Forward Euler's Method MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Forward Euler's Method - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

ऑयलर विधि: \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\)

व्याख्या:

दिया गया है,

अवकल समीकरण \( y'(x) = x(y(x) + 1)\)

प्रारंभिक स्थिति \(y(0) = \beta\) और सोपान आकार \(h = 0.1\)

अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर सन्निकट हल का मान 1.02 है।

हमें \( \beta \) का मान ज्ञात करना है।

ऑयलर विधि प्रारंभिक मान समस्याओं के हल के सन्निकटन के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है।

ऑयलर विधि का सूत्र \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\) है

इस समस्या में दिया गया अवकलज \(y'(x) = x(y(x) + 1\)) है, इसलिए \(f(x, y) = x(y + 1) \).

हमें दिया गया है कि \( h = 0.1\) और \( x = 0.2 \) पर \(y\) के मान की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए \(x = 0 \) से शुरू करते हुए, पुनरावृति द्वारा ऑयलर विधि को लागू करें।

प्रारंभिक स्थिति:

\( x = 0\) पर, हमारे पास \(y(0) = \beta \) है

\(y_1 = y_0 + h f(0, y_0)\)

⇒ \(y_1 = \beta + 0.1 \times 0(\beta + 1)\)
\(\Rightarrow y_1 = \beta\)

इसलिए, पहले चरण के बाद, \(y_1 = \beta\) .

\(y_2 = y_1 + h f(0.1, y_1)\)

⇒ \(y_2 = \beta + 0.01\beta + 0.01\)

⇒ \(y_2 = 1.01\beta + 0.01\)

हमें दिया गया है कि \(x = 0.2 \) पर \(y_2 = 1.02\) है।

समीकरण \(y_2 = 1.02 \) से, हम जानते हैं कि \(1.01\beta + 0.01 = 1.02\)

⇒ \(1.01\beta = 1.02 - 0.01\)

⇒ \(1.01\beta = 1.01\)

⇒ \(\beta = \frac{1.01}{1.01} = 1 \)

\(\beta \) का मान 1 है।

इसलिए, विकल्प 4) सही है।

संकल्पना:

यूलर की विधि से,

y1 = y0 + h f(x0,y0)

जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0

गणना:

समीकरण पर विचार करें, \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = x2y – 1 = f(x,y)

यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1

अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9

अवधारणा:

फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:

y' = f (x, y), y(x₀) = y₀

y_{n + 1} = y_n + h f(x_n, y_n)

गणना:

हमारे पास है,

x₀ =  0, y₀ = 1 , h = 0.1

x₁ = x₀ + h

n = 0 के लिए 

⇒ y₁ = y₀ + hf(x_n, y_n)

⇒ y₁ = 1 - 0.1 ×  (0 - 1)²

⇒ y₁ = 1 - 0.1

⇒ y₁ = 0. 9

n = 1 के लिए 

⇒ y₂ = y₁ + hf(x₁ - y₁²)

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)²]

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]

⇒ y₂ = 0.9 - 0.1 ×  0.71

⇒ y₂ = 0.9 - 0.071

⇒ y₂ = 0. 829

⇒ y₂ = 0.83

∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है

अवधारणा:

फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:

y' = f (x, y), y(x₀) = y₀

y_{n + 1} = y_n + h f(x_n, y_n)

गणना:

हमारे पास है,

x₀ =  0, y₀ = 1 , h = 0.1

x₁ = x₀ + h

n = 0 के लिए 

⇒ y₁ = y₀ + hf(x_n, y_n)

⇒ y₁ = 1 - 0.1 ×  (0 - 1)²

⇒ y₁ = 1 - 0.1

⇒ y₁ = 0. 9

n = 1 के लिए 

⇒ y₂ = y₁ + hf(x₁ - y₁²)

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)²]

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]

⇒ y₂ = 0.9 - 0.1 ×  0.71

⇒ y₂ = 0.9 - 0.071

⇒ y₂ = 0. 829

⇒ y₂ = 0.83

∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है

संकल्पना:

यूलर की विधि से,

y1 = y0 + h f(x0,y0)

जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0

गणना:

समीकरण पर विचार करें, \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = x2y – 1 = f(x,y)

यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1

अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9

संकल्पना:

यूलर की विधि से,

y1 = y0 + h f(x0,y0)

जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0

गणना:

समीकरण पर विचार करें, \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = x2y – 1 = f(x,y)

यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1

अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9

संप्रत्यय:

ऑयलर विधि: \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\)

व्याख्या:

दिया गया है,

अवकल समीकरण \( y'(x) = x(y(x) + 1)\)

प्रारंभिक स्थिति \(y(0) = \beta\) और सोपान आकार \(h = 0.1\)

अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर सन्निकट हल का मान 1.02 है।

हमें \( \beta \) का मान ज्ञात करना है।

ऑयलर विधि प्रारंभिक मान समस्याओं के हल के सन्निकटन के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है।

ऑयलर विधि का सूत्र \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\) है

इस समस्या में दिया गया अवकलज \(y'(x) = x(y(x) + 1\)) है, इसलिए \(f(x, y) = x(y + 1) \).

हमें दिया गया है कि \( h = 0.1\) और \( x = 0.2 \) पर \(y\) के मान की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए \(x = 0 \) से शुरू करते हुए, पुनरावृति द्वारा ऑयलर विधि को लागू करें।

प्रारंभिक स्थिति:

\( x = 0\) पर, हमारे पास \(y(0) = \beta \) है

\(y_1 = y_0 + h f(0, y_0)\)

⇒ \(y_1 = \beta + 0.1 \times 0(\beta + 1)\)
\(\Rightarrow y_1 = \beta\)

इसलिए, पहले चरण के बाद, \(y_1 = \beta\) .

\(y_2 = y_1 + h f(0.1, y_1)\)

⇒ \(y_2 = \beta + 0.01\beta + 0.01\)

⇒ \(y_2 = 1.01\beta + 0.01\)

हमें दिया गया है कि \(x = 0.2 \) पर \(y_2 = 1.02\) है।

समीकरण \(y_2 = 1.02 \) से, हम जानते हैं कि \(1.01\beta + 0.01 = 1.02\)

⇒ \(1.01\beta = 1.02 - 0.01\)

⇒ \(1.01\beta = 1.01\)

⇒ \(\beta = \frac{1.01}{1.01} = 1 \)

\(\beta \) का मान 1 है।

इसलिए, विकल्प 4) सही है।

अवधारणा:

फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:

y' = f (x, y), y(x₀) = y₀

y_{n + 1} = y_n + h f(x_n, y_n)

गणना:

हमारे पास है,

x₀ =  0, y₀ = 1 , h = 0.1

x₁ = x₀ + h

n = 0 के लिए 

⇒ y₁ = y₀ + hf(x_n, y_n)

⇒ y₁ = 1 - 0.1 ×  (0 - 1)²

⇒ y₁ = 1 - 0.1

⇒ y₁ = 0. 9

n = 1 के लिए 

⇒ y₂ = y₁ + hf(x₁ - y₁²)

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)²]

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]

⇒ y₂ = 0.9 - 0.1 ×  0.71

⇒ y₂ = 0.9 - 0.071

⇒ y₂ = 0. 829

⇒ y₂ = 0.83

∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है

संकल्पना:

यूलर की विधि से,

y1 = y0 + h f(x0,y0)

जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0

गणना:

समीकरण पर विचार करें, \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = x2y – 1 = f(x,y)

यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1

अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9

व्याखया:

दिया गया है:

\(\frac{{dy}}{{dx}} - \left( {xy + {x^2}} \right) = 0\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = xy + {x^2} = f\left( {x,\;y} \right)\)

संकल्पना:

यूलर का प्रथम कोटि सूत्र है

y_n+1 = y_n + h ⋅ f(x_n, y_n)

y₁ = y₀ + h ⋅ f (x₀, y₀)       ----(1)

f(x₀, y₀) = 0 + 0 = 0

h = 1

y₀ = 0

y₁ = 0 + 1 ⋅ (0) = 0

x₁ = x₀ + h = 0 + 1 = 1

f(x₁, y₁) = 1(0) + 1² = 1

y₂ = y₁ + h ⋅ f(x₁, y₁)

y₂ = 0 + 1 ⋅ (1) = 1

x₂ = x₁ + h = 1 + 1 = 2

अब,

y₃ = y₂ + h ⋅ f(x₂, y₂)

f(x₂, y₂) = 2(1) + 2² = 6

∴ y₃ = 1 + 1.(6) = 7

संकल्पना:

निम्न रूप के प्रारंभिक मान वाले प्रश्न के लिए एक संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर विधि का प्रयोग करने पर:

\(y' = f\left( {x,y} \right),\;y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\)

हम उस तथ्य से निर्णय लेते हैं कि कौन-सा अंतराल प्रारंभिक स्थिति से प्रारंभ होता है, हम उस हल को ज्ञात करना चाहते हैं। हम इस अंतराल को लम्बाई h वाले छोटे उपविभाजन में बाटँते हैं। फिर, हमारे प्रारंभिक बिंदु के रूप में प्रारंभिक स्थिति का प्रयोग करने पर हम पुनरावृत्तीय सूत्रों का प्रयोग करके शेष हल उत्पन्न करते हैं:

\({x_{n + 1}} = {x_n} + h\)

\({y_{n + 1}} = {y_n} + hf\left( {{x_n},{y_n}} \right)\)

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{{dy}}{{dx}}\; = \;{x^3} - 2y\; = \;f\left( {x,y} \right)\)

y (o) = 0.5

y (x₀) = y₀

माना कि, x₀ = 0, y₀ = 0.5, h = 0.1

x₁ = x₀ + h = 0.1

यूलर की अग्र विधि से

y(x₁) = y₁ = y₀ + h f(x₀, y₀)

\(\Rightarrow \;y\left( {0.1} \right)\; = \;{y_1}\; = \;0.5 + \left( {0.1} \right)\left( {x_0^3 - 2{y_0}} \right)\)

⇒ y(0.1) = y₁ = 0.5 + (0.1) [0 – 2 (0.5)]

⇒ y(0.1) = y₁ = 0.5 – 0.1 = 0.4

संप्रत्यय:

ऑयलर विधि: \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\)

व्याख्या:

दिया गया है,

अवकल समीकरण \( y'(x) = x(y(x) + 1)\)

प्रारंभिक स्थिति \(y(0) = \beta\) और सोपान आकार \(h = 0.1\)

अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर सन्निकट हल का मान 1.02 है।

हमें \( \beta \) का मान ज्ञात करना है।

ऑयलर विधि प्रारंभिक मान समस्याओं के हल के सन्निकटन के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है।

ऑयलर विधि का सूत्र \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\) है

इस समस्या में दिया गया अवकलज \(y'(x) = x(y(x) + 1\)) है, इसलिए \(f(x, y) = x(y + 1) \).

हमें दिया गया है कि \( h = 0.1\) और \( x = 0.2 \) पर \(y\) के मान की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए \(x = 0 \) से शुरू करते हुए, पुनरावृति द्वारा ऑयलर विधि को लागू करें।

प्रारंभिक स्थिति:

\( x = 0\) पर, हमारे पास \(y(0) = \beta \) है

\(y_1 = y_0 + h f(0, y_0)\)

⇒ \(y_1 = \beta + 0.1 \times 0(\beta + 1)\)
\(\Rightarrow y_1 = \beta\)

इसलिए, पहले चरण के बाद, \(y_1 = \beta\) .

\(y_2 = y_1 + h f(0.1, y_1)\)

⇒ \(y_2 = \beta + 0.01\beta + 0.01\)

⇒ \(y_2 = 1.01\beta + 0.01\)

हमें दिया गया है कि \(x = 0.2 \) पर \(y_2 = 1.02\) है।

समीकरण \(y_2 = 1.02 \) से, हम जानते हैं कि \(1.01\beta + 0.01 = 1.02\)

⇒ \(1.01\beta = 1.02 - 0.01\)

⇒ \(1.01\beta = 1.01\)

⇒ \(\beta = \frac{1.01}{1.01} = 1 \)

\(\beta \) का मान 1 है।

इसलिए, विकल्प 4) सही है।

संकल्पना:
यूलर की विधि की अवधारणा है कि हमारा हल टेलर की श्रृंखला के रूप में लिखा गया है।

यानी, हमारे पास फॉर्म का एक फलन होगा:

\(y(x + h) \approx y(x) + hy'(x) + \frac{{{h^2}y''(x)}}{{2!}} + \frac{{{h^3}y'''(x)}}{{3!}} + ....\)

यदि हम बहुत सारे पद लेते हैं, और यदि h का मान उचित रूप से छोटा है, तो यह हमें एक उचित रूप से अच्छा सन्निकटन देता है।

यूलर की विधि के लिए, हम केवल पहले 2 पदों को ही लेते हैं।

y(x + h) ≈ y(x) + h y'(x)

अंतिम पद केवल h गुना dy/dx व्यंजक है, इसलिए हम यूलर की विधि को इस प्रकार लिख सकते हैं:

y(x + h) ≈ y(x) + hf(x, y)

हम y के कुछ ज्ञात मान से शुरू करते हैं, जिसे हम y₀ कह सकते हैं। इसका यह मान होता है जब x = x₀ (हम प्रारंभिक मान (x0, y0) का उपयोग करते हैं।)

इस सूत्र का उपयोग करने का परिणाम y का मान है, जो वर्तमान मान के दाईं ओर एक h चरण है। चलो इसे y₁ कहते हैं। तो हमारे पास है:

y₁ ≈ y₀ + hf(x₀, y₀)

जहाँ

y₁ अगला अनुमानित हल मान है;

y0 वर्तमान मान है;

h चरणों के बीच का अंतराल है; तथा

f(x₀, y₀) प्रारंभिक बिंदु (x0, y0) पर अवकलज का मान है, 

गणना:

दिया है f(x, y) = y2 - x2 , y₀ = 1, x₀ = 0, h = 0.1

फिर पहले पुनरावृत्ति मान के रूप में दिया जाता है

y₁ ≈ y₀ + hf(x₀, y₀)

y₁ = 1 + (0.1)(1² - 0)

y1 = 1.1

संकल्पना:

यूलर की विधि से,

y1 = y0 + h f(x0,y0)

जहाँ, h = चरण आकार = x1 – x0

गणना:

समीकरण पर विचार करें, \(\frac{{dy}}{{dx}}\) = x2y – 1 = f(x,y)

यह दिया गया है कि, x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1

अत: y1 = 1 + 0.1 (0 – 1) = 0.9

अवधारणा:

फॉर्म की प्रारंभिक मान समस्या का संख्यात्मक हल उत्पन्न करने के लिए यूलर की विधि:

y' = f (x, y), y(x₀) = y₀

y_{n + 1} = y_n + h f(x_n, y_n)

गणना:

हमारे पास है,

x₀ =  0, y₀ = 1 , h = 0.1

x₁ = x₀ + h

n = 0 के लिए 

⇒ y₁ = y₀ + hf(x_n, y_n)

⇒ y₁ = 1 - 0.1 ×  (0 - 1)²

⇒ y₁ = 1 - 0.1

⇒ y₁ = 0. 9

n = 1 के लिए 

⇒ y₂ = y₁ + hf(x₁ - y₁²)

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - (0.9)²]

⇒ y₂ = 0.9 + 0.1[0.1 - 0. 81]

⇒ y₂ = 0.9 - 0.1 ×  0.71

⇒ y₂ = 0.9 - 0.071

⇒ y₂ = 0. 829

⇒ y₂ = 0.83

∴ लगभग दो दशमलव स्थान मान 0.83 है