हरात्मक श्रेणी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Harmonic Progression - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 19, 2025
Latest Harmonic Progression MCQ Objective Questions
हरात्मक श्रेणी Question 1:
यदि हरात्मक श्रेढ़ी के छठे और ग्यारहवें पद क्रमशः 1/11 और 1/19, हैं। तो हरात्मक श्रेढ़ी का पहला पद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 1 Detailed Solution
प्रयुक्तअ वधारणा:
मात्राओं a1, a2, a3, a4, --------an की श्रृंखला हरात्मक श्रेढ़ी में है, जहां, उनके व्युत्क्रम 1/a1, 1/a2, 1/a3, 1/a4, ---------1/an समांतर श्रेढ़ी में हैं।
गणना:
हरात्मक श्रेढ़ी का छठा पद = 1/11
∴ A.P का छठा पद = 11
H.P का ग्यारहवां पद = 1/19
∴ A.P का ग्यारहवां पद = 19
T6 = a + 5d = 11
T11 = a + 10d = 19
∴ T11 – T6 = 19 – 11
⇒ 5d = 19 – 11
⇒ 5d = 8
⇒ d = 8/5
इसे समीकरण (1) में रखने पर, हमारे पास है –
⇒ a + 5(8/5) = 11
⇒ a = 11 – 8
⇒ a = 3 जो A.P का पहला पद है
∴ हरात्मक श्रेढ़ी का पहला पद = 1/3 है।हरात्मक श्रेणी Question 2:
यदि a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0 के मूल बराबर हैं, तो a, b, c में हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 2 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
समीकरण Ax2 + Bx + C = 0
यदि मूल बराबर हैं, तब B2 - 4AC = 0
प्रयुक्त सूत्र:
(x - y) = x2 - 2xy + y2
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
गणना:
a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0
जहाँ A = a(b - c) , B = b(c - a) और C = c(a - b)
अब,
⇒ [b(c - a)]2 - 4 × a(b - c) × c(a - b) = 0
⇒ b2(c2 + a2 - 2ac) - 4ac(ab - b2 -ac + bc) = 0
⇒ b2c2 + b2a2 - 2acb2 - 4a2bc + 4acb2 + 4a2c2 - 4abc2 = 0
⇒ a2b2 + b2c2 + 4a2c2 + 2acb2 - 4a2bc - 4abc2 = 0
उपरोक्त सर्वसमिका का उपयोग करने पर
⇒ (ab + bc - 2ac)2 = 0
⇒ ab + bc - 2ac = 0
⇒ b(a + c) = 2ac
⇒ b = 2ac/(a + c)
इसलिए, a, b और c हरात्मक श्रेणी में हैं।
∴ सही उत्तर हरात्मक श्रेणी है।
हरात्मक श्रेणी Question 3:
मान लीजिए धनात्मक संख्याएँ a1, a2, a3, ...., a3n गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं। यदि P, a1, a2, a3, ...., an का गुणोत्तर माध्य है और Q, an+1, an+2, an+3, ..., a3n का गुणोत्तर माध्य है, तो 3n संख्याओं का गुणोत्तर माध्य कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 3 Detailed Solution
प्रयुक्त सूत्र:
n संख्याओं का गुणोत्तर माध्य a1, a2....an = (a1a2a3...an)1/n
गणना:
मान लीजिए, n = 1
धनात्मक संख्याएँ a1, a2, a3 बन जाती हैं जो गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
प्रश्नानुसार, P, a1, a2, a3 का गुणोत्तर माध्य है।
इसलिए,
P = (a1a2a3)1/3 -----(1)
पुनः,
Q, a4, a5, a6, a7, a8, a9 का गुणोत्तर माध्य है।
Q = (a4 a5 a6 a7 a8 a9)1/6 ----(2)
3n का गुणोत्तर माध्य अर्थात 3 × 3 = 9 संख्या है।
(a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9)1/9
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है।
(P3 × Q6)1/9
(P1/3 × Q2/3)
हरात्मक श्रेणी Question 4:
यदि a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0 के मूल बराबर हैं, तो a, b, c में हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 4 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
समीकरण Ax2 + Bx + C = 0
यदि मूल बराबर हैं, तब B2 - 4AC = 0
प्रयुक्त सूत्र:
(x - y) = x2 - 2xy + y2
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
गणना:
a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0
जहाँ A = a(b - c) , B = b(c - a) और C = c(a - b)
अब,
⇒ [b(c - a)]2 - 4 × a(b - c) × c(a - b) = 0
⇒ b2(c2 + a2 - 2ac) - 4ac(ab - b2 -ac + bc) = 0
⇒ b2c2 + b2a2 - 2acb2 - 4a2bc + 4acb2 + 4a2c2 - 4abc2 = 0
⇒ a2b2 + b2c2 + 4a2c2 + 2acb2 - 4a2bc - 4abc2 = 0
उपरोक्त सर्वसमिका का उपयोग करने पर
⇒ (ab + bc - 2ac)2 = 0
⇒ ab + bc - 2ac = 0
⇒ b(a + c) = 2ac
⇒ b = 2ac/(a + c)
इसलिए, a, b और c हरात्मक श्रेणी में हैं।
∴ सही उत्तर हरात्मक श्रेणी है।
हरात्मक श्रेणी Question 5:
यदि a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0 के मूल बराबर हैं, तो a, b, c में हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 5 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
समीकरण Ax2 + Bx + C = 0
यदि मूल बराबर हैं, तब B2 - 4AC = 0
प्रयुक्त सूत्र:
(x - y) = x2 - 2xy + y2
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
गणना:
a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0
जहाँ A = a(b - c) , B = b(c - a) और C = c(a - b)
अब,
⇒ [b(c - a)]2 - 4 × a(b - c) × c(a - b) = 0
⇒ b2(c2 + a2 - 2ac) - 4ac(ab - b2 -ac + bc) = 0
⇒ b2c2 + b2a2 - 2acb2 - 4a2bc + 4acb2 + 4a2c2 - 4abc2 = 0
⇒ a2b2 + b2c2 + 4a2c2 + 2acb2 - 4a2bc - 4abc2 = 0
उपरोक्त सर्वसमिका का उपयोग करने पर
⇒ (ab + bc - 2ac)2 = 0
⇒ ab + bc - 2ac = 0
⇒ b(a + c) = 2ac
⇒ b = 2ac/(a + c)
इसलिए, a, b और c हरात्मक श्रेणी में हैं।
∴ सही उत्तर हरात्मक श्रेणी है।
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यदि हरात्मक श्रेढ़ी के छठे और ग्यारहवें पद क्रमशः 1/11 और 1/19, हैं। तो हरात्मक श्रेढ़ी का पहला पद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्तअ वधारणा:
मात्राओं a1, a2, a3, a4, --------an की श्रृंखला हरात्मक श्रेढ़ी में है, जहां, उनके व्युत्क्रम 1/a1, 1/a2, 1/a3, 1/a4, ---------1/an समांतर श्रेढ़ी में हैं।
गणना:
हरात्मक श्रेढ़ी का छठा पद = 1/11
∴ A.P का छठा पद = 11
H.P का ग्यारहवां पद = 1/19
∴ A.P का ग्यारहवां पद = 19
T6 = a + 5d = 11
T11 = a + 10d = 19
∴ T11 – T6 = 19 – 11
⇒ 5d = 19 – 11
⇒ 5d = 8
⇒ d = 8/5
इसे समीकरण (1) में रखने पर, हमारे पास है –
⇒ a + 5(8/5) = 11
⇒ a = 11 – 8
⇒ a = 3 जो A.P का पहला पद है
∴ हरात्मक श्रेढ़ी का पहला पद = 1/3 है।यदि a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0 के मूल बराबर हैं, तो a, b, c में हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
समीकरण Ax2 + Bx + C = 0
यदि मूल बराबर हैं, तब B2 - 4AC = 0
प्रयुक्त सूत्र:
(x - y) = x2 - 2xy + y2
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
गणना:
a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0
जहाँ A = a(b - c) , B = b(c - a) और C = c(a - b)
अब,
⇒ [b(c - a)]2 - 4 × a(b - c) × c(a - b) = 0
⇒ b2(c2 + a2 - 2ac) - 4ac(ab - b2 -ac + bc) = 0
⇒ b2c2 + b2a2 - 2acb2 - 4a2bc + 4acb2 + 4a2c2 - 4abc2 = 0
⇒ a2b2 + b2c2 + 4a2c2 + 2acb2 - 4a2bc - 4abc2 = 0
उपरोक्त सर्वसमिका का उपयोग करने पर
⇒ (ab + bc - 2ac)2 = 0
⇒ ab + bc - 2ac = 0
⇒ b(a + c) = 2ac
⇒ b = 2ac/(a + c)
इसलिए, a, b और c हरात्मक श्रेणी में हैं।
∴ सही उत्तर हरात्मक श्रेणी है।
दो अवलोकनों के लिए, योग S है और गुणनफल P है। इन दो अवलोकनों का हरात्मक माध्य क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
योग S है और गुणनफल P है।
प्रयुक्त सूत्र:
a और b का हरात्मक माध्य = 2/(1/a + 1/b) = 2ab/(a + b)
गणना:
योग S है और गुणनफल P है।
तब, इन दो अवलोकनों का हरात्मक माध्य = 2P/S
∴ दो अवलोकनों का हरात्मक माध्य 2P/S है।
यदि y और z के बीच हरात्मक माध्य x है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
y और z के बीच का हरात्मक माध्य x है।
अवधारणा:
हरात्मक माध्य: यदि a, b और c समांतर श्रेणी में हैं तो,
1/a, 1/b, 1/c हरात्मक (HP) श्रेणी में हैं।
यदि a और b का हरात्मक माध्य H है, तो
H = \(\frac{2}{\frac{1}{a} \ + \ \frac{1}{b} }\) या H = \(\frac{2ab}{a\ + \ b}\)
गणना:
हमारे पास है,
y और z का हरात्मक माध्य x है
⇒ x = \(\frac{2yz}{y \ + \ z}\)
⇒ xy + xz = 2yz
⇒ xy + xz - 2yz = 0
∴ यदि y और z के बीच का हरात्मक माध्य x है, तो xy + xz - 2yz = 0 है।
हरात्मक श्रेणी Question 10:
यदि हरात्मक श्रेढ़ी के छठे और ग्यारहवें पद क्रमशः 1/11 और 1/19, हैं। तो हरात्मक श्रेढ़ी का पहला पद क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 10 Detailed Solution
प्रयुक्तअ वधारणा:
मात्राओं a1, a2, a3, a4, --------an की श्रृंखला हरात्मक श्रेढ़ी में है, जहां, उनके व्युत्क्रम 1/a1, 1/a2, 1/a3, 1/a4, ---------1/an समांतर श्रेढ़ी में हैं।
गणना:
हरात्मक श्रेढ़ी का छठा पद = 1/11
∴ A.P का छठा पद = 11
H.P का ग्यारहवां पद = 1/19
∴ A.P का ग्यारहवां पद = 19
T6 = a + 5d = 11
T11 = a + 10d = 19
∴ T11 – T6 = 19 – 11
⇒ 5d = 19 – 11
⇒ 5d = 8
⇒ d = 8/5
इसे समीकरण (1) में रखने पर, हमारे पास है –
⇒ a + 5(8/5) = 11
⇒ a = 11 – 8
⇒ a = 3 जो A.P का पहला पद है
∴ हरात्मक श्रेढ़ी का पहला पद = 1/3 है।हरात्मक श्रेणी Question 11:
यदि a, 4, b समांतर श्रेणी में हैं और a, 2, b गुणोतर श्रेणी में हैं, तो a, 1, b _______ में है।
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 11 Detailed Solution
दिया है कि a, 4, b समांतर श्रेणी में हैं
⇒ \(\rm \frac{a+b}{2}=4\) ⇒ (a + b) = 8 ---(i)
और a, 2, b गुणोतर श्रेणी में हैं
⇒ 2 = √ab
⇒ ab = 4
समीकरण (i) को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है
\(\rm \frac{a+b}{ab}=\frac{8}{4}\)
⇒ \(\rm \frac{1}{b}+\frac{1}{a}=2\)
⇒ \(\rm \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\)
⇒ a, 1, b हरात्मक श्रेणी में हैं
हरात्मक श्रेणी Question 12:
यदि a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0 के मूल बराबर हैं, तो a, b, c में हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 12 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
समीकरण Ax2 + Bx + C = 0
यदि मूल बराबर हैं, तब B2 - 4AC = 0
प्रयुक्त सूत्र:
(x - y) = x2 - 2xy + y2
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
गणना:
a(b - c) x2 + b(c - a) x + c(a - b) = 0
जहाँ A = a(b - c) , B = b(c - a) और C = c(a - b)
अब,
⇒ [b(c - a)]2 - 4 × a(b - c) × c(a - b) = 0
⇒ b2(c2 + a2 - 2ac) - 4ac(ab - b2 -ac + bc) = 0
⇒ b2c2 + b2a2 - 2acb2 - 4a2bc + 4acb2 + 4a2c2 - 4abc2 = 0
⇒ a2b2 + b2c2 + 4a2c2 + 2acb2 - 4a2bc - 4abc2 = 0
उपरोक्त सर्वसमिका का उपयोग करने पर
⇒ (ab + bc - 2ac)2 = 0
⇒ ab + bc - 2ac = 0
⇒ b(a + c) = 2ac
⇒ b = 2ac/(a + c)
इसलिए, a, b और c हरात्मक श्रेणी में हैं।
∴ सही उत्तर हरात्मक श्रेणी है।
हरात्मक श्रेणी Question 13:
दो अवलोकनों के लिए, योग S है और गुणनफल P है। इन दो अवलोकनों का हरात्मक माध्य क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 13 Detailed Solution
दिया गया है:
योग S है और गुणनफल P है।
प्रयुक्त सूत्र:
a और b का हरात्मक माध्य = 2/(1/a + 1/b) = 2ab/(a + b)
गणना:
योग S है और गुणनफल P है।
तब, इन दो अवलोकनों का हरात्मक माध्य = 2P/S
∴ दो अवलोकनों का हरात्मक माध्य 2P/S है।
हरात्मक श्रेणी Question 14:
यदि y और z के बीच हरात्मक माध्य x है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 14 Detailed Solution
दिया गया है:
y और z के बीच का हरात्मक माध्य x है।
अवधारणा:
हरात्मक माध्य: यदि a, b और c समांतर श्रेणी में हैं तो,
1/a, 1/b, 1/c हरात्मक (HP) श्रेणी में हैं।
यदि a और b का हरात्मक माध्य H है, तो
H = \(\frac{2}{\frac{1}{a} \ + \ \frac{1}{b} }\) या H = \(\frac{2ab}{a\ + \ b}\)
गणना:
हमारे पास है,
y और z का हरात्मक माध्य x है
⇒ x = \(\frac{2yz}{y \ + \ z}\)
⇒ xy + xz = 2yz
⇒ xy + xz - 2yz = 0
∴ यदि y और z के बीच का हरात्मक माध्य x है, तो xy + xz - 2yz = 0 है।
हरात्मक श्रेणी Question 15:
यदि a,b,c गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो loga x, logb x, logc x किस प्रकार समन्धित होंगे?
Answer (Detailed Solution Below)
Harmonic Progression Question 15 Detailed Solution
दिया है:
a,b,c गुणोत्तर श्रेणी में है तो b2 = ac
log लेने पर
logb2 = logac
2logb = loga + logc
समीकरण को दोनों तरफ logx से भाग देने पर
\(({2logb\over logx}) = ({loga \over logx}+{ logc \over logx})\)
2 logx b = logx a + logx c
2/logb x = 1/loga x + 1/logc x
इसलिए loga x, logb x, logc x हरात्मक श्रेणी में होंगे।
अत: विकल्प 3 सही है।