First Order Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for First Order Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 5, 2025

पाईये First Order Equations उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें First Order Equations MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest First Order Equations MCQ Objective Questions

First Order Equations Question 1:

अवकल समीकरण y’ + y tan x = cos x, y(0) = 0 है। y(π) का मान _____ है।

  1. π 
  2. 2π 
  3. -2π 
  4. -π 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -π 

First Order Equations Question 1 Detailed Solution

संकल्पना:

प्रथम-कोटि रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप है:

रूप 1: dydx+Py=Q

जहां P और Q x के फलन हैं।

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाधान y(IF)=(IF×Q)dx+C है

जहाँ समाकलन कारक I.F IF=ePdx है

रूप 2: dxdy+Px=Q

जहां P और Q y के फलन हैं।

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाधान x(IF)=(IF×Q)dy+C है

जहाँ समाकलन कारक I.F IF=ePdy है

गणना:

दिया हुआ:

y' + y tan x = cos x

मानक रूप dydx+Py=Q के साथ तुलना करके

∴ P = tan x और Q = cos x

IF=ePdx=etanxelog|cosx|=1cosx

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाधान y(IF)=(IF×Q)dx+C है

y(1cosx)=(1cosxcosx)dx+C

y = x cos x + C cos x

x = 0, y = 0 पर

∴ C = 0

⇒ y = x cos x

∴ y(π) = π cos π ⇒ -π

First Order Equations Question 2:

dydx=tan(yxdydx) को हल करें।

  1. y - cx = tan c
  2. y + cx = tan c
  3. y + cx = tan-1 c
  4. y - cx = tan-1 c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : y - cx = tan-1 c

First Order Equations Question 2 Detailed Solution

संकल्पना:

रूप y = xg(p) + f(p) के समीकरण को लाग्रेंज का रूप कहा जाता है।

जब g(p) = p तब समीकरण, y = px + f(p) को क्लेरौट का समीकरण कहा जाता है और इस प्रकार के समीकरण का समाधान y = cx + f(c) द्वारा दिया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

dydx=tan(yxdydx)

माना कि p=dydx

∴ p = tan (y - xp)

या y - xp = tan-1 p

या y = px + tan-1 p जो क्लेरौट के समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

∴ उपरोक्त समीकरण का समाधान y = cx + f(c) है

∴ y = cx + tan-1 c

∴ y - cx = tan-1 c आवश्यक समाधान है।

First Order Equations Question 3:

अवकल समीकरण y=px+4+p2 का समाधान क्या है?

  1. (yCx)2+C2=0
  2. (yCx)2+4C2=0
  3. (yCx)2C2=4
  4. (yCx)24C2=0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : (yCx)2C2=4

First Order Equations Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

रूप y = x × g(p) + f(p) के समीकरण को लाग्रेंज का रूप कहा जाता है।

जब g(p) = p तब समीकरण, y = px + f(p) को क्लेरौट का समीकरण कहा जाता है और इस प्रकार के समीकरण का समाधान y = Cx + f C) द्वारा दिया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

y=px+4+p2wheref(p)=4+p2

उपर्युक्त समीकरण क्लेरौट के रूप का प्रतिनिधित्व करता है इसलिए समाधान y = Cx + f(C) है।

y=Cx+4+C2

∴ (y - Cx)2 = 4 + C2

∴ (y - Cx)2 - C2 = 4 आवश्यक समाधान है।

First Order Equations Question 4:

समीकरण x (y - z) p + y (z - x) q = z (x - y) का पूर्ण हल क्या है?

  1. ϕ (x + y + z, xyz) = 0
  2. ϕ (x + 2y + z, xz) = 0
  3. ϕ (2x + y + z, xyz) = 0
  4. ϕ (x + y + z, xy) = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ϕ (x + y + z, xyz) = 0

First Order Equations Question 4 Detailed Solution

संकल्पना:

प्रथम कोटि का रैखिक आंशिक अवकल समीकरण: प्रथम कोटि का एक रैखिक आंशिक अवकल समीकरण, जिसे आमतौर पर लैग्रेंज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, Pp + Qq = R के रूप का होता है जहाँ P, Q और R x, y, z के फलन होते हैं। इस समीकरण को अर्ध-रैखिक समीकरण कहा जाता है। जब P, Q और R, z से स्वतंत्र होते हैं, तो इसे रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है।

इस प्रकार, Pp + Qq = R के रूप के समीकरण को हल करने के लिए

  1.  dxP=dyQ=dzR के रूप में सहायक समीकरण बनाते हैं
  2. इन समकालिक समीकरणों को u = a और v = b को हल के रूप में देकर किसी भी विधि से हल करें।
  3. पूरा हल निम्न प्रकार लिखें φ (u, v) = 0 या u = f (v)


गणनाएं:

दी गई आंशिक अवकल समीकरण, x(yz)p+y(zx)q=z(xy)

इसलिए सहायक समीकरण निम्न है, dxx(yz)=dyy(zx)=dzz(xy)

इसलिए, गुणधर्म का उपयोग करके,  ab=cd=a+cb+d, इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है dx+dy+dzx(yz)+y(zx)+z(xy)=dx+dy+dz0

∴ dx+dy+dz=0  और समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है, x+y+z=a

दूसरे फलन के लिए, 1x,1y,1z के रूप में गुणक का और गुणधर्म का उपयोग करने पर,  ab=cd=a+cb+d हमें प्राप्त होता है,

1xdx(yz)=1ydy(zx)=1zdz(xy)=1xdx+1ydy+1zdz0  

∴ 1xdx+1ydy+1zdz=0   और समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता हैlnx+lny+lnz=lnbxyz=b

अत:, हल  φ(u,v)=0φ(x+y+z,xyz)=0 है।

First Order Equations Question 5:

समीकरण sec2ydydx+xtany=x3 का समाकलन कारक क्या है?

  1. ex22
  2. ex22
  3. ex2
  4. ex2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ex22

First Order Equations Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

प्रथम-कोटि रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप है,

रूप 1: dydx+Py=Q

जहां P और Q x के फलन हैं।

समाकलन कारक, IF=ePdx

अब उपरोक्त अवकल समीकरण का समाधान है,

y(IF)=IF.Qdx+C

रूप 2: dxdy+Px=Q

जहां P और Q y के फलन हैं।

समाकलन कारक, IF=ePdy

अब, उपरोक्त अवकल समीकरण का समाधान है,

x(IF)=IF.Qdy+C

गणना:

दिया हुआ अवकल समीकरण है

sec2ydydx+xtany=x3

tan y = t रखें

t के संबंध में अवकलन करके,

⇒ sec2 y dy = dt

अब, दिया गया समीकरण बन जाता है

dtdx+xt=x3

अब, यह प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के रूप में है।

समाकलन कारक =exdx=ex22

Top First Order Equations MCQ Objective Questions

समीकरण dydx+7x2y=0 के लिए यदि y(0) = 37 , फिर y(1) का मान क्या है?

  1. 73e73
  2. 73e37
  3. 37e73
  4. 37e37

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 37e73

First Order Equations Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

प्रथम कोटि, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरण को हल करने के लिए हमेशा चर वियोज्य विधि के साथ निरीक्षण करें।

गणना:

दिया हुआ अवकल समीकरण है

dydx+7x2y=0dydx=7x2y , वियोजक चर

dyy=7x2dx , दोनों पक्षों को समाकलित करके;

dyy=7x2dx;lny=7x33+lnA

जहां A स्थिरांक है।

lnylnA=7x33ln(yA)=7x33

yA=e73x3y=Ae73x3 ... (1)

(1) में स्थिती y(0)=37 का उपयोग करें

37=Ausein(1)y=37e7x33

Key Points

प्रथम कोटि, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरणों को हल करने के सभी तरीकों का अभ्यास करें।

इन प्रश्नों में विकल्प बहुत भ्रमित करते हैं। इसलिए, सभी विकल्पों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

अवकल समीकरण (x21)xdydx+2(2x21)y=5x3 का समाकलन कारक क्या है?

  1. x2(x2 - 1)
  2. x2(x2 + 1)
  3. x(x2 - 1)
  4. x(x2 + 1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x2(x2 - 1)

First Order Equations Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

 dydx+P(x)y=Q(x)

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक प्रथम कोटि समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसका समाधान निम्न द्वारा दिया गया है: y(I.F.)=(Q×I.F.)dx+c whereI.F.=ePdx

गणना:

दिया हुआ: (x21)xdydx+2(2x21)y=5x3

dydx+2(2x21)x(x21)y=5x3x(x21)--------(1)

dydx+P(x)y=Q(x) के साथ समीकरण (1) की तुलना करके हमें मिलता है

P=2(2x21)x(x21)

P=4x22x(x+1)(x1)

आंशिक अंश विधि से हल करके

Ax+B(x+1)+C(x1)=4x22x(x+1)(x1)

(x + 1)(x - 1)A + x(x-1)B + x(x + 1)C = 4x2 – 2

Ax2 – A + Bx2 – Bx + Cx2 + Cx = 4x2 – 2

(A + B + C)x2 + (C - B)x – A =  4x2 – 2

x2, x और स्थिरांकों के गुणांकों की तुलना करके हमें मिलता है

A + B + C = 4 ……. (ii)

C – B = 0 

⇒ B = C

A = 2

∵ A + B + C = 4

⇒ 2 + B + C = 4

⇒ B + C = 2

∴ B = C = 1

Ax+B(x+1)+C(x1)=4x22x(x+1)(x1)=P

P=2x+1(x+1)+1(x1)

Pdx=(2x+1(x+1)+1(x1))dx

2dxx+dx(x+1)+dx(x1)

⇒ 2ln x + ln (x + 1) + ln (x - 1)

⇒ ln x2 + ln (x2 - 1)

⇒ ln x2(x2 - 1)

I.F.=ePdx

I.F =elnx2(x21)

⇒ I.F = x2 (x2 - 1)

y(1) = 2π वाली अवकल समीकरण (t281)dydt+5ty=sin(t) पर विचार कीजिए। इस अवकल समीकरण के लिए एक अद्वितीय हल विद्यमान है जब t निम्न अंतराल से संबंधित है-

  1. (–2, 2)
  2. (–10, 10)
  3. (–10, 2)
  4. (0, 10)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : (–2, 2)

First Order Equations Question 8 Detailed Solution

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(t281)dydt+5ty=sin(t)

dydt+5t(t281)y=sint(t281)

यह प्रथम कोटि रैखिक समीकरण के मानक रूप में है।

समाकलन गुणक =e5t(t281)dt

=e52.2t(t281)dt

=e52ln(t281)=(t281)52

अवकल समीकरण का हल है:

y(t281)52=sint(t281).(t281)52dt+c

=sint(t281)32dt+c

यदि t = ±9 तो हल विद्यमान नहीं है।

अतः t ≠ ±9

विकल्पों से, (-2, 2) में ±9 नहीं है, अतः, (-2, 2) सही है।

अवकल समीकरण y=xdydx+x(dy/dx) है 

  1. प्रथम-कोटि और प्रथम-घात
  2. प्रथम-कोटि और द्वितीय -घात
  3. द्वितीय-कोटि और प्रथम-घात
  4. द्वितीय-कोटि और द्वितीय -घात

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : प्रथम-कोटि और द्वितीय -घात

First Order Equations Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना​:
अवकल समीकरण:

यह एक समीकरण है जिसमें अवकल गुणांक या अवकल शामिल होते हैं।

अवकल समीकरण की कोटि:

यह उस समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि है।

अवकल समीकरण की घात:

यह उस समीकरण में आने वाले उच्चतम अवकलज की डिग्री (घात) है, जिसके बाद समीकरण को मूलांको और भिन्नात्मक घातांको से मुक्त रूप में व्यक्त किया जाता है, जब तक अवकलज का प्रयोग होता है। 

स्पष्टीकरण​:

दी गई अवकल समीकरण है

y=xdydx+x(dy/dx)

ydydx=x(dydx)2+x

इसलिए समीकरण में dydx की उच्चतम कोटि 1 है और समीकरण में dydxकी उच्चतम डिग्री (घात) 2 है। 

इसलिए समीकरण प्रथम- कोटि और द्वितीय-घात का है*

अवकल समीकरण y=px+4+p2 का समाधान क्या है?

  1. (yCx)2+C2=0
  2. (yCx)2+4C2=0
  3. (yCx)2C2=4
  4. (yCx)24C2=0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : (yCx)2C2=4

First Order Equations Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

रूप y = x × g(p) + f(p) के समीकरण को लाग्रेंज का रूप कहा जाता है।

जब g(p) = p तब समीकरण, y = px + f(p) को क्लेरौट का समीकरण कहा जाता है और इस प्रकार के समीकरण का समाधान y = Cx + f C) द्वारा दिया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

y=px+4+p2wheref(p)=4+p2

उपर्युक्त समीकरण क्लेरौट के रूप का प्रतिनिधित्व करता है इसलिए समाधान y = Cx + f(C) है।

y=Cx+4+C2

∴ (y - Cx)2 = 4 + C2

∴ (y - Cx)2 - C2 = 4 आवश्यक समाधान है।

समीकरण sec2ydydx+xtany=x3 का समाकलन कारक क्या है?

  1. ex22
  2. ex22
  3. ex2
  4. ex2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ex22

First Order Equations Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

प्रथम-कोटि रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप है,

रूप 1: dydx+Py=Q

जहां P और Q x के फलन हैं।

समाकलन कारक, IF=ePdx

अब उपरोक्त अवकल समीकरण का समाधान है,

y(IF)=IF.Qdx+C

रूप 2: dxdy+Px=Q

जहां P और Q y के फलन हैं।

समाकलन कारक, IF=ePdy

अब, उपरोक्त अवकल समीकरण का समाधान है,

x(IF)=IF.Qdy+C

गणना:

दिया हुआ अवकल समीकरण है

sec2ydydx+xtany=x3

tan y = t रखें

t के संबंध में अवकलन करके,

⇒ sec2 y dy = dt

अब, दिया गया समीकरण बन जाता है

dtdx+xt=x3

अब, यह प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के रूप में है।

समाकलन कारक =exdx=ex22

निम्नलिखित में से कौन सा प्रथम कोटि अवकल समीकरण dydx=(x+y1)2 का सामान्य समाधान है, जहां x, y वास्तविक हैं?

  1. y = 1 + x + tan–1 (x + c), जहां c एक स्थिरांक है
  2. y = 1 + x + tan(x + c), जहां c एक स्थिरांक है
  3. y = 1 – x + tan–1 (x + c), जहां c एक स्थिरांक है
  4. y = 1 – x + tan(x + c), जहां c एक स्थिरांक है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : y = 1 – x + tan(x + c), जहां c एक स्थिरांक है

First Order Equations Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

चर वियोज्य

रूप dydx=f(ax+by+c) के समीकरण को ax + by + c = t रखकर चर वियोज्य रूप में कम किया जा सकता है।

गणना:

दिया हुआ:

dydx=(x+y1)2

x + y – 1 = t प्रतिस्थापित करें

1+dydx=dtdx

dydx=dtdx1

dtdx1=t2

dtdx=1+t2

dt1+t2=dx

tan-1 t = x + c

t = x + y - 1

tan-1 (x + y - 1) = x + c

x + y - 1 = tan (x + c)

y = 1 - x + tan (x + c)

x के संबंध में sin(x) का दूसरा अवकलज क्या है?

  1. sin (x)
  2. cos (x)
  3. –sin (x)
  4. –cos (x)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : –sin (x)

First Order Equations Question 13 Detailed Solution

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धारणा:

  • ddx(xn)=nxn1

जहां, 'x' एक बीजगणितीय फलन है

  • ddx(sinx)=cosx
  • ddx(cosx)=sinx
  • दूसरे अवकलज का निम्न रूप में प्रतिनिधित्व किया गया है
  • d2ydx2=ddx(dydx)

 

अनुप्रयोग:

माना कि y = sinx

dydx=ddx(sinx)=cosx

अब x के संबंध में sin(x) का दूसरा अवकलज है

d2ydx2=ddx(cosx)

d2ydx2=sinx

क्रमशः n = -1 और n = +1 के लिए समीकरण dydx=(xy)nके हल द्वारा दर्शाए गए वक्रों के परिवार निम्न में से क्या हैं ?

  1. परवलय और वृत्त 
  2. वृत्त और अतिपरवलय
  3. अतिपरवलय और वृत्त
  4. अतिपरवलय और परवलय

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : अतिपरवलय और वृत्त

First Order Equations Question 14 Detailed Solution

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dydx=(xy)n

n = -1 पर 

dydx=(xy)1

dydx=(yx)

dydx=(yx)

dyy=dxx

समाकलन 

dyy=dxx

⇒ ln y = -ln x + ln c

Ln (xy) = ln c

xy = c

n = +1 पर 

dydx=(xy)

Ydy = -xdx

समाकलन

y22=x22+c

x2 + y2 = c

समीकरण x (y - z) p + y (z - x) q = z (x - y) का पूर्ण हल क्या है?

  1. ϕ (x + y + z, xyz) = 0
  2. ϕ (x + 2y + z, xz) = 0
  3. ϕ (2x + y + z, xyz) = 0
  4. ϕ (x + y + z, xy) = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ϕ (x + y + z, xyz) = 0

First Order Equations Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

प्रथम कोटि का रैखिक आंशिक अवकल समीकरण: प्रथम कोटि का एक रैखिक आंशिक अवकल समीकरण, जिसे आमतौर पर लैग्रेंज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, Pp + Qq = R के रूप का होता है जहाँ P, Q और R x, y, z के फलन होते हैं। इस समीकरण को अर्ध-रैखिक समीकरण कहा जाता है। जब P, Q और R, z से स्वतंत्र होते हैं, तो इसे रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है।

इस प्रकार, Pp + Qq = R के रूप के समीकरण को हल करने के लिए

  1.  dxP=dyQ=dzR के रूप में सहायक समीकरण बनाते हैं
  2. इन समकालिक समीकरणों को u = a और v = b को हल के रूप में देकर किसी भी विधि से हल करें।
  3. पूरा हल निम्न प्रकार लिखें φ (u, v) = 0 या u = f (v)


गणनाएं:

दी गई आंशिक अवकल समीकरण, x(yz)p+y(zx)q=z(xy)

इसलिए सहायक समीकरण निम्न है, dxx(yz)=dyy(zx)=dzz(xy)

इसलिए, गुणधर्म का उपयोग करके,  ab=cd=a+cb+d, इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है dx+dy+dzx(yz)+y(zx)+z(xy)=dx+dy+dz0

∴ dx+dy+dz=0  और समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है, x+y+z=a

दूसरे फलन के लिए, 1x,1y,1z के रूप में गुणक का और गुणधर्म का उपयोग करने पर,  ab=cd=a+cb+d हमें प्राप्त होता है,

1xdx(yz)=1ydy(zx)=1zdz(xy)=1xdx+1ydy+1zdz0  

∴ 1xdx+1ydy+1zdz=0   और समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता हैlnx+lny+lnz=lnbxyz=b

अत:, हल  φ(u,v)=0φ(x+y+z,xyz)=0 है।

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