गया है, \(\left| {{\rm{\vec a}}} \right| = 3\)

⇒ \(\rm \sqrt{4p^2 + p^2+4p^2} = 3\)

⇒ \(\rm \sqrt{9p^2} = 3\)

⇒ 3p = 3

∴ p = 1

संकल्पना:

यदि \(\rm \vec A = x \hat i-y\hat j +z\hat k\) है, तो \(\rm |\vec A| = \sqrt {x^2 +y^2+z^2}\) है। 

गणना:

दिया गया है A = \(\rm 5 \hat i-2\hat j +4\hat k\) और B = \(\rm \hat i+3\hat j -7\hat k\)

\(\rm \vec{AB} = \vec B - \vec A\)

\(\rm \vec{AB}\) = \(\rm \hat i+3\hat j -7\hat k - (5 \hat i-2\hat j +4\hat k)\)

\(\rm \vec{AB}\) = \(\rm -4\hat i+5\hat j -11\hat k\)

अब \(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{(-4)^2 +5^2+(-11)^2}\)

\(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{16 +25+121}\)

\(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{162}\) = 9√2

अवधारणा:

सदिश \(\rm \vec A\) = a₁î + a₂ĵ + a₃k̂ का परिमाण \(\rm \left|\vec A\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) के रूप में दिया गया है।

सदिश \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) के योग के परिमाण की गणना \(\rm \left|\vec A+\vec B\right|=\sqrt{{\vec A}^2+{\vec B}^2+2\vec A\cdot\vec B}\) के रूप में भी की जा सकती है

एक बिंदु पर कार्य करने वाले सदिशों के एक समुच्चय का परिणाम केवल सदिशों का बीजगणितीय योग है।

गणना:

सदिशों \(\rm \vec a\) = 2î + ĵ + k̂ और ​\(\rm \vec b\)​ = î + 2ĵ + k̂ का परिमाण निम्न है:

\(\rm \vec r=\vec a + \vec b\) = (2î + ĵ + k̂) + (î + 2ĵ + k̂) = 3î + 3ĵ + 2k̂

अब, \(\rm \left|\vec a+\vec b\right|=\sqrt{3^2+3^2+2^2}=\sqrt{22}\)

अवधारणा:

मूल से सदिश \(\rm a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k} \) की लंबाई \(\rm \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\) है

गणना:

मूल से सदिश k(2î -  ĵ -  2k̂) की लंबाई इस प्रकार है

\(\rm \sqrt{(2k)^{2} + (-k)^{2} + (-2k)^{2}}\)

= \(\rm \sqrt{4k^{2} + k^{2} + 4k^{2}}\) 

= \(\rm \sqrt{9k^{2} }\) 

= 3k

लंबाई 6 इकाई दी गई है

3k = 6

k = 6/3

k = 2

इसलिए विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

यदि \(\vec a = \;{a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\) सदिश है तो \(\vec a\) का परिमाण निम्न द्वारा दिया जाता है: \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \;\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = \;3\hat i + 2\hat j\;and\;\vec b = 2\hat i + 3\hat j\)

यहां, हमें \(\left| {\vec a - \;\vec b} \right|\) का मूल्य ज्ञात करना होगा

⇒ \(\vec a - \vec b = \hat i - \hat j\)

संकल्पना:

सदिश aî + bĵ + ck̂ के दिशा कोसाइन को α = \(\rm \pm \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\), β = \(\rm \pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) और γ = \(\rm\pm \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिए गए सदिश 7î + 4ĵ - 3k̂ के लिए, a = 7, b = 4 और c = -3

सदिश के दिशा कोसाइन निम्न हैं:

α = \(\rm\pm \frac{7}{\sqrt{7^2+4^2+(-3)^2}}\), β = \(\rm \pm \frac{4}{\sqrt{7^2+4^2+(-3)^2}}\) और γ = \(\rm\pm \frac{-3}{\sqrt{7^2+4^2+(-3)^2}}\)

⇒ α = \(\rm \pm \frac{7}{\sqrt{74}}\), β = \(\rm \pm \frac{4}{\sqrt{74}}\) और γ = \(\rm \frac{\mp 3}{\sqrt{74}}\) 

∴ (α , β , γ ) = (\(\rm \frac{7}{\sqrt{74}}, \rm \frac{4}{\sqrt{74}},\rm \frac{-3}{\sqrt{74}}\)) या (\(\rm \frac{-7}{\sqrt{74}}, \rm \frac{-4}{\sqrt{74}},\rm \frac{3}{\sqrt{74}}\)​)

धारणा:

इकाई सदिश: एक सदिश जिसमें एक का परिमाण है।

• माना कि \(\vec a = x\;\vec i + y\;\vec j + z\;\vec k\)
• a के सदिश का परिमाण = \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{x^2} + \;{y^2} + {z^2}} \)
• इकाई सदिश = \(\hat a = \frac{{\vec a}}{{\left| {\vec a} \right|}}\)

गणना:

दिया गया सदिश है \(\left( {{\rm{cos\alpha \;cos\beta }}} \right){\rm{\;\hat i}} + \left( {{\rm{cos\alpha \;sin\beta }}} \right){\rm{\;\hat j}} + \left( {{\rm{sin\alpha }}} \right){\rm{\;\hat k}}\)

\({\rm{Let\;\vec A}} = \left( {{\rm{cos\alpha \;cos\beta }}} \right){\rm{\;\hat i}} + \left( {{\rm{cos\alpha \;sin\beta }}} \right){\rm{\;\hat j}} + \left( {{\rm{sin\alpha }}} \right){\rm{\;\hat k}}\)

अब सदिश A के परिमाण की गणना करें,

\(| {\vec A}| = \sqrt {(cos\ \alpha cos\ \beta)^2\ +\ (cos\ \alpha sin\ \beta)^2\ +\ (sin\ \alpha)^2} \)

\(\Rightarrow \left| {\vec A} \right| = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha \left[ {{{\cos }^2}\beta + {{\sin }^2}\beta } \right] + {{\left( {{\rm{sin\alpha }}} \right)}^2}} \)

\(\Rightarrow \left| {\vec A} \right| = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } = 1\)

संकल्पना:

• दो सदिशों के बीच का कोण \(\vec{\text{a}}\) और  \(\vec{\text{b}}\) द्वारा दिया गया है,\(\cos θ = {\vec{\text{a}}.\vec{\text{b}} \over |\vec{\text{a}}||\vec{\text{b}}|}\)​ 
• यदि \(\vec{\text{a}}\) = a₁\(\hat{\text{i}}\) + a₂\(\hat{\text{j}}\) + a₃\(\hat{\text{k}}\) और  \(\vec{\text{b}}\) = b1\(\hat{\text{i}}\) + b2\(\hat{\text{j}}\) + b3\(\hat{\text{k}}\), फिर\(\vec{\text{a}}.\vec{\text{b}} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

गणना:

दिया गया है: सदिशों के बीच का कोण 2x2\(\hat{\text{i}}\) + 3x\(\hat{\text{j}}\) + \(\hat{\text{k}}\) और \(\hat{\text{i}}\) −2\(\hat{\text{j}}\) + x2\(\hat{\text{k}}\) अधिक कोण है

सदिशों के बीच का कोण 2x2\(\hat{\text{i}}\) + 3x\(\hat{\text{j}}\) + \(\hat{\text{k}}\) और \(\hat{\text{i}}\) −2\(\hat{\text{j}}\) + x2\(\hat{\text{k}}\) निम्न द्वारा दिया गया है

\(\cos θ = {(2x^2 \hat{\text{i}}+3x \hat{\text{j}}+\hat{\text{k}}).(\hat{\text{i}}-2 \hat{\text{j}}+x^2\hat{\text{k}}) \over |2x^2 \hat{\text{i}}+3x \hat{\text{j}}+\hat{\text{k}}||\hat{\text{i}}-2 \hat{\text{j}}+x^2\hat{\text{k}}|}\)

⇒ \(\cos θ = {(2x^2 (1) +3x(-2)+1(x^2)) \over \sqrt{(2x^2)^2+(3x)^2+(1)^2}\sqrt{(1)^2+(-2 )^2+(x^2)^2}}\)

⇒ \(\cos θ = {3x^2 -6x \over \sqrt{4x^4+9x^2+1}\sqrt{5+x^4}}\)

चूँकि θ अधिक कोण है,

⇒ cos θ < 0

⇒ 3x² - 6x < 0

⇒ x(x - 2) < 0

⇒ 0 < x < 2

 ∴ सही विकल्प (1) है।

अवधारणा :

यदि A और B क्रमशः स्थिति सदिश \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) के साथ हैं तो \(\rm \vec {AB} = \;\vec b - \;\vec a\)

अगर \(\rm \vec a = \;{a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\) एक वेक्टर है तो वेक्टर का परिमाण \(\rm \left| {\vec a} \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) द्वारा दिया जाता है

\(\rm \hat i + 2\hat j - \hat k\)

गणना :

यह देखते हुए: A और B की स्थिति वाले वैक्टर क्रमशः \(\rm 3\hat i - 2\hat j - \hat k\) और \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) हैं।

जैसा कि हम जानते हैं, यदि A और B स्थिति वैक्टर \(\rm \vec {AB} = \;\vec b - \vec a\) क्रमशः हैं तो \(\Rightarrow \rm \;\vec {AB} = \left( {\rm 3\hat i - 2\hat j - \hat k} \right) - \left( {\rm \hat i + 2\hat j - \hat k} \right) = \; 2 \;\hat i - 4\hat j \)

\(\rm \vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, अगर \(\rm \left| {\vec a} \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) एक वेक्टर है तो वेक्टर का परिमाण \( \therefore \rm \;\left| {\vec {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { 2} \right)}^2} + {(-4)^2} + {{\left( {0} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \) द्वारा दिया जाता है

दिया है:

\((\overrightarrow a + \overrightarrow b ).(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = 8\ \)

\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8\left| {\overrightarrow b } \right|\)

गणना:

हमारे पास है,

\((\overrightarrow a + \overrightarrow b ).(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = 8\ \)

⇒ \(\vec a.\vec a \ - \vec a . \vec b + \vec b . \vec a - \vec b. \vec b = 8 \)

⇒  \(\left|\vec a \right|^2 - \vec a .\vec b + \vec a . \vec b - \left|\vec b \right|^2 = 8\)        [∵ \(\vec b. \vec a = \vec a . \vec b\)]

⇒ \(\left| \vec a \right|^2 - \left| \vec b \right|^2 = 8\)

⇒ \((8\left| \vec b \right|)^2 - \left| \vec b \right|^2 = 8\)       [\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8\left| {\overrightarrow b } \right|\)]

⇒ \(64 \left| \vec b \right|^2 - \left| \vec b \right|^2 = 8\)

⇒ \(63 \left| \vec b \right|^2 = 8\)

⇒ \(\left| \vec b \right|^2 = \frac{8}{63}\)

⇒ \(\left| \vec b \right| = \sqrt {\frac{8}{63}} \)

⇒ \(\left| \vec b \right| = { \frac{2\sqrt2}{3\sqrt7}} \)

⇒ \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 8\left| {\overrightarrow b } \right|\)

 \(\vec b \) का मान रखने पर 

⇒ \(\left| \vec a \right| = 8 \times \frac{2\sqrt2}{3\sqrt7}\)

⇒ \(\left| \vec a \right| = \frac{16\sqrt2}{3\sqrt7}\) 

∴ \(\left| \vec a \right| = \frac{16\sqrt2}{3\sqrt7}\)  और \(\left| \vec b \right| = { \frac{2\sqrt2}{3\sqrt7}} \)