Higher Order Linear Differential Equations with Constant Coefficients MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Higher Order Linear Differential Equations with Constant Coefficients - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा

गणितीय विश्लेषण में, क्लैरौ का समीकरण (या क्लैरौ समीकरण) ${\displaystyle y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)}$  रूप का एक अवकल समीकरण है जहां f सतत अवकलनीय है। यह लैग्रेंज अवकलनीय समीकरण की विशिष्ट स्थिति है।

क्लैरौ के समीकरण को हल करने के लिए, x के सापेक्ष प्रथम अवकलन किया जाता है

${\displaystyle [x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)]\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0.}$

अत:, या तो  ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0}$ या ${\displaystyle x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)=0.}$

स्पष्टीकरण:

 y = px + p³.......(1)

 दोनों तरफ x के सापेक्ष अवकलन करने पर

p = x $\frac{dp}{dx}$+p+3p²$\frac{dp}{dx}$

(x+3p²)$\frac{dp}{dx}$=0

⇒  या तो $\frac{dp}{dx}$=0 या x+3p²=0

अब, चूँकि x+3p2=0 ⇒ p²=$\frac{-x}{3}$

समीकरण (1) में रखने पर 

⇒y=p(x+$(\frac{-x}{3})$)

⇒y=$\frac{2x}{3}p$

अब, दोनों तरफ वर्ग करने पर

⇒y²=($\frac{2x}{3}p$)²

⇒ 9y²=4x²$(\frac{-x}{3})$

⇒ 27y²=-4x³

⇒27y²+4x³=0

अतः,विकल्प (2) सत्य है

दिया गया अवकल समीकरण निम्न है:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{dy}{dx}-6y=x$       ---(i)

संगत समरूप अवकल समीकरण निम्न है:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{dy}{dx}-6y=0$       ---(ii)

(i) का सामान्य हल निम्न द्वारा दिया गया है:

y = पूरक' फलन + (i) का एक विशेष हल

या y = (ii) का सामान्य हल + (i) का एक विशेष हल

(ii) का सामान्य हल।

सहायक समीकरण निम्न प्रकार दिया जाता है:

D² + D – 6 = 0

 (D – 2) (D + 3) = 0

D = -3, 2

∴ (ii) का सामान्य हल निम्न है:

$C_1{e}^{-3x}+C_2{e}^{2x}$

(i) का एक विशेष समाकलन निम्न होगा:

$P.I.=\frac{x}{D^2+D-6}$

= $-\frac{1}{6}{\left(1-\frac{D}{6}-\frac{D^2}{6}\right)}^{-1}x$

= $-\frac{1}{6}\left[1+\frac{D}{6}\right]x$

$\left\{\begin{array}{c}neglectinghigherpowersofD\\ as{D}^{2}x=D^{3}x=\dots =0\end{array}\right\}$

= $-\frac{1}{6}\left(x+\frac{1}{6}\right)$

∴ (i) का अभीष्ट सामान्य हल निम्न प्रकार दिया जाता है:

$y=c_1{e}^{-3x}+c_2{e}^{2x}-\frac{1}{6}x-\frac{1}{36}$

अवधारणा -

स्वायत्त अवकल समीकरणों के संदर्भ में, फलन y' को शून्य के बराबर सेट करके और y के लिए हल करके क्रांतिक बिंदु (या संतुलन बिंदु) ज्ञात किए जाते हैं।

क्रांतिक बिंदु y' = 0 के लिए, 

स्पष्टीकरण - 

दिए गए अवकल समीकरण के क्रांतिक बिंदु हैं, (y - 1)² = 0  ⇒ y = 1

इसलिए, y = 1 इस अवकल समीकरण के लिए क्रांतिक बिंदु (या संतुलन बिंदु) है।

अतः विकल्प (iv) सही है।

स्पष्टीकरण -

दिया गया अवकल समीकरण u'' - 2u' + u = 0 है।

विशेषता (या सहायक) समीकरण m² - 2m + 1 = 0 ⇒ (m - 1)² = 0 ⇒ m = 1,1 है।

जब विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक होती हैं और दोहराई जाती हैं (m₁ = m₂ = r), तो अवकल समीकरण का व्यापक हल $u(x)=(A+Bx)e^{rx}$

इस मामले में, दोनों मूल 1 (r = 1) हैं, इस प्रकार दिए गए अवकल समीकरण का हल $u(x)=(A+Bx)e^x$ है। 

अतः विकल्प (i) सही है।

हल -

दिया गया है, अवकल समीकरण d2y/dx2 + dy/dx - 2y = ex  

सहायक समीकरण $m^2+m-2=0$ है। 

m = 1, -2 

इसलिए, सहायक समीकरण $c_1{e}^{-2x}+c_2{e}^x$ है। 

अब, विशेष हल ज्ञात कीजिए,

$\frac{1}{D^2+D-2}(e^x)$

$\frac{1}{2D+1}(x{e}^x)=\frac{x{e}^x}{3}$

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 3 है।

दिया गया है:

(D + 3)²y = 5^x - log 2

प्रयुक्त सूत्र:

$\frac{1}{f(D)}{e}^{ax}=\frac{1}{f(a)}{e}^{ax}$

e ^{log x} = x

गणना:

हमारे पास है,

⇒ (D + 3)2y = 5x - log 2

अवकल समीकरण का विशेष समाकल है

⇒ $\frac{e^{log{5}^x}-\log 2.e^{0x}}{(D+3{)}^2}$

⇒ $\frac{e^{xlog5}}{(D+3{)}^2}-\frac{log2}{(0+3{)}^2}$

⇒ $\frac{e^{xlog5}}{(3+log5{)}^2}-\frac{log2}{9}$ 

⇒ $\frac{5^x}{(3+log5{)}^2}-\frac{log2}{9}$

∴ (D + 3)2y = 5x - log 2 का विशेष समाकल $\frac{5^x}{(3+log5{)}^2}-\frac{log2}{9}$ है

अवधारणा:

अवकल समीकरण (D.E) का पूर्ण समाधान निम्न द्वारा दिया गया है

Y = C.F + P.I

जहाँ, C.F = पूरक फलन और P.I = विशेष समाकल

$D=\frac{d}{dx}$

गणना:

दिया हुआ:

$\frac{d^{4}y}{d{x}^4}+3\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=108x^2$

जहाँ, $D=\frac{d}{dx}$

 $\left(D^4+3D^2\right)y=108x^2$ 

A.E = सहायक समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है

m⁴ + 3m² = 0 

m²(m² + 3) = 0

$\begin{array}{l}m=0,0,\pm \sqrt{3}i\\ \therefore CF=\left(C_1+C_{2}x\right)+C_3\sin \left(\sqrt{3}x\right)+C_4\cos \left(\sqrt{3}x\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}PI=\frac{1}{D^4+3D^2}\left(108x^2\right)\\ =\frac{1}{3D^2\left[1+\frac{D^2}{3}\right]}\left(108x^2\right)\\ =\frac{36}{D^2}{\left[1+\frac{D^2}{3}\right]}^{-1}\left(x^2\right)\\ =\frac{36}{D^2}\times \left[1-\frac{D^2}{3}+\dots \right]\left(x^2\right)\\ =\frac{36}{D^2}\left[x^2-\frac{1}{3}\left(2\right)+0\right]\\ =\int \int \left(36x^2-\frac{2}{3}\right)dxdx\\ =36\left(\frac{x^4}{\left(4\right)\left(3\right)}-\frac{2}{3}\frac{x^2}{\left(2\right)\left(1\right)}\right)\\ =3x^4-12x^4\end{array}$

इसलिए,

$\begin{array}{l}CF=\left(C_1+C_{2}x\right)+C_3\sin \left(\sqrt{3}x\right)+C_4\cos \left(\sqrt{3}x\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}P.I=(3x^4-12x^4)\end{array}$

$\begin{array}{l}Y=\left(C_1+C_{2}x\right)+C_3\sin \left(\sqrt{3}x\right)+C_4\cos \left(\sqrt{3}x\right)+\begin{array}{c}(3x^4-12x^4)\end{array}\end{array}$

संकल्पना:

रैखिक अवकल समीकरण: रैखिक अवकल समीकरण वे होते हैं जिनमें निर्भर चर, इसका अवकलज केवल पहली डिग्री में होता है और वे एक साथ गुणा नहीं होते हैं। यह निम्न रूप का है:

$\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{n}}\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}+{\mathrm{k}}_1\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}}+{\mathrm{k}}_2\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{n}-2}\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}}+\dots +{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}\mathrm{y}=\mathrm{X}$

जहाँ, k1, k2, …kn स्थिरांक हैं और X केवल x का फलन है।

समीकरण का समाधान निम्नानुसार दिया गया है:

y = C.F + P.I

जहाँ C.F पूरक फलन है और P.I विशेष समाकल है ।

प्रतीकात्मक रूप में उपरोक्त रैखिक अवकल समीकरण को निम्न रूप में दर्शाया गया है

(Dn + k1 Dn-1 + k2 Dn-2 +…+ kn) y = X

सहायक समीकरण के विभिन्न मूलों के लिए अवकल समीकरण का समाधान (पूरक फलन) नीचे दिखाया गया है।

$\mathrm{P}.\mathrm{I}=\frac{1}{\left({\mathrm{D}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{k}}_1{\mathrm{D}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{k}}_2{\mathrm{D}}^{\mathrm{k}-2}+\dots +{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}\right)}X$

गणना:

दिया हुआ:

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}-9\frac{dy}{dx}=\cos x$

उपरोक्त अवकल समीकरण का पूर्ण समाधान y = C.F. + P.I. है

जहां, y = पूर्ण समाधान, C.F. = पूरक फलन, और P.I, = विशेष समाकल

$\frac{d}{dx}\to D$

$D^3-9D=cosx$

$(D^3+9D)y=cosx$

1. पूरक फलन

सहायक समीकरण $(D^3+9D)y=0$ है

$D^3+9D=0$

D ( $D^2$ + 9D) = 0

(D + 3) (D - 3) D = 0

सहायक समीकरण के मूल m1 = 3, m2 = -3 और m3 = 0 हैं।

यदि सभी मूल वास्तविक और अलग हैं, तो समाधान C.F. = $y\left(x\right)=C_1{e}^{m_{1}x}+C_2{e}^{m_{2}x}+....+C_n{e}^{m_{n}x}$ द्वारा संतुष्ट किया जा सकता है

अब, C.F. = $C_1{e}^{3x}+C_2{e}^{-3x}+C_3$

C.F. = $C_1{e}^{3x}+C_2{e}^{-3x}+C_3$

2. विशेष समाकल

यदि X = cos (ax + b)

फिर P.I. = $\frac{1}{f\left(D^2\right)}\cos \left(ax+b\right)=\frac{1}{f\left(-a^2\right)}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(ax+b\right)$ का उपयोग करके

P.I. = $\frac{1}{D\left(D^2-9\right)}\cos \left(1x+0\right)=\frac{1}{D\left(-{\left(1\right)}^2-9\right)}\cos x$

P.I. = $\frac{1}{-10D}\cos x$

D को निकालने के लिए dx के संबंध में समाकलन करके।

P.I. = $\frac{-1}{10}\int \cos xdx$

P.I. = $\frac{-1}{10}\sin x$

पूर्ण समाधान (y)= y(x) = C.F. + P.I.

$y(x)=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^{-3x}+C_3-\frac{1}{10}\sin x$

संकल्पना :

द्वितीय कोटि की रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप दिया गया है :

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{dx}{dt}+x=0$

गणना :

m$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ =  −kx − λ$\frac{dx}{dt}$ 

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+(\frac{\lambda }{m})\frac{dx}{dt}+(\frac{k}{m})x=0$

दिया गया, $\frac{\lambda }{m}=2p$  $\frac{k}{m}=w^2$

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+(2p)\frac{dx}{dt}+(w^2)x=0$

$t=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-4w^2}}{2}$

$t=-p\pm \sqrt{p^2-w^2}$

$x=e^{-pt}(C_1{e}^{\sqrt{p^2-w^2}t}+C_2{e}^{-\sqrt{p^2-w^2}t})$

अवधारणा:

यदि एक प्रथम-कोटि रैखिक अवकल समीकरण को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+\mathrm{P}\mathrm{y}=\mathrm{Q}$

जहाँ P और Q x के फलन या अचर है

और समाकलन गुणक (I.F.) निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F = ${\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

तब, अवकल समीकरण का हल निम्न द्वारा दिया जाता है

$\mathrm{y}\times {\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}=\int \mathrm{Q}\times {\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

जहाँ c एक समाकलन स्थिरांक है।

गणना:

दिया गया है:

दी गयी अवकल समीकरण है,

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}+my=e^{-mx}$

यहाँ, P = m, Q = $e^{-mx}$

I.F = ${\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

= ${\mathrm{e}}^{\int \mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

= ${\mathrm{e}}^{\mathrm{m}\mathrm{x}}$

समीकरण द्वितीय-कोटि वाला समीकरण है। 

यह गैर-रैखिक है क्योंकि पद dy/dx की डिग्री 3 है। 

यह असमान है क्योंकि पद sin²x समीकरण में मौजूद है। 

अवधारणा:

$$$y_p=\frac{1}{f\left(\mathrm{D}\right)}\sin ax$

f(D) = ϕ (D²)

$$$y_p=\frac{1}{\varphi \left({\mathrm{D}}^2\right)}\sin ax$

D² = -a² प्रतिस्थापित कीजिए

गणना:

$\begin{array}{rl}& \frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4\frac{dy}{dx}+3y=\sin 2x\\ & \therefore \left(D^2+4D+3\right)y=\sin 2x\\ & y=\frac{1}{D^2+4D+3}\cdot \left(\sin 2x\right)\\ & =\frac{1}{-4+4D+3}\sin 2x\\ & =\frac{1}{4D-1}\sin 2x(Rationalising)\\ & =\frac{4D+1}{{\left(4D\right)}^2-1}\cdot \sin 2x(Substitute{D}^2=-a^2)\\ & =\frac{-1}{65}\left(4D+1\right)\sin 2x=\frac{-1}{65}\left[4D\sin 2x+\sin 2x\right](D=differentiation)\\ & =\frac{-1}{65}\left(8\cos 2x+\sin 2x\right)\end{array}$

संकल्पना:

स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक, सजातीय द्वितीय कोटि अवकल समीकरण $a_0\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+a_1\frac{dy}{dx}+a_{2}y=0$।

माना कि m1 और m2, a0m2 + a1m + a2 = 0 के मूल हैं

स्थिती- I : यदि m1 और m2 वास्तविक और अलग हैं तो y = Aem1x + Bem2x

स्थिती- II : यदि m1 = m2 = m अर्थात वास्तविक और समान तो y = (A + Bx)emx

स्थिती- III : यदि m₁ = a + bi और m₂ = a - bi है, तो y = eax(Acos bx + Bsin bx)

गणना:

दिया हुआ:

समीकरण = $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$ और समाधान = y = Ae2x + Be-3x

या, (D2 + pD + q)y = 0 जहाँ D = d/dx

यह सजातीय 2^री कोटि रैखिक अवकल समीकरण के रूप में है यानी f(D)y = 0।

सहायक समीकरण f(m) = 0 द्वारा दिया गया है

∴ m2 + pm + q = 0      .....eq(1)

दिए गए समीकरण का समाधान है y = Ae2x + Be-3x      ....eq(2)

सामान्य रूप y = Aem1x + Bem2x के साथ eq (2) की तुलना करने पर

∴ m1 = 2 और m2 = -3।

तो सहायक समीकरण को f(m) = 0 के रूप में बनाया जा सकता है।

या (m - m1)(m - m2) = 0

या (m - 2)(m + 3) = 0

या m2 + m - 6 = 0     ....eq(3)

eq (1) और eq (3) की तुलना करके

∴ p = 1 और q = -6

अवधारणा:

यदि एक प्रथम-कोटि रैखिक अवकल समीकरण को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+\mathrm{P}\mathrm{y}=\mathrm{Q}$

जहाँ P और Q x के फलन या अचर है

और समाकलन गुणक (I.F.) निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F = ${\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

तब, अवकल समीकरण का हल निम्न द्वारा दिया जाता है

$\mathrm{y}\times {\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}=\int \mathrm{Q}\times {\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

जहाँ c एक समाकलन स्थिरांक है।

गणना:

दिया गया है:

दी गयी अवकल समीकरण है,

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}+my=e^{-mx}$

यहाँ, P = m, Q = $e^{-mx}$

I.F = ${\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

= ${\mathrm{e}}^{\int \mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

= ${\mathrm{e}}^{\mathrm{m}\mathrm{x}}$