यदि प्रारंभिक मान समस्या
\(\rm \left\{\begin{matrix}y'(x)=x(y(x)+1), &x\in R\\\ y(0)=β \end{matrix}\right.\)

के सन्निकट हल का मान, सोपान -आकार 0.1 के साथ अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर 1.02 है, तो β का मान है:

संप्रत्यय:

ऑयलर विधि: \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\)

व्याख्या:

दिया गया है,

अवकल समीकरण \( y'(x) = x(y(x) + 1)\)

प्रारंभिक स्थिति \(y(0) = \beta\) और सोपान आकार \(h = 0.1\)

अग्रिम ऑयलर विधि का उपयोग करके x = 0.2 पर सन्निकट हल का मान 1.02 है।

हमें \( \beta \) का मान ज्ञात करना है।

ऑयलर विधि प्रारंभिक मान समस्याओं के हल के सन्निकटन के लिए एक संख्यात्मक तकनीक है।

ऑयलर विधि का सूत्र \(y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)\) है

इस समस्या में दिया गया अवकलज \(y'(x) = x(y(x) + 1\)) है, इसलिए \(f(x, y) = x(y + 1) \).

हमें दिया गया है कि \( h = 0.1\) और \( x = 0.2 \) पर \(y\) के मान की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए \(x = 0 \) से शुरू करते हुए, पुनरावृति द्वारा ऑयलर विधि को लागू करें।

प्रारंभिक स्थिति:

\( x = 0\) पर, हमारे पास \(y(0) = \beta \) है

\(y_1 = y_0 + h f(0, y_0)\)

⇒ \(y_1 = \beta + 0.1 \times 0(\beta + 1)\)
\(\Rightarrow y_1 = \beta\)

इसलिए, पहले चरण के बाद, \(y_1 = \beta\) .

\(y_2 = y_1 + h f(0.1, y_1)\)

⇒ \(y_2 = \beta + 0.01\beta + 0.01\)

⇒ \(y_2 = 1.01\beta + 0.01\)

हमें दिया गया है कि \(x = 0.2 \) पर \(y_2 = 1.02\) है।

समीकरण \(y_2 = 1.02 \) से, हम जानते हैं कि \(1.01\beta + 0.01 = 1.02\)

⇒ \(1.01\beta = 1.02 - 0.01\)

⇒ \(1.01\beta = 1.01\)

⇒ \(\beta = \frac{1.01}{1.01} = 1 \)

\(\beta \) का मान 1 है।

इसलिए, विकल्प 4) सही है।