Differentiation of Implicit Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differentiation of Implicit Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया,

\( (x + y)^{p+q} = x^p\,y^q \) और \( p + q = 10 \) 

\(x\) के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करत हैं:

\(\frac{d}{dx}\bigl((x+y)^{p+q}\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(x^p y^q\bigr) \)

बायाँ पक्ष :

\((p+q)\,(x+y)^{p+q-1}\bigl(1 + \tfrac{dy}{dx}\bigr) \)

दायाँ पक्ष (गुणन नियम):

\(p\,x^{p-1}y^q \;+\; q\,x^p y^{q-1}\,\tfrac{dy}{dx} \)

\( \tfrac{dy}{dx} \) शब्दों को एकत्र करने और उपयोग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं

\( (x+y)^{p+q} = x^p y^q \implies (x+y)^{p+q-1} = \tfrac{x^p y^q}{x+y} \)

सामान्य कारक \( p\,y - q\,x \) को रद्द करने के बाद, आपको प्राप्त होता है:

∴ \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

\((x+y)^{p+q} = x^p\,y^q\)

\(x\) के संबंध में अंतर्निहित रूप से अवकलन करते हैं:

\((p+q)(x+y)^{p+q-1}\bigl(1+\tfrac{dy}{dx}\bigr) = p\,x^{p-1}y^q \;+\; q\,x^p\,y^{q-1}\tfrac{dy}{dx}\)

\(\tfrac{dy}{dx}\) एकत्रित करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

\(\tfrac{dy}{dx}\bigl[(p+q)(x+y)^{p+q-1} - q\,x^p\,y^{q-1}\bigr] = p\,x^{p-1}y^q - (p+q)(x+y)^{p+q-1}\)

सरलीकरण के लिए \((x+y)^{p+q-1}=\frac{x^p\,y^q}{x+y}\) प्रयोग करते हैं:

\(\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{y}{x}\)

∴ \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\) , \(p\) और \(q\) से स्वतंत्र है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

• \(\rm \frac{d}{dx}a^x=a^x\log a\)

गणना:

दिया गया है, 2x + 2y = 2x+y

हम जानते हैं कि 2a+b = 2a⋅ 2b

⇒ 2x + 2y = 2x ⋅ 2y

⇒ \(\rm \frac{2^x+2^y}{2^x\cdot2^y}=1\)

⇒ 2-y + 2-x = 1  ..(1)

x के सापेक्ष उपरोक्त समीकरण को अवकलित करने पर:

⇒ (-2- y\(\rm\frac{dy}{dx}\) - 2- x) log 2 = 0

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx}=-\frac{2^{-x}}{2^{-y}}\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx}=-\frac{1-2^{-y}}{2^{-y}}\)

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx}\) = - 2y + 1

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx}\) = 1 - 2y

 \(\rm \frac{dy}{dx}\) का अभीष्ट मान 1 - 2y है।

संकल्पना:

xe = e\((\rm x^2+y^2)\) 

दोनों पक्षों पर log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ log xe = log e\(\rm x^2+y^2\) 

⇒ e log x = (x² + y²) log e             

[∵ log mⁿ = n log m]

⇒ e log x = x2 + y2                       

[∵ log e = 1]

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ e(\(\rm 1\over x\)) = \(\rm 2x + 2y{dy\over dx}\)

⇒ \(\rm {e\over x}- 2x = 2y{dy\over dx}\)

∴ \(\rm {dy\over dx}={e- 2x^2\over2xy}\)

संकल्पना:

कलन विधि:

• \(\rm {d\over dx}\left(a^x\right)=a^x(\log a)\).

अवकलजों का श्रृंखला नियम:

• \(\rm \frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{d\ g(x)}f(g(x))\times \frac{d}{dx}g(x)\).

गणना:

दिया गया समीकरण निम्न है:

3x + 3y = 3x + y.

x के संबंध में अवकलन करके और अवकलजों के श्रृंखला नियम का प्रयोग करके, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ 3x (log 3) + 3y (log 3) \(\rm dy\over dx\) = 3x + y (log 3) (1 + \(\rm dy\over dx\))

⇒ 3x + 3y \(\rm dy\over dx\) = 3x + y + 3x + y \(\rm dy\over dx\)

⇒ \(\rm {dy\over dx}={3^{x+y}\ -\ 3^x\over3^y\ -\ 3^{x+y}}\)

गणना:

यहाँ,

\(\rm 2x^3-3y^2=7\)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm 6x^2-6y\frac{dy}{dx}=0\\ \Rightarrow \rm x^2-y\frac{dy}{dx}=0\\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\rm \frac{x^2}{y}\\\)

अतः विकल्प (3) सही है। 

गणना:

y + sin-1 (1 - x2) = ex 

y = e^x - sin^-1 (1 - x²)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm {dy\over dx} = e^x - {1\over\sqrt{1-(1-x^2)^2}}(-2x)\)

\(\rm {dy\over dx} = e^x + {2x\over\sqrt{1-(1-2x^2+x^4)}}\)

\(\rm {dy\over dx} = e^x + {2x\over\sqrt{2x^2-x^4}}\)

\(\boldsymbol{\rm {dy\over dx} = e^x + {2\over\sqrt{2-x^2}}}\)

संकल्पना:

\(\rm \frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \Rightarrow \frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0\)

\(\rm \Rightarrow \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2} \)

\(\rm \therefore \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y} \)

संकल्पना:

\(\rm \frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}\)

गणना:

दिया गया है:​ y2 = 4ax

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm \Rightarrow {2y}\frac{dy}{dx} = 4a\)

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{4a}{{2y}} \)

\(\rm \therefore \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} \)

दिया गया है

y= 3e^2x + 2e^3x

प्रयुक्त सूत्र

d(xⁿ)/dx = nx^n-1

हल

⇒dy/dx = 3e^2x(2) + 2e^3x(3)

⇒dy/dx = 6(e^2x + e^3x)

⇒d²y/dx² = 6(2e^2x+3e^3x)

जैसा कि प्रश्न में पूछा गया है,

⇒  \(\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}\) - 5 \(\frac{{dy}}{{dx}}\) + 6y =

⇒ 12e^2x + 18e^3x − 30e^2x − 30e^3x + 18e^2x + 12e^3x

⇒ 0

सही विकल्प 4 है। 

संकल्पना:

श्रृंखला नियम (प्रतिस्थापन द्वारा अवकलन): यदि y, u का फलन है और u, x का फलन है। 

• \(\rm {dy\over dx} = {dy\over du}× {du\over dx}\)

गणना:

दिया गया है y2 + x2 + 3x + 5 = 0

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

2y \(\rm dy\over dx\) + 2x +3(1) + 0 = 0

2y\(\rm dy\over dx\) + 2x + 3 = 0 

2y \(\rm dy\over dx\) = -(2x + 3)

\(\rm {dy\over dx} = -{2x+3\over2y}\)

अब (0, -3) पर

\(\rm {dy\over dx} = -{2(0)+3\over2(-3)}\)

\(\rm {dy\over dx} = -{3\over(-6)}\)

\(\rm {dy\over dx} = {1\over2}\) = 0.5

गणना:

दिया गया फलन y² = 2x है;

दोनों पक्षों पर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

2yy' = 2x ⇒ yy’ = 1   - (1)

⇒ y’ = 1/y;

दोनों पक्षों पर x के सापेक्ष फिर से (1) का अवकलन करने पर,

⇒ y . y” + y’. y’ = 0   - (2)

\(\Rightarrow y'' = - \frac{{{{\left( {y'} \right)}^2}}}{y} = - \frac{1}{{{y^3}}}\)

संकल्पना:

cos2x = 2cos²x - 1

sin2x = 2sin x cos x

गणना:

यहाँ, y = cos2 x2

माना कि, x² = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒2xdx = dt 

⇒ dt/dx = 2x ....(1)

y = cos²t

=\(\rm \frac{\cos2t+1}{2}=\frac{\cos2t}{2}+\frac{1}{2}\)

\(\rm \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\cos2t)\frac{dt}{dx}+0\\ = \frac{1}{2}(-2\sin2t)\frac{dt}{dx}\cdots (from \ (1))\)

= - sin2x² × 2x

= -4x cos x2 sin x2

अतः विकल्प (2) सही है।