Inverse Laplace Transform MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse Laplace Transform - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:-

लाप्लास रूपांतरण विशेष समाकल सूत्र है और यह कुछ निश्चित स्थितियों में रैखिक अवकलज के समीकरणों को हल करने के लिए बहुत उपयोगी होता है।

लाप्लास रूपांतरण के कुछ उपयोगी सूत्र जिनका उपयोग हम दी गई समस्या में करेंगे वे निम्नवत हैं, 

$\begin{array}{rl}& L^{-1}\left\{\frac{s-a}{(s-a{)}^2+b^2}\right\}=e^{at}\cos (bt)\\ & L^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a{)}^2+b^2}\right\}=e^{at}\sin (bt)\end{array}$

व्याख्या:-

दिया गया फलन है, 

$\frac{6\mathrm{s}-4}{{\mathrm{s}}^2-4\mathrm{s}+20}$

यहाँ, प्राचल s मान वास्तविक है। इसका लाप्लास रूपांतरण $L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}$ होगा। 

लाप्लास रूपांतरण के प्रत्यक्ष परिणाम का उपयोग करने के लिए व्यंजक को पुनः लिखने पर,​

$$\begin{gathered} \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{6s-12+8}{s^2-4s+4+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{6(s-2)+8}{(s-2{)}^2+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\{{\displaystyle \frac{6(s-2)}{(s-2{)}^2+16}}+{\displaystyle \frac{8}{(s-2{)}^2+16}}\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=6L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{(s-2)}{(s-2{)}^2+16}}\right\}+2L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{4}{(s-2{)}^2+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=6L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{(s-2)}{(s-2{)}^2+4^2}}\right\}+2L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{4}{(s-2{)}^2+4^2}}\right\} \end{gathered}$$

अब उपरोक्त लाप्लास रूपांतरण के मानों से, हमें प्राप्त होगा,

$\Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=$ 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t

इसलिए, दिए गए फलन का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t होगा। 

अत: सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल के लाप्लास रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$L[e^{-at}]⟷\frac{1}{s+a}$

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:

दिया गया है:

$\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}$

$\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}=\frac{A}{\left(s-2\right)}+\frac{B}{\left(s+1\right)}=\frac{1}{3}\left\{\frac{1}{s-2}+\frac{-1}{s+1}\right\}$

$L^{-1}\left(\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+1}\right)\right\}=\frac{e^{2t}-e^{-t}}{3}$

Additional Information

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण निम्न हैं:

संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल के लाप्लास रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$L[e^{-at}]⟷\frac{1}{s+a}$

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:

दिया गया है:

$\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}$

$\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}=\frac{A}{\left(s-2\right)}+\frac{B}{\left(s+1\right)}=\frac{1}{3}\left\{\frac{1}{s-2}+\frac{-1}{s+1}\right\}$

$L^{-1}\left(\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+1}\right)\right\}=\frac{e^{2t}-e^{-t}}{3}$

Additional Information

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण निम्न हैं:

प्रयुक्त अवधारणा:-

लाप्लास रूपांतरण विशेष समाकल सूत्र है और यह कुछ निश्चित स्थितियों में रैखिक अवकलज के समीकरणों को हल करने के लिए बहुत उपयोगी होता है।

लाप्लास रूपांतरण के कुछ उपयोगी सूत्र जिनका उपयोग हम दी गई समस्या में करेंगे वे निम्नवत हैं, 

$\begin{array}{rl}& L^{-1}\left\{\frac{s-a}{(s-a{)}^2+b^2}\right\}=e^{at}\cos (bt)\\ & L^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a{)}^2+b^2}\right\}=e^{at}\sin (bt)\end{array}$

व्याख्या:-

दिया गया फलन है, 

$\frac{6\mathrm{s}-4}{{\mathrm{s}}^2-4\mathrm{s}+20}$

यहाँ, प्राचल s मान वास्तविक है। इसका लाप्लास रूपांतरण $L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}$ होगा। 

लाप्लास रूपांतरण के प्रत्यक्ष परिणाम का उपयोग करने के लिए व्यंजक को पुनः लिखने पर,​

$$\begin{gathered} \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{6s-12+8}{s^2-4s+4+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{6(s-2)+8}{(s-2{)}^2+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\{{\displaystyle \frac{6(s-2)}{(s-2{)}^2+16}}+{\displaystyle \frac{8}{(s-2{)}^2+16}}\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=6L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{(s-2)}{(s-2{)}^2+16}}\right\}+2L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{4}{(s-2{)}^2+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=6L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{(s-2)}{(s-2{)}^2+4^2}}\right\}+2L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{4}{(s-2{)}^2+4^2}}\right\} \end{gathered}$$

अब उपरोक्त लाप्लास रूपांतरण के मानों से, हमें प्राप्त होगा,

$\Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=$ 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t

इसलिए, दिए गए फलन का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t होगा। 

अत: सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल के लाप्लास रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$L[e^{-at}]⟷\frac{1}{s+a}$

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:

दिया गया है:

$\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}$

$\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}=\frac{A}{\left(s-2\right)}+\frac{B}{\left(s+1\right)}=\frac{1}{3}\left\{\frac{1}{s-2}+\frac{-1}{s+1}\right\}$

$L^{-1}\left(\frac{1}{\left(s+1\right)\left(s-2\right)}\right)=L^{-1}\left\{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+1}\right)\right\}=\frac{e^{2t}-e^{-t}}{3}$

Additional Information

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण निम्न हैं:

प्रयुक्त अवधारणा:-

लाप्लास रूपांतरण विशेष समाकल सूत्र है और यह कुछ निश्चित स्थितियों में रैखिक अवकलज के समीकरणों को हल करने के लिए बहुत उपयोगी होता है।

लाप्लास रूपांतरण के कुछ उपयोगी सूत्र जिनका उपयोग हम दी गई समस्या में करेंगे वे निम्नवत हैं, 

$\begin{array}{rl}& L^{-1}\left\{\frac{s-a}{(s-a{)}^2+b^2}\right\}=e^{at}\cos (bt)\\ & L^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a{)}^2+b^2}\right\}=e^{at}\sin (bt)\end{array}$

व्याख्या:-

दिया गया फलन है, 

$\frac{6\mathrm{s}-4}{{\mathrm{s}}^2-4\mathrm{s}+20}$

यहाँ, प्राचल s मान वास्तविक है। इसका लाप्लास रूपांतरण $L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}$ होगा। 

लाप्लास रूपांतरण के प्रत्यक्ष परिणाम का उपयोग करने के लिए व्यंजक को पुनः लिखने पर,​

$$\begin{gathered} \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{6s-12+8}{s^2-4s+4+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{6(s-2)+8}{(s-2{)}^2+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=L^{-1}\{{\displaystyle \frac{6(s-2)}{(s-2{)}^2+16}}+{\displaystyle \frac{8}{(s-2{)}^2+16}}\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=6L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{(s-2)}{(s-2{)}^2+16}}\right\}+2L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{4}{(s-2{)}^2+16}}\right\} \\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=6L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{(s-2)}{(s-2{)}^2+4^2}}\right\}+2L^{-1}\left\{{\displaystyle \frac{4}{(s-2{)}^2+4^2}}\right\} \end{gathered}$$

अब उपरोक्त लाप्लास रूपांतरण के मानों से, हमें प्राप्त होगा,

$\Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6s-4}{s^2-4s+20}\right\}=$ 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t

इसलिए, दिए गए फलन का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t होगा। 

अत: सही विकल्प 2 है।