Evaluate using Integration by Parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Integration by Parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|

= {x²- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]

माना I = ${\int }_1^{3}f(x)dx$

= $-{\int }_1^2(x^2-x-2)dx+{\int }_2^3(x^2-x-2)dx$

= $-[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x{]}_1^2+[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x{]}_2^3$

= $[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4]-[[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2]+[\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-6]-[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4]$

= $\frac{20}{6}-\frac{13}{6}-\frac{9}{6}+\frac{20}{6}$ = 3

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|.

= {x² - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x² - x - 2); x ∈ [-1, 2]

माना I = - ${\int }_0^2(x^2–x–2)dx$

= - $[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x{]}_2^0$

= $-[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4]+0=\frac{10}{3}$

∴ विकल्प (d) सही है

गणना

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx=\int ({\displaystyle \frac{d}{dx}}[f(x)]\int g(x)dx)dx$

${\int }_0^{1}4\underset{I}{x^3}\frac{d^2}{d{x}^2}(1-\underset{II}{x^2}{)}^{5}dx$

$={[4x^3\frac{d}{dx}(1-x^2{)}^5]}_0^1-{\int }_0^{1}12x^2\frac{d}{dx}(1-x^2{)}^{5}dx$

$={[4x^3\times 5(1-x^2{)}^4(-2x)]}_0^1-12[{[x^2(1-x^2{)}^5]}_0^1-{\int }_0^{1}2x(1-x^2{)}^{5}dx]$

$=0-0-12[0-0]+12{\int }_0^{1}2x(1-x^2{)}^{5}dx$

$=12\times {[-\frac{(1-x^2{)}^6}{6}]}_0^1$

$=12[0+{\displaystyle \frac{1}{6}}]$ = 2

स्पष्टीकरण -

दिया गया समीकरण:

$3f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1$ ..... (i)

x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:

$3f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=x+1$ ...... (ii)

अब, हमारे पास दो समीकरण हैं:

$3f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1$

$3f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=x+1$

मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b

समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:

3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 1

पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

9a + 3b = 3/x + 3

संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएँ:

9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)

⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1

⇒ 8a = 3/x - x + 2

⇒ a = $\frac{1}{8}(\frac{3}{x}-x+2)$

इसलिए: f(x) = $\frac{1}{8}(\frac{3}{x}-x+2)$

इस प्रकार, फलन f(x) = $\frac{3}{8x}-\frac{x}{8}+\frac{1}{4}$

अब, $8{\int }_1^{2}f(x)dx$

= $8{\int }_1^2[\frac{3}{8x}-\frac{x}{8}+\frac{1}{4}]dx$

= $8[\frac{3}{8}ln(x)-\frac{x^2}{16}+\frac{x}{4}{]}_1^2$

= $[3ln(x)-\frac{x^2}{2}+2x{]}_1^2$

= $[3ln(2)-\frac{4}{2}+4]-[-\frac{1}{2}+2]$

= $[3ln(2)+2]-\frac{3}{2}$

= $3ln(2)+\frac{1}{2}$

= $3ln(2)+\frac{1}{2}lne$

= ln 8 + ln√e

= ln 8√e

अतः, विकल्प (1) सही है।

स्पष्टीकरण -

दिया गया समीकरण:

$3f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1$ ..... (i)

x के स्थान पर 1/x प्रतिस्थापित करते हैं:

$3f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=x+1$ ...... (ii)

अब हमारे पास दो समीकरण हैं:

$3f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1$

$3f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=x+1$

मान लीजिए: f(x) = a और f(1/x) = b

समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:

3a + b = 1/x + 1
3b + a = x + 11

पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

9a + 3b = 3/x + 3

संशोधित प्रथम समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं:

9a + 3b - (3b + a) = 3/x + 3 - (x + 1)

⇒ 8a = 3/x + 3 - x - 1

⇒ 8a = 3/x - x + 2

⇒ a = $\frac{1}{8}(\frac{3}{x}-x+2)$

इसलिए: f(x) = $\frac{1}{8}(\frac{3}{x}-x+2)$

इस प्रकार, फलन f(x) = $\frac{3}{8x}-\frac{x}{8}+\frac{1}{4}$

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;

⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx

जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I = ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$ है। 

खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

I $=\mathrm{x}{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-{\int }_0^1(\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=[\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{]}_0^1-{\int }_0^{1}1\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=[\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{]}_0^1-[{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{]}_0^1$

= (e - 0) - (e - 1)

= 1

अवधारणा:

मापांक फलन:

एक मापांक फलन एक ऐसा फलन होता है, जो किसी संख्या या चर का निरपेक्ष मान देता है।

$f(x)=|x|=\{\begin{array}{c}xifx\ge 0\\ -xifx<0\end{array}$

प्रयुक्त सूत्र:

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$

गणना:

हमारे पास है,

⇒ I = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}|1-x|dx$

⇒ 1 < x ≤ 2 के लिए 1 - x < 0 और 0 < x ≤ 1 के लिए  1 - x ≥ 0 है।

⇒ I = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-x)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}(1-x)dx$

⇒ I = ${[x-\frac{x^2}{2}]}_0^1-{[x-\frac{x^2}{2}]}_1^2$

⇒ I = $[1-\frac{1}{2}-0]$ - $[2-\frac{2^2}{2}-1+\frac{1}{2}]$

⇒ I = $\left(\frac{1}{2}\right)-(0-\frac{1}{2})$

⇒ I = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

⇒ I = 1

∴  $\underset{0}{\overset{2}{\int }}|1-x|dx$ का अभीष्ट मान 1 है। 

संकल्पना:

खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है।

• खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न है,
• ∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx

जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम: विशेष रूप से इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणित, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलन पर आधारित है। 

गणना:

माना कि  I = ${\int }_0^{\pi }{x}^3\sin xdx$ है। 

खंडश: नियम को लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$={\mathrm{x}}^3{\int }_0^{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}-{\int }_0^{\pi }3{\mathrm{x}}^2(-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=[{\mathrm{x}}^3(-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}){]}_0^{\pi }+3[{\mathrm{x}}^2{\int }_0^{\pi }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}-{\int }_0^{\pi }2\mathrm{x}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}{]}_0^{\pi }$

$={\pi }^3+0-6{\int }_0^{\pi }\mathrm{x}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

$={\pi }^3-6[\mathrm{x}{\int }_0^{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}-{\int }_0^{\pi }(-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}]$

$={\pi }^3-6[\pi -0]$

= π3 - 6π

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकलन ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न दिया गया है;

 $\Rightarrow \int \mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{u}\int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$, जहाँ u फलन u(x) है और v फलन v(x) है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम प्रतिलोम, लघुगणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I = ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{x}{\tan }^{-1}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}$ है। 

खंडश: नियम लागू करने पर,$=[{\tan }^{-1}\mathrm{x}\cdot {\displaystyle \int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}{]}_0^1-{\displaystyle {\int }_0^1\left\{\frac{\mathrm{d}\left({\tan }^{-1}\mathrm{x}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\cdot {\displaystyle \int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}\right\}\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

$=[{\tan }^{-1}\mathrm{x}\cdot \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{]}_0^1-{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}\cdot \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=[{\tan }^{-1}\mathrm{x}\cdot \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{]}_0^1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1+{\mathrm{x}}^2-1}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=[{\tan }^{-1}\mathrm{x}\cdot \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{]}_0^1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1[1-\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}]\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=[{\tan }^{-1}\mathrm{x}\cdot \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{]}_0^1-\frac{1}{2}[\mathrm{x}-{\tan }^{-1}\mathrm{x}{]}_0^1$

$$\begin{gathered} =[{\tan }^{-1}1\cdot \frac{1^2}{2}]-\frac{1}{2}[1-{\tan }^{-1}1] \\ ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}} \end{gathered}$$

= ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

संकल्पना:

खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलो का समकाल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के सूत्र को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;

 $\Rightarrow \int \mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{u}\int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\int \mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

जहाँ u फलन u(x) और v फलन v(x) है। 

ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

सर्वप्रथम हम सीमा के बिना समाकलन की गणना करेंगे। 

माना कि हम ${\cot }^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{u}$ लेते हैं। 

दोनों पक्षों पर u का अवकलन करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है $-{\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{u}$ .

इसलिए, हम दिए गए फलन का समाकलन निम्न रूप में करते हैं:

$$\begin{gathered} \int \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{x}{\cot }^{-1}\mathrm{x}+\int {\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x} \\ =\mathrm{x}{\cot }^{-1}\mathrm{x}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (1+{\mathrm{x}}^2)+\mathrm{C} \end{gathered}$$

अब चूँकि दिया गया समाकलन निश्चित है, इसलिए हम समाकलन के स्थिरांक को हटाएंगे और सीमा को रखेंगे। $\begin{array}{rl}{\int }_{-3}^3{\cot }^{-1}x& ={[x{\cot }^{-1}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (1+x^2)]}_{-3}^3\\ & =[3{\cot }^{-1}3+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (10)]-[-3{\cot }^{-1}(-3)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (10)]\\ & =3({\cot }^{-1}(3)+{\cot }^{-1}(-3))\\ & =3({\cot }^{-1}(3)+\pi -{\cot }^{-1}(3))\\ & =3\pi \end{array}$

अतः ${\displaystyle {\int }_{-3}^3{\cot }^{-1}xdx=3\pi }$.

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|.

= {x² - x - 2; x ∈ (-∞ -1) ∪ (2,∞ ) - (x² - x - 2); x ∈ [-1, 2]

माना I = - ${\int }_0^2(x^2–x–2)dx$

= - $[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x{]}_2^0$

= $-[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}+4]+0=\frac{10}{3}$

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

f(x) =|x² - x - 2|

= {x²- x - 2; x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

- (x2 -x -2 ; x ∈[ -1,2]

माना I = ${\int }_1^{3}f(x)dx$

= $-{\int }_1^2(x^2-x-2)dx+{\int }_2^3(x^2-x-2)dx$

= $-[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x{]}_1^2+[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x{]}_2^3$

= $[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4]-[[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-2]+[\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-6]-[\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4]$

= $\frac{20}{6}-\frac{13}{6}-\frac{9}{6}+\frac{20}{6}$ = 3

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

संकल्पना:

1. खंडश:समाकलन: खंडश:समाकलन गुणनफलों का समाकल ज्ञात करने की एक विधि है। 

खंडश:समाकलन के लिए सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है;

⇒ ∫ uv dx = u(x) ∫ v(x) dx - ∫ [u'(x) ∫ v(x) dx] dx

जहाँ u, u(x) का फलन है और v, v(x) का फलन है। 

2. ILATE नियम: सामान्यतौर पर इस नियम का वरीयता क्रम व्युत्क्रम, लघुगुणक, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांक जैसे कुछ फलनों पर आधारित होता है। 

गणना:

माना कि I = ${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$ है। 

खंडश:समाकलन नियम लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

I $=\mathrm{x}{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-{\int }_0^1(\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=[\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{]}_0^1-{\int }_0^{1}1\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=[\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{]}_0^1-[{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{]}_0^1$

= (e - 0) - (e - 1)

= 1

संकल्पना:

भागों द्वारा समाकलन:

∫ u v dx = u ∫ v dx − ∫ u' (∫ v dx) dx

u फलन u(x) है 

v फलन v(x) है 

u' फलन  u(x) का अवकलज है

हल:

${\displaystyle {\int }_1^2}$ log_e x .1 dx = log_e x . ${\displaystyle \int }$ 1 dx − ${\displaystyle \int }$ ($\frac{1}{x}$​. ${\displaystyle \int }$ 1dx) dx
⇒ [(log_e x) x]²₁ − ${\displaystyle {\int }_1^2}$($\frac{1}{x}$​) x dx

⇒ [x . log_e x − x]²₁

⇒ (2log_e 2 - 2) - (log_e 1 - 1)

⇒ log_e 4 - 1 

⇒ log_e 4 - log_e e

⇒ log_e(4/e)

∴ दिए गए समाकलन का मान loge(4/e) है