Exact Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Exact Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• समाकलन गुणक (IF) ज्ञात करने के लिए, जो कि M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 के रूप में एक अयथातथ अवकल समीकरण है, हम इसे किसी फलन (आमतौर पर x या y का) से गुणा करके यथातथ बनाने का प्रयास करते हैं।
• यदि ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, तो समीकरण यथातथ नहीं है।
• हम किसी फलन μ(x) या μ(y) से गुणा करने का प्रयास करते हैं ताकि गुणा करने के बाद, समीकरण यथातथ हो जाए।
• हम यथातथ्य की स्थिति का उपयोग करते हैं:
  μ से गुणा करने के बाद, नए M और N को संतुष्ट करना चाहिए:
  ∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x

गणना:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0

M = −(y + 2x²), N = x

∂M/∂y = −1, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

समाकलन गुणक μ = 1/x से प्रयास करने पर:

⇒ गुणा करें: M = −(y + 2x²)/x, N = 1

फिर ∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x³ से प्रयास करने पर:

M = −x³y − 2x⁵, N = x⁴

∂M/∂y = −x³, ∂N/∂x = 4x³ ⇒ बराबर नहीं है। 

पुनः सही अवकलन के साथ μ = 1/x से प्रयास करने पर:

M = −(y + 2x²)/x = −y/x − 2x, N = 1

∂M/∂y = −1/x, ∂N/∂x = 0 ⇒ अभी भी बराबर नहीं है। 

इसलिए जाँच के साथ पुनः μ = x से प्रयास करने पर:

M = −x(y + 2x²) = −xy − 2x³, N = x²

∂M/∂y = −x, ∂N/∂x = 2x ⇒ बराबर नहीं है। 

μ = x² से प्रयास करने पर:

M = −x²y − 2x⁴, N = x³

∂M/∂y = −x², ∂N/∂x = 3x² ⇒ यदि x² गुणक रहता है तो वे मेल खाते हैं ⇒ यह कार्य करता है

⇒ (A) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

(B) (2x² − 3y)dx = xdy

M = 2x² − 3y, N = −x

∂M/∂y = −3, ∂N/∂x = −1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = 2x³ − 3xy, N = −x²

∂M/∂y = −3x, ∂N/∂x = −2x ⇒ बराबर नहीं है। 

IF = x² से प्रयास करने पर:

M = 2x⁴ − 3x²y, N = −x³

∂M/∂y = −3x², ∂N/∂x = −3x² ⇒ बराबर है। 

⇒ (B) → (III) (समाकलन गुणक x² है)

ऊपर पहले ही उपयोग किया गया है। इसलिए अब (A) को सही IF से मिलाएँ:

(A) xdy − (y + 2x²)dx = 0 IF = x के साथ यथातथ हो जाता है ⇒ (A) → (II)

(C) (2y + 3x²)dx + xdy = 0

M = 2y + 3x², N = x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 1 ⇒ यथातथ नहीं है। 

IF = x से प्रयास करने पर:

M = x(2y + 3x²) = 2xy + 3x³, N = x²

∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x ⇒ यथातथ है। 

⇒ (C) → (II) (समाकलन गुणक x है)

(D) 2xdy + (3x³ + 2y)dx = 0

M = 3x³ + 2y, N = 2x

∂M/∂y = 2, ∂N/∂x = 2 ⇒ पहले से ही यथातथ है। 

इसलिए समाकलन गुणक = 1 ⇒ जो x⁰ = x⁰ = x³/x³ है ⇒ IF = x³ इसे सही ठहराता है। 

⇒ (D) → (IV)

अंतिम मिलान:

• (A) → (I) (1/x)
• (B) → (IV) (x³)
• (C) → (III) (x²)
• (D) → (II) (x)

∴ सही उत्तर : विकल्प (2) है। 

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है, M dx + N dy = 0

अवकल समीकरण के यथार्थ होने के लिए, तब:

\(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\)

⇒ My = Nx

⇒ My - Nx = 0

∴ अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि और केवल यदि My - Nx = 0 हो।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संप्रत्यय:

यदि IF, Mdx + Ndy = 0 का एक समाकलन गुणक है, तो

M₁ dx + N₁ dy = 0 जहाँ M₁ = IF × M और N₁ = IF × N, एक यथातथ अवकल समीकरण है अर्थात, \({\partial M_1\over \partial y}={\partial N_1\over \partial x}\)

व्याख्या:

\(\rm x\frac{dy}{dx}-y=0\)

⇒ ydx - xdy = 0...(i)

(1): (i) को \(\rm \frac{1}{x^2}\) से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

\( \frac{y}{x^2}dx-\frac1xdy\) = 0...(ii)

\({\partial M_1\over \partial y}=\frac1{x^2},{\partial N_1\over \partial x}=\frac1{x^2}\)

इसलिए, (ii) यथातथ है और इसलिए \(\rm \frac{1}{x^2}\) एक समाकलन गुणक है।

(2): (i) को \(\rm \frac{1}{y^2}\) से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

\( \frac{1}{y}dx-\frac x{y^2}dy\) = 0...(iii)

\({\partial M_1\over \partial y}=-\frac1{y^2},{\partial N_1\over \partial x}=-\frac1{y^2}\)

इसलिए, (iii) यथातथ है और इसलिए \(\rm \frac{1}{y^2}\) एक समाकलन गुणक है।

(3): (i) को \(\rm \frac{1}{xy}\) से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

\( \frac{1}{x}dx-\frac 1{y}dy\) = 0...(iv)

\({\partial M_1\over \partial y}=0,{\partial N_1\over \partial x}=0\)

इसलिए, (iv) यथातथ है और इसलिए \(\rm \frac{1}{xy}\) एक समाकलन गुणक है।

(4): (i) को \(\rm \frac{1}{x+y}\) से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

\( \frac{y}{x+y}dx-\frac x{x+y}dy\) = 0...(v)

\({\partial M_1\over \partial y}\neq{\partial N_1\over \partial x}\)

इसलिए, (v) यथातथ नहीं है और इसलिए \(\rm \frac{1}{x+y}\) एक समाकलन गुणक नहीं है।

अतः (4) सही उत्तर है।

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है, M dx + N dy = 0

अवकल समीकरण के यथार्थ होने के लिए, तब:

\(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\)

⇒ M_y = N_x

⇒ M_y - N_x = 0

∴ अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 यथार्थ होगा, यदि और केवल यदि My - Nx = 0 हो।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

चर पृथक्करण विधि:

प्रथम कोटि की अवकलन समीकरण पर विचार कीजिए,

P(y)\(\frac{dy}{dx}\) = Q(x), जहाँ Q(x) और P(y) क्रमश: केवल x और y वाले फलन है।

हम चर पृथक्करण द्वारा इसे हल कर सकते है:

P(y)\(\frac{dy}{dx}\) = Q(x) ⇒ \(\int P(y)dy=\int Q(x)dx\)

गणना:

दिया गया है, \((x+y)^2 \frac{d y}{d x}=a^2\)​​​​

माना, x + y = t

⇒ 1 + \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{dt}{dx}\)

⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{dt}{dx}\) - 1

∴ अवकलन समीकरण \(t^2\left(\frac{dt}{dx}-1\right)=a^2\) होगा,

⇒ \(\frac{dt}{dx}-1=\frac{a^2}{t^2}\)

⇒ \(\frac{dt}{dx}=\frac{a^2}{t^2}+1=\frac{a^2+t^2}{t^2}\)

⇒ \(\frac{t^2}{a^2+t^2}dt=dx\)

⇒ \(\frac{a^2+t^2-a^2}{a^2+t^2}dt=dx\)

⇒ \(\left(1-\frac{a^2}{a^2+t^2}\right)dt=dx\)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(\int \left(1-\frac{a^2}{a^2+t^2}\right)dt=\int dx\)

⇒ \(\int 1dt-a^2\int\frac{1}{a^2+t^2}dt=\int dx\)

⇒ \(t-a^2\times\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{t}{a}\right)=x + c\)

⇒ x + y - a tan^-1(\(\frac{x+y}{a}\)) = x + c

⇒ y - a tan-1(\(\frac{x+y}{a}\)) = c

⇒ tan-1(\(\frac{x+y}{a}\)) = \(\frac{y-c}{a}\)

⇒ \(\frac{x+y}{a}\) = tan(\(\frac{y-c}{a}\))

⇒ y + x = a tan(\(\frac{y-c}{a}\)), जहाँ c समाकलन नियतांक है। 

∴ दिए गए अवकल समीकरण का हल (y + x) = a tan\(\left(\frac{y-c}{a}\right)\) है।​

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

सजातीय समीकरण

• यदि समीकरण में सभी पदों की डिग्री समान है तो समीकरण को एक सजातीय समीकरण के रूप में कहा जाता है।

सटीक समीकरण

• सटीक होने के लिए अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}\) है

रैखिक समीकरण

• एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि निर्भर चर और इसका अवकल गुणांक केवल डिग्री में होते हैं और इन्हें एक साथ गुणा नहीं किया जाता है।
• पहली कोटि के रैखिक समीकरण का मानक रूप, जिसे आमतौर पर लिबनिट्ज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, निम्न है

\(\frac{{dx}}{{dy}}+Py=Q\)

जहाँ, P, Q x का एक फलन है।

स्थिती 1:

2y dx + (2x - 3y) dy = 0   ---(1)

यह सजातीय है

स्थिती 2:

(1) को \(\frac{{dx}}{{dy}}=\frac{{2y}}{{2x\;-\;3y}}\) के रूप में लिखा जा सकता है यह एक रैखिक रूप नहीं है ।

or \(\frac{{dx}}{{dy}}=\frac{{2x-3y}}{{2y}}\)

\(\frac{{dx}}{{dy}}+\frac{{x}}{{y}}=\frac{{3}}{{2}}\)

It is in linear form

स्थिती 3:

M dx + N dy = 0

2y dx – (3y – 2x) dy = 0

इसलिए M = 2y और N = 2x - 3y

\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} =\frac{{\partial (2y)}}{{\partial y}}= 2\) और \(\frac{{\partial N}}{{\partial x}}= \frac{{\partial (2x+3y)}}{{\partial x}}=2\)

यथा \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}}=\frac{{\partial N}}{{\partial y}}\)

इसलिए, यह एक सटीक समीकरण है ।

अवधारणा:

​​​​\(\frac {dy}{dx}+P(x)y= Q(x)\)

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाकलन कारक निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F =\(e^{\int P(x)dx}\)

गणना:

दिया हुआ:

\(\dfrac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2\log x\)

∴ \(\frac {dy}{dx}+\frac {y}{xlogx}=\frac 2x\)

P(x) = \(\frac {1}{xlogx}\)

∴ I.F = \(e^{\int \frac {1}{xlogx}dx}\)= \(e^{log(logx)} = log x\)

संकल्पना:

पृथक्करणीय चर विधि

∫f(y)dy = ∫f(x)dx

गणना:

दिया गया है:

\(y^3\frac{dy}{dx}\;+\;x^3=0\)

y³dy = -x³dx

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर 

\(\frac{y^4}{4}=-\frac{x^4}{4}+C\)

y(0) पर = 1

\(C=\frac{1}{4}\)

\(\frac{y^4}{4}=-\frac{x^4}{4}+\frac{1}{4}\)

y⁴ = -x⁴ + 1

y(-1) पर 

y⁴ = -(-1)⁴ + 1 = 0

संकल्पना:

\({y^3}\frac{{dy}}{{dx}} + {x^3} = 0\)

दिया गया है y (0) = 1,      y(-1) = ?

\({y^3}\frac{{dy}}{{dx}} + {x^3} = 0\)

y³ dy = -x³dx

\(\mathop \smallint \nolimits{y^3}dy = - \mathop \smallint \nolimits {x^3}dx + c\)

\(\frac{{{y^4}}}{4} = - \frac{{{x^4}}}{4} + C\)

\(\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{y^4}}}{4} = C\)      ----(1)

अब दिया गया है y (0) = 1

\(C = \left( {\frac{1}{4}} \right) + \frac{{{{\left( 0 \right)}^2}}}{4}\)

\(C = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{{y^4}}}{4} + \frac{{{x^4}}}{4} = \frac{1}{4}\)                       {समीकरण (1) से}

Y (-1) =?

\(\frac{{{y^4}}}{4} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{4} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{{y^4}}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{{y^4}}}{4} = 0 \Rightarrow y = 0\)

y (-1) = 0

अवधारणा:

एक सटीक अवकल समीकरण पर विचार करें:

M dx + N dy = 0

एक सटीक अवकल समीकरण की स्थिति:

\({\partial M\over \partial y}={\partial N\over \partial x}\)

गणना:

दिया गया है, \(dF(x, y)=\left(\frac{1}{x^2+2}+\frac{\alpha}{y}\right)dx\space + (xy^\beta+1)dy\)

\(M=\frac{1}{x^2+2}+\frac{\alpha}{y}\) और \(N=(xy^\beta+1)\)

\(-\alpha y^{-2}=y^\beta\)

α = -1, β = -2

संकल्पना:

सजातीय समीकरण

• यदि समीकरण में सभी पदों की डिग्री समान है तो समीकरण को एक सजातीय समीकरण के रूप में कहा जाता है।

सटीक समीकरण

• सटीक होने के लिए अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}\) है

रैखिक समीकरण

• एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि निर्भर चर और इसका अवकल गुणांक केवल डिग्री में होते हैं और इन्हें एक साथ गुणा नहीं किया जाता है।
• पहली कोटि के रैखिक समीकरण का मानक रूप, जिसे आमतौर पर लिबनिट्ज के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, निम्न है

\(\frac{{dx}}{{dy}}+Py=Q\)

जहाँ, P, Q x का एक फलन है।

स्थिती 1:

2y dx + (2x - 3y) dy = 0   ---(1)

यह सजातीय है

स्थिती 2:

(1) को \(\frac{{dx}}{{dy}}=\frac{{2y}}{{2x\;-\;3y}}\) के रूप में लिखा जा सकता है यह एक रैखिक रूप नहीं है ।

or \(\frac{{dx}}{{dy}}=\frac{{2x-3y}}{{2y}}\)

\(\frac{{dx}}{{dy}}+\frac{{x}}{{y}}=\frac{{3}}{{2}}\)

It is in linear form

स्थिती 3:

M dx + N dy = 0

2y dx – (3y – 2x) dy = 0

इसलिए M = 2y और N = 2x - 3y

\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} =\frac{{\partial (2y)}}{{\partial y}}= 2\) और \(\frac{{\partial N}}{{\partial x}}= \frac{{\partial (2x+3y)}}{{\partial x}}=2\)

यथा \(\frac{{\partial M}}{{\partial y}}=\frac{{\partial N}}{{\partial y}}\)

इसलिए, यह एक सटीक समीकरण है ।

अवधारणा:

​​​​\(\frac {dy}{dx}+P(x)y= Q(x)\)

उपरोक्त अवकल समीकरण का समाकलन कारक निम्न द्वारा दिया जाता है

I.F =\(e^{\int P(x)dx}\)

गणना:

दिया हुआ:

\(\dfrac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2\log x\)

∴ \(\frac {dy}{dx}+\frac {y}{xlogx}=\frac 2x\)

P(x) = \(\frac {1}{xlogx}\)

∴ I.F = \(e^{\int \frac {1}{xlogx}dx}\)= \(e^{log(logx)} = log x\)

संकल्पना:

M dx + N dy = 0 सटीक अवकल समीकरण होगा यदि:

\(\frac{{\partial {\rm{M}}}}{{\partial {\rm{y}}}} = \frac{{\partial {\rm{N}}}}{{\partial {\rm{x}}}}\)

जहाँ M और N x और y के फलन हैं।

गणना:

दिया हुआ:

समीकरण (3xy2 + n2 x2y) dx + (nx3 + 3x2y) dy = 0, x ≠ 0

यहाँ M = 3xy2 + n2 x2y और N = nx3 + 3x2y

दिया गया समीकरण सटीक है, इस प्रकार:

\(\frac{{\partial {\rm{M}}}}{{\partial {\rm{y}}}} = \frac{{\partial {\rm{N}}}}{{\partial {\rm{x}}}}\)

∴ 6xy + n2x2 = 3nx2 + 6xy

∴ n2x2 = 3nx2

∴ n = 3

संकल्पना:

यदि अवकल समीकरण M dx + N dy = 0 के रूप में है तो सटीक होने की स्थिति है

\(\frac{{\partial N}}{{\partial x}} = \frac{{\partial M}}{{\partial y}}\)

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है

(3a2x2 + by cos x) dx + (2 sin x – 4ay3)dy = 0

M = 3a2x2 + by cos x

N = 2 sin x – 4 ay3

\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = b\cos x\)

\(\frac{{\partial N}}{{\partial x}} = 2\cos x\)

⇒ b cos x = 2 cos x

⇒ b = 2

दिया गया समीकरण b = 2 और a के किसी भी मान के लिए सटीक है।

संकल्पना:

चर पृथक्करणीय अवकल समीकरण:

f(x) dx + f(y) dy = 0

∫ f(x) dx + ∫ f(y) dy = c

गणना:

\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{e^x}\tan y}}{{\left( {{e^x} - 1} \right){{\sec }^2}y}}\)

\(\frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}dx - \frac{{{{\sec }^2}y}}{{\tan y}}dy = 0\)

\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}dx - \smallint \frac{{{{\sec }^2}y}}{{\tan y}}dy = c\)

⇒ ln (e^x - 1) - ln (tan y) = c

\(\ln \left( {\frac{{{e^x} - 1}}{{\tan y}}} \right) = c \Rightarrow \frac{{{e^x} - 1}}{{\tan y}} = {e^c} = c\)

∴ e^x = c tan y + 1