सामान्य श्रृंखला MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for General Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

N₁ = 3 + 33 + 333 + .... + 333333 और

N₂ = 4 + 44 + 444 + .... + 4444444

गणनाएँ:

N₁ = 3 + 33 + 333 + 3333 + 33333 + 333333

⇒ N₁ = 3 x (1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111)

श्रेणी का योग: 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 = 123456

⇒ N₁ = 3 × 123456 = 370368

N₂ = 4 + 44 + 444 + 4444 + 44444 + 444444 + 4444444

⇒ N₂ = 4 × (1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111)

श्रेणी का योग: 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 = 1234567

⇒ N₂ = 4 × 1234567 = 4938268

N₁ + N₂ = 370368 + 4938268

⇒ N₁ + N₂ = 5308636

5308636 के अंकों का योग ⇒ 5 + 3 + 0 + 8 + 6 + 3 + 6 = 31

सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

\({\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)} \right]^{ - 0.5}}\)

गणना:

\({\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)} \right]^{ - 0.5}}\)

⇒ \([{(\frac{1}{2})(\frac{2}{3}) (\frac{3}{4}).....(\frac{99}{100})]^{-0.5} }\)

हल करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

⇒ (1/100)-0.5

⇒ (100)0.5

⇒ 10

∴\({\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)} \right]^{ - 0.5}}\) का मान 10 हैI

दिया गया है:

\(\rm S=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+...+\frac{2n+1}{2^n}\)

गणना:

\(\rm S = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + \frac{9}{16} + ... + \frac{2n+1}{2^n}\)

\(\rm \frac{1}{2}\) से गुणा करें:

\(\rm \frac{1}{2}S = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} + ... + \frac{2n-1}{2^n} + \frac{2n+1}{2^{n+1}}\)

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाएँ:

\(\rm S - \frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + \left(\frac{5}{4} - \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{7}{8} - \frac{5}{8}\right) + \left(\frac{9}{16} - \frac{7}{16}\right) + ... + \left(\frac{2n+1}{2^n} - \frac{2n-1}{2^n}\right) - \frac{2n+1}{2^{n+1}}\)

\(\rm \frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + ... + \frac{2}{2^n} - \frac{2n+1}{2^{n+1}}\)

\(\rm \frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n-1}}\right) - \frac{2n+1}{2^{n+1}}\)

कोष्ठक में पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद \(\rm a = \frac{1}{2}\), सार्व अनुपात \(\rm r = \frac{1}{2}\), और \(\rm n-1\) पद हैं।

गुणोत्तर श्रेणी का योग = \(\rm \frac{a(1 - r^{n-1})}{1 - r} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}\)

\(\rm \frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + \left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) - \frac{2n+1}{2^{n+1}}\)

\(\rm \frac{1}{2}S = \frac{5}{2} - \frac{2n + 5}{2^{n+1}}\)

\(\rm S = 5 - \frac{2n + 5}{2^{n}}\)

अनंत योग के लिए चूँकि \(\rm n \to \infty\), \(\rm \frac{2n + 5}{2^n} \to 0\).

इसलिए, \(\rm S = 5 - 0 = 5\) (अनंत श्रेणी के लिए)

इसलिए, S का मान 5 है।

दिया गया है:

nवाँ पद = 1 + n/2 + n²/2

प्राकृत संख्याओं का योग = n(n+1)/2

'n' प्राकृत संख्याओं के वर्ग का योग = [n(n+1)(2n+1)]/6

गणना:

समझने के लिए, प्रश्न में दिए गए शब्द को इस प्रकार तोड़ें:

1. एक बीस बार जोड़ना = 20

2. जब n = 1, 2, 3 और इसी तरह n/2 में 20 तक, योग = 1/2 (n(n+1)/2)

= 1/2 (20(20+1)/2) = 105

3. जब n = 1, 2, 3 और इसी तरह n2/2 में 20 तक, योग = 1/2 [n(n+1)(2n+1)]/6

= 1/2 [20(20+1)(2×20+1)]/6 = 1435

अत: श्रेणी का योग = 20 + 105 + 1435 = 1560

अतः विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

12 + 22 + ....n2 = [(n)(n + 1)(2n+1)]/6

गणना:

माना,

⇒ S = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ..... + 81 + 100 

⇒ S = 12 + 22 + 32 + .....+ 102 

यहाँ, n = 10

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके

⇒ S = [10(10 + 1)(2 × 10 + 1)]/6

⇒ S = (10 × 11 × 21)/6

⇒ S = 2310/6

⇒ S = 385

∴ सही उत्तर 385 है।

दिया है:

1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + .......... + 20

प्रयुक्त अवधारणा:

पहले n क्रमागत संख्या का योग n(n+1)/2 है।

पहले n क्रमागत संख्या के वर्ग का योग n(n + 1)(2n + 1)/6 है।

गणना:

प्रश्न के अनुसार, हमारे पास है:

1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ..........20 पदों तक

nवाँ पद = n(n + 1)

योग = ∑ n (n + 1) = ∑ (n2 + n)

योग = ∑ n2 + ∑ n 

योग = \(\frac{n(n +1)(2n +1)}{6}+\frac{n(n +1)}{2}\)

योग = \(\frac{n(n +1)}{2}\Big[\frac{2n +1}{3}+1\Big]\)

योग = \(\frac{n(n +1)}{2}\Big[\frac{2n +4}{3}\Big]\) = \(\frac{n(n +1)(2n + 4)}{6}\)

n = 20 रखने पर, हमारे पास है

योग = \(\frac{20(20 +1)(2\times 20+ 4)}{6}\)

⇒ योग = \(\frac{20\times 21 \times 44}{6}\)

⇒ योग = \(\frac{420 \times 44}{6}\)

⇒ योग = 3080

∴ दी गई श्रेढ़ी के पहले 20 पदों का योग 3080 है।

अवधारणा:

सम: वह संख्या जिसमें इकाई अंक 0, 2, 4, 6 या 8 होता है।

उदाहरण के लिए 2, 48, 1000 सम संख्याएँ हैं।

गणना:

दी गई संख्या शृंखला निम्नलिखित है:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1......

हम देख सकते हैं कि संख्याएँ प्रत्येक स्थान पर चिह्न बदलती हैं और, एकांतर स्थान पर संख्याओं का चिह्न समान होता है। इसलिए,

पहले दो पदों का योग

= 1 - 1 = 0

अगले दो पदों का योग

= 1 - 1 = 0

हम देख सकते हैं कि प्रत्येक युग्म का योग शून्य है।

∴ कुल पदों की एक सम संख्या के लिए, शृंखला का मान शून्य होगा।

दिया गया है:

nवाँ पद = 1 + n/2 + n²/2

प्राकृत संख्याओं का योग = n(n+1)/2

'n' प्राकृत संख्याओं के वर्ग का योग = [n(n+1)(2n+1)]/6

गणना:

समझने के लिए, प्रश्न में दिए गए शब्द को इस प्रकार तोड़ें:

1. एक बीस बार जोड़ना = 20

2. जब n = 1, 2, 3 और इसी तरह n/2 में 20 तक, योग = 1/2 (n(n+1)/2)

= 1/2 (20(20+1)/2) = 105

3. जब n = 1, 2, 3 और इसी तरह n2/2 में 20 तक, योग = 1/2 [n(n+1)(2n+1)]/6

= 1/2 [20(20+1)(2×20+1)]/6 = 1435

अत: श्रेणी का योग = 20 + 105 + 1435 = 1560

अतः विकल्प 4 सही है।

उपयोग किया गया सूत्र:

AP के n पदों  का योग = (n/2) [a + l] = (n/2) [2a + (n - 1)d] 

जहाँ n = पदों की संख्या, d = सामान्य अंतर, l = अंतिम पदों  और a = पहला पद

गणना:

1 से 55 के बीच सम संख्याएँ

a = 2, l = 54

सम संख्याओं का योग = (n/2) [a + l]

यहाँ, n सम पदों की संख्या है = 27

⇒ (27/2) [2 + 54]

⇒ 27 × 28

⇒ 756

∴ 1 और 55 के बीच सभी सम संख्याओं का योग 756 है।

दिया गया है:

\({\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)} \right]^{ - 0.5}}\)

गणना:

\({\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)} \right]^{ - 0.5}}\)

⇒ \([{(\frac{1}{2})(\frac{2}{3}) (\frac{3}{4}).....(\frac{99}{100})]^{-0.5} }\)

हल करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

⇒ (1/100)-0.5

⇒ (100)0.5

⇒ 10

∴\({\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)} \right]^{ - 0.5}}\) का मान 10 हैI

दिया गया है: श्रृंखला = 7, 11, 15, 19, 23, …

प्रयोग किया गया सूत्र :

S_n = n/2 × {2a + (n - 1) × d}; जहाँ n= पदों की संख्या, d = समान अंतर  , a = पहला पद, S_n = n पदों का योग; d = (a₂ - a₁); a₂ =  A.P. का दूसरा पद, a₁ = A.P का पहला पद 

गणना:

उपर्युक्त सूत्र के प्रयोग से, हमें प्राप्त हुआ  d = 4

⇒ S₂₅ = 25 / 2 × {2 × 7 + (25 - 1) × 4}

⇒ S₂₅ = 55 × 25

⇒ S₂₅ = 1375

∴  25 पदों का अभीष्ट योग = 1375

दिया गया है:

n = 9, d = 2 और योग = 558

प्रयुक्त सूत्र:

AP के n पदों का योग = (n/2)(2a + (n - 1)d)

nवाँ पद = a + (n - 1)d

जहाँ, a = प्रथम पद, d = सार्वअंतर, n = पदों की कुल संख्या

गणना:

AP के n पदों का योग = (n/2)(2a + (n - 1)d)

⇒ 558 = (9/2)(2a + (9 - 1) × 2)

⇒ 558 = (9/2)(2a + 16)

⇒ 124 = 2a + 16

⇒ 2a = 108

⇒ a = 54

∴ 9 सम क्रमागत संख्याएँ 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70 हैं

अंतिम 3 क्रमागत संख्याओं का योग = 66 + 68 + 70 = 204

व्याख्या:

यदि A, a और b के बीच का समान्तर माध्य है,

\(⇒ A=\frac{a+b}{2}\)

यदि G, a और b के बीच का गुणोत्तर माध्य है,

⇒ G = √ab

यदि H, a और b के बीच हरात्मक माध्य है,

\(⇒ H=\frac{2ab}{a+b}\)

अब, AH = \(\frac{a+b}{2}\times \frac{2ab}{a+b}\)

⇒ AH = ab

⇒ AH = G2

यह एक G.P. का एक रूप है

इसलिए, यदि दो संख्याओं 'a' और 'b' के बीच समान्तर माध्य, गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य क्रमशः A, G और H हैं, तो A, G, H गुणोत्तर श्रेणी में होगी।

प्रयुक्त सूत्र:

nवां पद = a + (n - 1)d

योगफल = \({n\over2}({a + l})\)

यहाँ, a → पहला पद, n → पदों की कुल संख्या, d → सार्व अंतर, l → अंतिम पद 

गणना:

हमें दी गई शृंखला 65 + 67 + 69 + ... + 135 है।

पहला पद, (a) = 65,

सार्व अंतर = 67 - 65 = 2

nवां पद = 135

अब, nवां पद = a + (n - 1)d

⇒ 135 = 65 + (n - 1) × 2

⇒ 2(n - 1) = 135 - 65 

⇒ 2(n - 1) = 70

⇒ n = 36

योगफल = \({n\over2}({a + l})\)

⇒ (36/2)(65 + 135)

⇒ 3600

दिया गया है:

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ..... + 81 + 100 + 81 + ...... + 16 + 9 + 4 + 1 

प्रयुक्त अवधारणा:

प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग निम्न के द्वारा दिया जाता है:

12 + 22 + 32 + ..... + n2 = \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ..... + 81 + 100 + 81 + ..... + 16 + 9 + 4 + 1

⇒ 2 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ..... + 81) + 100

⇒ 2 (12 + 22 + 32 + 42 + .... + 92) + 100

प्रथम '9' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करके,

⇒ 2 \( [\frac{9(9+1)(18 +1)}{6}]\) + 100

⇒ 2 \((\frac{9\; \times \;10 \;\times \;19}{6} )\) + 100 

⇒ 570 + 100 = 670

∴ दी गई शृंखला का योग 670 है।