Cube roots of Unity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Cube roots of Unity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

यदि ω इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है, तो हमारे पास निम्नलिखित गुण हैं:

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0 ⇒ ω² = -1 - ω

गणना:

दिया गया है कि (1 + ω - ω2)5

अब, व्यंजक (1 + ω - ω²) को सरल करने पर,

⇒ 1 + ω - (-1 - ω) = 1 + ω + 1 + ω = 2 + 2ω = 2(1 + ω)

अगला, हमें (1 + ω - ω²)⁵ की गणना करने की आवश्यकता है

(1 + ω - ω²)⁵ = (2(1 + ω))⁵

हम जानते हैं कि 1 + ω + ω² = 0,

इसलिए 1 + ω = -ω²

व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ $(2\cdot (-{\omega }^2){)}^5=(-2{\omega }^2{)}^5=((-2{)}^5\cdot ({\omega }^2{)}^5)=-32\cdot {\omega }^{10}$

चूँकि ${\omega }^3=1⟹{\omega }^9=1⟹{\omega }^{10}=\omega$

∴ -32ω¹⁰ = -32ω

∴ विकल्प 3 सही है। 

व्याख्या:

(1+ω +ω2)100+ (1-ω +ω2)100

= (– ω2 – ω2 )100 + (–ω – ω)100  {∵ 1 + ω  + ω2 = 0}

= 2100(ω200 + ω100)

= 2100(ω2 + ω)     (∵ ω3 = 1)

= –2100 

∴ विकल्प (d) सही है। 

a, b ∈ I, –3 ≤ a, b ≤ 3, a + b ≠ 0

|z – a| = |z + b|

$\left|\begin{array}{ccc}z+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & z+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& z+\omega \end{array}\right|=1$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}z& z& z\\ \omega & z+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& z+\omega \end{array}\right|=1$

$\Rightarrow z\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ \omega & z+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& z+\omega \end{array}\right|=1$

$\Rightarrow z\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \omega & z+{\omega }^2-\omega & 1-\omega \\ {\omega }^2& 1-{\omega }^2& z+\omega -{\omega }^2\end{array}\right|=1$

⇒ z³ = 1

⇒ z = ω , ω², 1

अब,

|1 - a| = |1 + b|

⇒ 10 pair

अवधारणा:

यदि ω इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है, तो हमारे पास निम्नलिखित गुण हैं:

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0 ⇒ ω² = -1 - ω

गणना:

दिया गया है कि (1 + ω - ω2)5

अब, व्यंजक (1 + ω - ω²) को सरल करने पर,

⇒ 1 + ω - (-1 - ω) = 1 + ω + 1 + ω = 2 + 2ω = 2(1 + ω)

अगला, हमें (1 + ω - ω²)⁵ की गणना करने की आवश्यकता है

(1 + ω - ω²)⁵ = (2(1 + ω))⁵

हम जानते हैं कि 1 + ω + ω² = 0,

इसलिए 1 + ω = -ω²

व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ $(2\cdot (-{\omega }^2){)}^5=(-2{\omega }^2{)}^5=((-2{)}^5\cdot ({\omega }^2{)}^5)=-32\cdot {\omega }^{10}$

चूँकि ${\omega }^3=1⟹{\omega }^9=1⟹{\omega }^{10}=\omega$

∴ -32ω¹⁰ = -32ω

∴ विकल्प 3 सही है। 

संकल्पना:

इकाई के घन मूल

इकाई के घनमूल 1, ω, ω2 द्वारा दिए गए हैं, जहां

ω = $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$, ω2 = $\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$

इकाई के सम्मिश्र घनमूल से जुड़े कुछ परिणाम (ω)

(i) ω3 = 1

(ii) 1 + ω + ω2 = 0

(iii) ω2 = $\frac{1}{\omega }$

(iv) ω̅  = ω2

गणना:

कथन I: मूल -2, 1 - 3ω, 1 - 3ω2 है

(z -1)3 = - 27

⇒ (z -1) = (- 27)1/3 

⇒ (z -1) = - 3 ⋅ (1)1/3 

⇒ z  =  - 3 ⋅ (1) 1/3  + 1

⇒ z  =  1 - 3 ⋅ (1) 1/3 

इकाई के घान मूल 1, ω, ω2 है

1 के लिए, z  =  1 - 3 ⋅ 1 ⇒ z  =  1 - 3 =  - 2

ω के लिए, z  =  1 - 3 ⋅ ω ⇒ z  =  1 - 3ω 

ω2 के लिए, z  =  1 - 3 ⋅ ω2 ⇒ z  =  1 - 3ω2 

कथन I सही है।

कथन II: मूलों का योग 0 है

समीकरण (z -1)3 + 27 = 0 के मूल - 2, 1 - 3ω, 1 - 3ω2 है

मूलों का योग = (- 2) + (1 - 3ω) + (1 - 3ω2) 

 = - 3ω - 3ω2 ⇒ - 3(ω + ω2) = -3(-1) = 3

कथन II गलत है।

कथन III: मूलों का गुणनफल 1 है

मूलों का गुणनफल = (-2) (1 - 3ω)(1 - 3ω2)

 = (-2) (1 - 3ω2 - 3ω + 9ω3)

 = (-2)(10 - 3(ω2 + ω))

 = (-2)(10 + 3)

 = -26

कथन III सही है।

∴ I और III सही हैं।

संकल्पना:

एकल के घनमूल 1, ω और ω2 हैं। 

यहाँ, ω = $\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ और ω2 = $\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$

एकल के घनमूल का गुण

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω3n = 1

गणना:

ω6 +  ω7 + ω⁵

= ω⁵ (ω + ω² + 1)

= ω⁵ × (1 + ω + ω2)

= ω5 × 0

= 0

धारणा:

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω = $\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ और ω² = $\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$

एकता के घन मूलों का गुण

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = 1 / ω ² और ω² = 1 / ω
• ω³ⁿ = 1

गणना:

हमें ω3n + ω3n+1 + ω3n+2 का मूल्य खोजना होगा

⇒ ω3n + ω3n+1 + ω³ⁿ⁺² 

= ω3n (1 + ω + ω²)           (∵ 1 + ω + ω2 = 0)

= 1 × 0 = 0

अवधारणा 

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ ω = $\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और ω2 = $\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

एकत्व के घन मूलों के गुण:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना:

दिया गया है,

(x - 1)3 + 8 = 0

⇒ (x - 1)3 = (-2)3

⇒ (x - 1) = -2(1)1/3

(x - 1) = -2(1, ω,  ω2)

⇒ x = -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω2 

संकल्पना:

एकल का घनमूल 1, ω और ω² हैं। 

यहाँ, ω = $\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ और ω² = $\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$

एकल के घनमूल का गुण 

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = 1 / ω ² और ω² = 1 / ω
• ω³ⁿ = 1

गणना:

हमें ω¹⁰⁰ + ω²⁰⁰ + ω³⁰⁰ का मान ज्ञात करना है। 

⇒ ω¹⁰⁰ + ω²⁰⁰ + ω³⁰⁰

= ω⁹⁹ ω + ω¹⁹⁸ ω² + (ω³)¹⁰⁰

= (ω³)³³ ω + (ω³)⁶⁶ ω² + 1     (∵ ω³ = 1)

= ω + ω² + 1

= 0                       (∵ 1 + ω + ω² = 0)

संकल्पना:

एकल का घनमूल 1, ω और ω²  हैं। 

यहाँ, ω = $\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$  और ω² = $\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$

एकल के घनमूल का गुण

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = 1 / ω ² और ω² = 1 / ωयोग
• ω³ⁿ = 1

गणना:

हमें $\sqrt{\frac{1+{\omega }^2}{1+\omega }}$का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि 1 + ω + ω² = 0

⇒ 1 + ω² = - ω और 1 + ω = - ω²

अब, 

$\sqrt{\frac{1+{\omega }^2}{1+\omega }}=\sqrt{\frac{-\omega }{-{\omega }^2}}=\sqrt{\frac{1}{\omega }\times \frac{{\omega }^2}{{\omega }^2}}=\sqrt{\frac{{\omega }^2}{{\omega }^3}}=\sqrt{{\omega }^2}=\omega$

अवधारणा:

एकता के घनमूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω = $\frac{(-1+\mathrm{i}\surd 3)}{2}$ और ω² = $\frac{(-1-\mathrm{i}\surd 3)}{2}$

एकता के घनमूलों के कुछ गुण

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0

गणना:

दिया गया व्यंजक ( -1 + i√3 )48 है

चूंकि, = $\frac{(-1+\mathrm{i}\surd 3)}{2}$

∴ 2ω = -1 + i√3 

∴ (2ω)48 = (-1 + i√3 )48 

∴ (-1 + i√3 )48 = 248(ω3)16

∴ (-1 + i√3 )48 = 248 चूँकि ω3 = 1

अवधारणा:

1 + ω + ω2 = 0

 ω3 = 1

गणना:

 (1 - ω + ω2)2 + (1 - ω2 + ω)2

⇒ {(1 + ω2) - ω}2 + {(1+ ω) - ω2}2

⇒ (- ω - ω)2 + (-ω2 - ω2 )2 ,क्योंकि 1 + ω + ω2 = 0 

⇒ 4ω2 + 4ω4

⇒ 4(ω2 + ω) क्योंकि, ω3 = 1

⇒ - 4

अवधारणा 

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ ω = $\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और ω2 = $\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

एकत्व के घन मूलों के गुण

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना:

दिया हुआ: α, β, γ घन मूल हैं

Let z3 = p (p < 0)

Let p  = - q where q > 0

⇒  z3 = -q 

So, the roots of the above equation will be, 

Assume α = q, β = qω, γ = qω2

(Because the magnitude of each root will be q)

अब

$\frac{\mathrm{x}\alpha +\mathrm{y}\beta +\mathrm{z}\gamma }{\mathrm{x}\beta +\mathrm{y}\gamma +\mathrm{z}\alpha }$

$=\frac{\mathrm{p}(\mathrm{x}+\mathrm{y}\omega +\mathrm{z}{\omega }^2)}{\mathrm{p}(\mathrm{x}\omega +\mathrm{y}{\omega }^2+\mathrm{z})}$

$=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}\omega +\mathrm{z}{\omega }^2}{\mathrm{x}\omega +\mathrm{y}{\omega }^2+\mathrm{z}}\times \frac{\omega }{\omega }$

$=\frac{1}{\omega }\times \frac{\mathrm{x}\omega +\mathrm{y}{\omega }^2+\mathrm{z}{\omega }^3}{\mathrm{x}\omega +\mathrm{y}{\omega }^2+\mathrm{z}}$

$=\frac{1}{\omega }\times \frac{\mathrm{x}\omega +\mathrm{y}{\omega }^2+\mathrm{z}}{\mathrm{x}\omega +\mathrm{y}{\omega }^2+\mathrm{z}}$            (∵ ω³ = 1)

$$\begin{gathered} =\frac{1}{\omega } \\ ={\omega }^2 \end{gathered}$$

$=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

सबसे पहले हमें यह नहीं सोचना चाहिए कि 4 मूलों के कारण बहुपद की डिग्री 4 होगी।

हमें याद रखना चाहिए कि सम्मिश्र मूल हमेशा युग्म में होते हैं।

अब,

$\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$

$=-\frac{1}{2}+\frac{\surd 3}{2}i$

${\omega }^2=\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}$

$=-\frac{1}{2}-\frac{\surd 3}{2}i$

अब, दिए गए युग्म मूलों का मान ज्ञात करने के लिए,

1) 2ω2 = -1 - √3 i

∴ -1 + √3i भी एक मूल होगा।

2) 3 + 4ω = 3 - 2 + 2√3i

= 1 + 2√3i

∴ 1 - 2√3i भी एक मूल होगा।

3) 3 + 4ω2 = 3 - 2 - 2√3i

= 1 - 2√3i

अर्थात, 3 + 4ω और 3 + 4ω² संयुग्मी युग्म हैं।

$4)5-\omega -{\omega }^2=5+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

= 6

यानी 6 एक मूल है।

कुल मिलाकर हमारे पास 5 जड़ें हैं।

बहुपद की न्यूनतम डिग्री 5 है।

संकल्पना:

• ω = $\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ और ω² = $\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ जहाँ ω एकल का घन मूल है। 
• ${\omega }^{3\mathrm{k}}=1,{\omega }^{\left(3\mathrm{k}+1\right)}=\omega \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\omega }^{\left(3\mathrm{k}+2\right)}={\omega }^2$
• $1+\omega +{\omega }^2=0$

गणना:

दिया गया है, 

${\left(\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}+{\left(\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}$ जहाँ n, 3 का गुणज नहीं है। 

$\Rightarrow {\omega }^{\mathrm{n}}+{\omega }^{2\mathrm{n}}\left[\omega =\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3,}}{2},{\omega }^2=\frac{-1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\right]$

यहाँ n, 3 का गुणज नहीं है इसलिए

n = 3k + 1 रखने पर, जहाँ k पूर्णांक है, k =1, 2, 3 …..

$\Rightarrow {\omega }^{3\mathrm{k}+1}+{\omega }^{6\mathrm{k}+2}$

$\Rightarrow {\omega }^{3\mathrm{k}}.{\omega }^1+{\omega }^{6\mathrm{k}}.{\omega }^2\left[{\because \omega }^{3\mathrm{k}}=1\right]$

$\Rightarrow \omega +{\omega }^2\left[\because 1+\omega +{\omega }^2=0\right]$