Continuity of a function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Continuity of a function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है: $f(x)={\displaystyle \frac{x-|x|}{x}}$

गणना:

⇒ $f(x)={\displaystyle \frac{x-|x|}{x}}$

x = 2 के मान के लिए

फलन f(2)= ${\displaystyle \frac{2-|2|}{2}}$ = 0

x = 0 के मान के लिए; f(0) = ${\displaystyle \frac{0-|0|}{0}}$ = असंभव मूल्य

x = -2 के मान के लिए; f(-2) = ${\displaystyle \frac{-2-|-2|}{-2}}$ = 2

इसलिए, x = 0 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए फलन का कुछ निश्चित हल है।

अवधारणा:

x = a पर फलन  f(x) संतत है, यदि $\underset{x\to a^{-}}{lim}$ f(x) = $\underset{x\to a^{+}}{lim}$f(x) = f(a).

गणना:

दिया है: f(x) = $\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{x}+1,\text{ if }\mathrm{x}\le \frac{\pi }{2}\\ \sin \mathrm{x}+\mathrm{n},\text{ if }\mathrm{x}>\frac{\pi }{2}\end{array}$

f($\frac{\pi }{2}$) = m × $\frac{\pi }{2}$ + 1

बाएँ पक्ष की सीमा = $\underset{h\to 0}{lim}f(\frac{\pi }{2}-h)$

$=\underset{h\to 0}{lim}m\times (\frac{\pi }{2}-h)+1$

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

बाएँ पक्ष की सीमा = m × $\frac{\pi }{2}$ + 1

दाएँ पक्ष की सीमा = $\underset{h\to 0}{lim}f(\frac{\pi }{2}+h)$

$=\underset{h\to 0}{lim}\sin (\frac{\pi }{2}+h)+n$

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

 $=\sin \frac{\pi }{2}+n$

दाएँ पक्ष की सीमा = 1 + n

x = $\frac{\pi }{2}$ पर फलन के संतत होने के लिए, 

बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = f(π/2)

⇒ m× $\frac{\pi }{2}$ + 1 = 1 + n

⇒ n = $\frac{m\pi }{2}$

सही उत्तर n = = $\frac{m\pi }{2}$ है। 

संकल्पना:

यदि कोई फलन किसी बिन्दु a पर सतत है, तो

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})}$

sin(∞) = a, जहाँ -1≤ a ≤ 1

गणना:

दिया गया है:

f(0) = 1

f(x) = x sin (1/x)

x = 0 पर सांतत्यता की जाँच करने पर

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(0)}$

बायाँ पक्ष 

= 0 × sin(∞)

= 0 

दायाँ पक्ष

= f(0) = 1

बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष

अतः, x = 0 पर फलन असंतत है।

अवधारणा:

यदि कोई फलन x = a पर संतत है, तो L.H.L = R.H.L = f(a) 

 x = a  पर f(x) की बाएँ  पक्ष की सीमा (L.H.L)  $\underset{h\to 0}{lim}f(a-h)$ है 

 x = a पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.L)  $\underset{h\to 0}{lim}f(a+h)$ है 

गणना:

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x < 0 के लिए, f(x) = - x 

तो x > 0 और x < 0 के लिए फलन सतत है

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

परिभाषा:

• यदि ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})}$ मौजूद है या यदि इसका आलेख बिंदु x = a पर एकल अखंडित वक्र है, तो फलन f(x) को इसके डोमेन में उस बिंदु पर निरंतर कहा जाता है।
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})}$.

सूत्र:

• ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}}=1}$
• ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}}=1}$

गणना:

चूँकि f(x), x = 0 पर निरंतर है, इसलिए, ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(0)}$  है।

साथ ही, ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})}$ है, क्योंकि f(x), x > 0 और x < 0 के लिए समान है।

 $\therefore {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(0)}$

$\Rightarrow {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin 3\mathrm{x}}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}}=\mathrm{k}-2}$

$\Rightarrow {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sin 3\mathrm{x}}{3\mathrm{x}}}\times 3\mathrm{x}}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}{2\mathrm{x}}}\times 2\mathrm{x}}}=\mathrm{k}-2}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{k}-2$

$\Rightarrow \mathrm{k}={\displaystyle \frac{7}{2}}$.

संकल्पना:

परिभाषा:

• एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})}$ मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})}$.

गणना:

x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\{\begin{array}{cc}\frac{2\mathrm{x}-{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{x}};& \mathrm{x}\ne 0\\ \mathrm{K};& \mathrm{x}=0\end{array}$

चूँकि फलन का समीकरण x < 0 और x > 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{2\mathrm{x}-{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{x}}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{2-\frac{{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}{2+\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}}$

x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(0)}$

⇒ K = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

अवधारणा:

किसी फलन के लिए f, $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ मौजूद हैं

$\Rightarrow \underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=l=\underset{x\to a}{lim}f(x)$ , जहाँ l एक परिमित मान है।

किसी भी फलन का कहना है कि f को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, अगर और केवल यदि $\underset{x\to a}{lim}f(x)=l=f\left(a\right)$, जहाँ l एक परिमित मान है।

गणना:

दिया गया है कि: $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-6}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{k}\mathrm{x}-3}$, x = 3 पर निरंतर नहीं है।

अतः, यदि कोई फलन x = a पर निरंतर नहीं है तब

 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=l\ne f\left(a\right)$

तो, फलन f(x) के लिए यदि भाजक x = 3 पर 0 है तो हम कह सकते हैं कि f (3) अनंत है और सीमा मौजूद नहीं हो सकती।

माना k का मान ज्ञात करें जिसके लिए f(x) का भाजक x = 3 के लिए 0 है।

तो, x2 + kx - 3 = 0 में x = 3 प्रतिस्थापित करें

⇒ 32 + 3k - 3 = 0.

⇒ 6 + 3k = 0.

⇒ k = - 2.

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

माना कि f(x) = $\frac{\mathrm{p}(\mathrm{x})}{\mathrm{q}(\mathrm{x})}$ है। 

ऐसी तीन स्थितियां हैं जिसे एक संख्या a पर निरंतर होने के क्रम में फलन f(x) द्वारा पूरा होना चाहिए। 

• f(a) परिभाषित है। [आपके पास फलन में एक छिद्र नहीं हो सकता है] 
• $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})$ मौजूद है। 
• $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})$

सूचना:

यदि निरंतरता की तीन स्थितियों में से किसी भी एक स्थिति का उल्लंघन होता है, तो फलन को अनिरंतर कहा जाता है। 

यदि sin x = 0 है, तो x = nπ, n ∈ Z है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = cot x

$\cot \mathrm{x}=\frac{\cos \mathrm{x}}{\sin \mathrm{x}}$

जाँच कीजिए कि हर कहाँ शून्य हो जाता है। 

sin x = 0

x = nπ, n ∈ Z

∴ दिया गया फलन x = nπ पर अनिरंतर है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

Important Points

• उस परिमेय समीकरण के साथ कार्य करने पर जिसमें अंश और हर दोनों निरंतर होते हैं। 
• केवल वह बिंदु जिसमें परिमेय समीकरण अनिरंतर होगा जहाँ हर शून्य हो जाती है। 

अवधारणा:

एक फलन y = f(x) को बिंदु x = a पर सतत कहा जाता है यदि $\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$ = f(a)

$\underset{x\to a}{lim}\frac{\sin x}{x}$ = 1

स्पष्टीकरण:

LHL = f(0^-) = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos 2x}{x^2}$ = ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2{\sin }^{2}x}{x^2}}$ = 2${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin x}{x}{)}^2}$ = 2

RHL = f(0⁺) = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\beta \surd 1-\cos x}{x}$${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}\beta \surd 2\frac{\sin \frac{x}{2}}{2\frac{x}{2}}=\frac{\beta }{\surd 2}}$

चूँकि x = 0 पर f(x) सतत है।

इसलिए, LHL = RHL = f(0)

अर्थात, 2 = $\frac{\beta }{\surd 2}$ = α

इसलिए, α = 2 और β = 2√2

∴ ${\alpha }^2+{\beta }^2=4+8=12$

अतः विकल्प (2) सही है। 

धारणा:

• a² - b² = (a - b) (a + b)

गणना:

दिया हुआ है कि

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-9}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+\mathrm{x}-3}$ [∵ a² - b² = (a-b) (a+b)]

⇒ $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)+1\left(\mathrm{x}-3\right)}$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}$

⇒ $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}+3\right)}{\mathrm{x}+1}$

दिया हुआ f(x), x = 3 पर निरंतर है

अवधारणा:

फलन निरंतर होने के लिए:

LHL = RHL = f(x)

जहाँ LHL = $\underset{\alpha \to 0}{lim}$f(x - α) और RHL = $\underset{\alpha \to 0}{lim}$f(x + α)

गणना:

दिया गया है कि f(x) निरंतर फलन है

LHL = f(x) = RHL

$\underset{\alpha \to 0}{lim}$ f(1 - α) = f(1)

$\underset{\alpha \to 0}{lim}$ [a + b(1 - α)] = 5

$\underset{\alpha \to 0}{lim}$ [a + b - bα] = 5

a + b = 5

सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है: $f(x)={\displaystyle \frac{x-|x|}{x}}$

गणना:

⇒ $f(x)={\displaystyle \frac{x-|x|}{x}}$

x = 2 के मान के लिए

फलन f(2)= ${\displaystyle \frac{2-|2|}{2}}$ = 0

x = 0 के मान के लिए; f(0) = ${\displaystyle \frac{0-|0|}{0}}$ = असंभव मूल्य

x = -2 के मान के लिए; f(-2) = ${\displaystyle \frac{-2-|-2|}{-2}}$ = 2

इसलिए, x = 0 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए फलन का कुछ निश्चित हल है।

Sin x

|sinx|

f(x) = 1 + |sin x| का आलेख जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

ग्राफ से, यह स्पष्ट है कि फलन प्रत्येक जगह पर संतत है लेकिन π के समाकल गुणजों पर अवकलनीय नहीं है (∴ इन बिंदुओं पर वक्र में तीक्ष्ण मोड़ हैं)।

संकल्पना:

f(x) = |x| ⇒ f(x) = x if x > 0 और f(x) = -x, x < 0

एक फलन f(x), x = a पर निरंतर है यदि $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{l}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}\mathrm{f}(\mathrm{x})$

एक फलन f(x), x = a पर अवकलनीय होता है यदि LHD = RHD

$\begin{array}{l}\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{D}=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{h}\to 0^{-}}{lim}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{a}-\mathrm{h})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{-\mathrm{h}}\\ \mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{D}=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{h}\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{h})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{h}}\end{array}$

गणना:

यहाँ, f(x) = e-|x| 

$$\begin{gathered} \text{LHL =}\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}{\mathrm{e}}^{-|\mathrm{x}|}={\mathrm{e}}^0=1 \\ \text{RHL =}\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{l}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{e}}^{-|\mathrm{x}|}={\mathrm{e}}^0=1 \\ \mathrm{l}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}\to 0}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{l}\mathrm{i}{\mathrm{m}}_{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{e}}^{-|\mathrm{x}|}={\mathrm{e}}^0=1 \end{gathered}$$

तो x = 0 पर फलन निरंतर है

f(x) = e-|x| 

x < 0 के लिए f'(x) = ex और x > 0 के लिए f'(x) = -e-x

$$\begin{gathered} \mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{D}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^0=1 \\ \mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{D}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}=-{\mathrm{e}}^0=-1 \end{gathered}$$

यहाँ, LHD ≠ RHD तो f(x), x = 0 पर अवकलनीय नहीं है

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

Alternate Method फलन के लिए ग्राफ का संदर्भ,

 f(x) = e-|x| 

 f(x) = ex x > 0 के लिए

 f(x) = e-x x > 0 के लिए

 f(x) = 1 x = 0 के लिए

• ग्राफ इस प्रकार हो सकता है,

• यह एक सम फलन होगा क्योंकि यह y-अक्ष के प्रति सममित है।
• हम देख सकते हैं कि फलन x = 0 पर सतत है, क्योंकि x = 0 पर कोई असतत नहीं है।
• आप देख सकते हैं कि ग्राफ़ के लिए x = 0  पर एक नुकीला कोना है इसलिए यह x = 0 पर अवकलनीय नहीं है
• इसलिए, विकल्प (1) सही है।