Distance from a Plane MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distance from a Plane - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

समतल का समीकरण है 

(x - 2y - z - 5) + b(x + y + 3z - 5) = 0 

$\left|\begin{array}{lll}1+b& -2+b& -1+3b\\ 1& 1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=0$

⇒ b = 12

∴ समतल 13x + 10y + 35z = 65

दिए गए बिंदु से समतल की दूरी = 9 

इसलिए, सही उत्तर 9 है। 

गणना:

सदिश $\overrightarrow{PQ}$ है:

$\overrightarrow{PQ}=(4-(-3),6-2,-2-3)=(7,4,-5)$

रेखा का दिक् सदिश $\overrightarrow{d}$ (3, 3, -1) है।

तिर्यक गुणनफल $\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{d}$ है:

$\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{d}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 7& 4& -5\\ 3& 3& -1\end{array}\right|=(11,-8,9)$

तिर्यक गुणनफल का परिमाण है:

$|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{d}|=\sqrt{{11}^2+(-8{)}^2+9^2}=\sqrt{266}$

दिक् सदिश $\overrightarrow{d}$ = (3, 3, -1) का परिमाण है:

$|\overrightarrow{d}|=\sqrt{3^2+3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{19}$

अब, दूरी d है:

$d=\frac{|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{d}|}{|\overrightarrow{d}|}=\frac{\sqrt{266}}{\sqrt{19}}=\sqrt{\frac{266}{19}}=\sqrt{14}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संप्रत्यय:

समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा और 3D में ज्यामिति:

• प्रतिच्छेदन रेखा दिशा: दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा उनके अभिलम्ब सदिशों के क्रॉस गुणन के समानांतर होती है।
• पैरामीट्रिक रेखा: किसी बिंदु से गुजरने वाली और किसी दिशा सदिश के समानांतर रेखा को पैरामीट्रिक रूप में लिखा जाता है।
• लम्ब का पाद: किसी बिंदु से किसी समतल पर लम्ब का पाद उस बिंदु से गुजरने वाली और समतल के लम्बवत रेखा पर स्थित होता है।
• बिंदुओं के बीच की दूरी: दो बिंदु A(x₁, y₁, z₁) और B(x₂, y₂, z₂) दी गई हैं, दूरी √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) है।
• सदिशों के बीच कोण: दो सदिशों A और B के बीच न्यून कोण θ cosθ = (A · B) / (|A||B|) द्वारा दिया जाता है।
• 3D में त्रिभुज का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = ½ x |PQ| x |QR| x sinθ

गणना:

दिया गया है,

समतल 1: 2x + 3y + z = 4

समतल 2: x + 2y + z = 5

अभिलम्ब सदिश: n₁ = 2i + 3j + k, n₂ = i + 2j + k

⇒ रेखा L₁ की दिशा = n₁ x n₂

| i j k |
2 3 1
1 2 1

⇒ i(3x1 − 1x2) − j(2x1 − 1x1) + k(2x2 − 3x1)

⇒ i(1) − j(1) + k(1) = i − j + k

⇒ दिशा सदिश = (1, −1, 1)

बिंदु P = (2, −1, 3)

⇒ L₂ का समीकरण: (x−2)/1 = (y+1)/−1 = (z−3)/1 = α

समतल M: 2x + y − 2z = 6

मान लीजिये कि Q = (2+α, −1−α, 3+α) समतल M पर स्थित है

⇒ 2(2+α) + (−1−α) − 2(3+α) = 6

⇒ 4 + 2α −1 − α −6 − 2α = 6

⇒ −α = 9 ⇒ α = −9

⇒ Q = (−7, 8, −6)

⇒ PQ = Q − P = (−9, 9, −9)

⇒ |PQ| = √(81 + 81 + 81) = √243 = 9√3

लम्ब का पाद R, P से समतल M तक ज्ञात करने के लिए:

लम्बवत रेखा के दिशा अनुपात = समतल का अभिलम्ब = (2, 1, −2)

मान लीजिये रेखा: (x−2)/2 = (y+1)/1 = (z−3)/−2 = t

⇒ x = 2 + 2t, y = −1 + t, z = 3 − 2t

समतल में प्रतिस्थापित करें: 2x + y − 2z = 6

⇒ 2(2 + 2t) + (−1 + t) − 2(3 − 2t) = 6

⇒ 4 + 4t − 1 + t − 6 + 4t = 6

⇒ 7t = 9 ⇒ t = 1

⇒ R = (4, 0, 1)

QR = Q − R = (−7−4, 8−0, −6−1) = (−11, 8, −7)

⇒ |QR| = √(121 + 64 + 49) = √234

PR = P − R = (2−4, −1−0, 3−1) = (−2, −1, 2)

⇒ |PR| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

क्षेत्रफल(ΔPQR) = ½ x |PQ| x |QR| x sinθ

⇒ क्षेत्रफल = ½ x 9√3 x √234 x 1/(3√3) = (3/2)√234

PQ और PR के बीच कोण ज्ञात करने के लिए:

⇒ cosθ = (−9x−2 + 9x−1 + (−9)x2) / (|PQ||PR|)

⇒ cosθ = (18 − 9 − 18) / (9√3 x 3)

⇒ cosθ = −9 / 27√3 = −1 / 3√3

न्यून कोण ⇒ cos⁻¹(1 / 2√3)

∴ सही विकल्प 1 और 3 हैं

गणना

दिया गया है: समतलों के समीकरण $2x+y+2z=8$ और $4x+2y+4z+5=0$,

$\Rightarrow 4x+2y+4z=16$ और $4x+2y+4z=-5$

$d_{min}={\displaystyle \frac{16-(-5)}{\sqrt{4^2+2^2+4^2}}}={\displaystyle \frac{21}{\sqrt{36}}}={\displaystyle \frac{21}{6}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना:

माना समतल का समीकरण $ax+by+cz=d$ है।

तब बिंदु $(1,2,2)$ समतल पर स्थित है।

इसलिए, $a+2b+2c=d$ .......(1)

चूँकि समतल दिए गए दो समतलों के लंबवत है, इसलिए समतल के लंब के दिक् अनुपात और दिए गए दो समतलों के लंब के दिक् अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।

इसलिए,

⇒ $a-b+2c=0$ ....... (2)

और $2a-2b+c=0$ ........(3)

समीकरण (1) और समीकरण (2) से, हमें प्राप्त होता है,

⇒ $3b=d$,

इसी प्रकार,

ऊपर के 3 समीकरणों को हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ $c=0$ और $a=b$ और $d=3a$

$a$ के पदों में $b,c$ और $d$ के मान रखने पर समतल का समीकरण प्राप्त होता है

⇒ $x+y=3$

इसलिए $d={\displaystyle \frac{|1-2-3|}{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$

अतः विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

दो लंबवत रेखाओं का बिंदु गुणनफल शून्य है।

दो बिंदुओं (x₁, y_1, z₁) और (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है, ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}-0}{1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{y}-0}{0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{z}-0}{0}}=\mathrm{k}$

गणना:

माना कि M बिंदु P (2, 3, 4) से खींचे हुए लंब का पाद है

माना कि ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}-0}{1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{y}-0}{0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{z}-0}{0}}=\mathrm{k}$

x = k, y = 0, z = 0

तो M = (k, 0, 0)

अब PM के दिशा अनुपात = (2 - k, 3 - 0, 4 - 0) = (2- k, 3, 4) और दी गई रेखा के दिशा अनुपात 1, 0, 0 हैं।

PM दी गई रेखा के लंबवत है,

(2 - k) (1) + 3(0) + 4 (0) = 0

∴ k = 2

M = (2, 0, 0)

लम्बवत दूरी PM =

$$\begin{gathered} \sqrt{(2-2{)}^2+(0-3{)}^2+(0-4{)}^2} \\ =\sqrt{9+16} \\ =5 \end{gathered}$$

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

दो समानांतर समतलों ax + by + cz +d1 = 0 और ax + by + cz +d2 = 0 के बीच की दूरी $D=\left|\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$ द्वारा दी गई है

गणना:

दिया गया है कि: 2x + y - 2z + 6 = 0 और 4x + 2y - 4z - 6 = 0 दो समतल हैं।

यहां, हम समतल 2x + y - 2z + 6 = 0 के समीकरण को 2 के साथ 2x + y - 2z + 6 = 0 के दोनों पक्षों से गुणा द्वारा 4x + 2y - 4z + 12 = 0 के रूप में लिख सकते हैं।

जैसा कि हम देख सकते हैं कि, समतल 4x + 2y - 4z + 12 = 0 और 4x + 2y - 4z - 6 = 0 समांतर समतल हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है: $D=\left|\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

यहां, a = 4, b = 2, c = - 4, d1 = 12 और d2 = - 6

⇒ $D=\left|\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

⇒ $D=\left|\frac{12-(-6)}{\sqrt{4^2+2^2+(-4{)}^2}}\right|$

⇒ $D=\left|\frac{18}{\sqrt{16+4+16}}\right|$

⇒ $D=\left|\frac{18}{6}\right|=3$

इसलिए, विकल्प 4 सही है।

धारणा:

दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है: $\left|\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

गणना :

यहां, हमें समतलों 2x - 3y + 6z - 5 = 0 और 6x - 9y + 18z + 20 = 0 के बीच के दूरी को ढूंढना है।

समतल 6x - 9y + 18z + 20 = 0 को 2x - 3y + 6z + 20/3 = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

तो, समतल 2x - 3y + 6z - 5 = 0 और 2x - 3y + 6z + 20/3 = 0 समानांतर हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है:$\left|\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

यहाँ, d1 = - 5, d2 = 20/3, a = 2, b = - 3 और c = 6

तो, दिए गए समानांतर समतलों के बीच की दूरी $\left|\frac{-5-\frac{20}{3}}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+6^2}}\right|=\frac{5}{3}units$ है

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

संकल्पना:

किसी समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

माना कि हम कार्तीय समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल और उस बिंदु को लेते हैं, जिसका निर्देशांक (x1, y1, z1) है। 

अब, बिंदु और समतल के बीच की दूरी = $\left|\frac{A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1-d}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$

गणना:

हमें समतल x + 2y - 2z - 9 = 0 से बिंदु (2, 3, -5) की दूरी ज्ञात करनी होगी

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदु और समतल के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$\left|\frac{A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1-d}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$

यहाँ, A = 1, B = 2, C = -2, d = 9, x1 = 2, y1 = 3 और z1 = - 5

तो, दिए गए समतल से दिए गए बिंदु की दूरी $=\left|\frac{2\times 1+2\times 3+2\times 5-9}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(2\right)}^2}}\right|$

$=\left|\frac{9}{\sqrt{9}}\right|=3$

तो, समतल और बिंदु के बीच की दूरी 3 इकाइयां है

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

अवधारणा :

दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है: $\left|\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

गणना :

यहाँ, हमें समांतर समतलों x + y - z + 4 = 0 और x + y - z + 5 = 0 के बीच दूरी का पता लगाना है

जैसा कि हम जानते हैं कि, दो समानांतर समतलों ax + by + cz + d1 = 0 और ax + by + cz + d2 = 0 के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है: $\left|\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

यहाँ, d1 = 4, d2 = 5, a = 1, b = 1 और c = - 1

तो, दिए गए समानांतर समतलों के बीच की दूरी $\left|\frac{4-5}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}units$

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

तल ax + by + cz + d = 0 से बिंदु (p, q, r) की दूरी

D = $\left|\frac{\mathrm{a}\mathrm{p}+\mathrm{b}\mathrm{q}+\mathrm{c}\mathrm{r}+\mathrm{d}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}}\right|$ है।

गणना:

तल का दिया गया समीकरण निम्न है

2x - 3y + 6z - 42 = 0

केंद्र (0, 0, 0) से तल की दूरी

D = $\left|\frac{2\times 0-3\times 0+6\times 0-42}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+6^2}}\right|$

D = $\left|\frac{-42}{\sqrt{4+9+36}}\right|$ = $\left|\frac{-42}{7}\right|$

D = 6

संकल्पना:

अंतःखंड a, b और c वाले एक तल के लिए तल के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}}=1$

तल ax + by + cz + d = 0 से बिंदु (p, q, r) की दूरी

D = $\left|\frac{\mathrm{a}\mathrm{p}+\mathrm{b}\mathrm{q}+\mathrm{c}\mathrm{r}+\mathrm{d}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}}\right|$

गणना:

दिए गए अंतःखंड 3, 4 और -1 हैं। 

तल का समीकरण निम्न है

$\frac{\mathrm{x}}{3}+\frac{\mathrm{y}}{4}+\frac{\mathrm{z}}{-1}=1$

4x + 3y - 12z - 12 = 0

मूल (0, 0, 0) से तल की दूरी 

D = $\left|\frac{4\times 0+3\times 0-12\times 0-12}{\sqrt{4^2+3^2+(-12{)}^2}}\right|$

D = $\left|\frac{-12}{\sqrt{9+16+144}}\right|$ = $\text{boldsymbol}\frac{12}{13}$

संकल्पना:

दो समानांतर तल ax + by + cz + d₁ = 0 और ax + by + cz + d₂ = 0 के बीच की दूरी $|\frac{{\mathrm{d}}_1-{\mathrm{d}}_2}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}}|$ है। 

गणना:

यहाँ, 3x + y + 3z = 8 और 9x + 3y + 9z = 15 

 9x + 3y + 9z = 15 को 3 से विभाजित करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

अब, 3x + y + 3z = 8 और 3x + y + 3z = 5 के बीच की दूरी 

$$\begin{gathered} =|\frac{8-5}{\sqrt{3^2+1^2+3^2}}| \\ =\frac{3}{\sqrt{19}} \end{gathered}$$

अतः विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

समतल ax + by + cz + d = 0 से मूल (0, 0, 0) की दूरी इसके द्वारा दी जाती है: $\left|\frac{(\mathrm{a})(0)+(\mathrm{b})(0)+(\mathrm{c})(0)+\mathrm{d}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}}\right|$

गणना:

हम जानते हैं कि समतल ax + by + cz + d = 0 से मूल (0, 0, 0) की दूरी इसके द्वारा दी जाती है: $\left|\frac{(\mathrm{a})(0)+(\mathrm{b})(0)+(\mathrm{c})(0)+\mathrm{d}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}}\right|$

⇒ समतल 2x + 6y - 3z + 7 = 0 से मूल की दूरी

$=|\frac{(2)(0)+(6)(0)+(-3)(0)+7}{\sqrt{2^2+6^2+(-3{)}^2}}|$

$=|\frac{7}{\sqrt{49}}|$

= 1

इसलिए, समतल 2x + 6y - 3z + 7 = 0 से मूल की दूरी 1 है।

धारणा:

एक समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

हम कार्टेशियन समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल और एक बिंदु जिसका निर्देशांक p (x1, y1, z1) है पर विचार करें

अब दूरी = $\left|\frac{\mathrm{A}{\mathrm{x}}_1+\mathrm{B}{\mathrm{y}}_1+\mathrm{C}{\mathrm{z}}_1-\mathrm{d}}{\sqrt{{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2+{\mathrm{C}}^2}}\right|$

गणना:

हम जानते हैं कि लंब हमेशा समतल के लंबवत होता है,

दिया हुआ: समतल का समीकरण x + 2y - 2z = 9 है

⇒ x + 2y – 2z - 9 = 0

अब हमें मूल (0, 0, 0) से दूरी का पता लगाना होगा

हम जानते हैं कि दूरी = $\left|\frac{\mathrm{A}{\mathrm{x}}_1+\mathrm{B}{\mathrm{y}}_1+\mathrm{C}{\mathrm{z}}_1-\mathrm{d}}{\sqrt{{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2+{\mathrm{C}}^2}}\right|$

∴ दूरी = $\left|\frac{0+0-0-9}{\sqrt{1^2+2^2+{(-2)}^2}}\right|=\frac{9}{3}=3$