Associative and Distributive integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Associative and Distributive integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$

गणना:

मान लीजिए I = ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\cos x{)}^{2023}}{(\sin x{)}^{2023}+(\cos x{)}^{2023}}dx$ … (1)

⇒ I = ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\cos (\frac{\pi }{2}-x){)}^{2023}}{(\sin (\frac{\pi }{2}-x){)}^{2023}+(\cos (\frac{\pi }{2}-x){)}^{2023}}dx$

⇒ I = ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\sin x{)}^{2023}}{(\cos x{)}^{2023}+(\sin x{)}^{2023}}dx$ … (2)

∴ (1) + (2),

⇒ 2I = ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx$

⇒ I = $\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-0)$

⇒ I = $\frac{\pi }{4}$

∴ $\frac{8}{\pi }(\mathrm{I})=\frac{8}{\pi }\cdot \frac{\pi }{4}$

= 2

∴ अभीष्ट उत्तर 2 है।

प्रयुक्त सूत्र:

$|\sin x|=\begin{array}{cc}\{& \begin{array}{cc}sin(x)& if0\le x\le \pi \\ -sin(x)& if\pi \le x\le 2\pi \end{array}\end{array}$

∫ sin x dx = - cos x

गणना:

माना, 

I =  ${\displaystyle {\int }_0^{8\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$

चूँकि sin θ का आवर्तकाल 2π है। इसलिए,

$I=4{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर,

⇒ I = $4({\displaystyle {\int }_0^{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}+{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x})}}$

⇒ I $=4([-cosx{]}_0^{\pi }+[cosx{]}_{\pi }^{2\pi })$

⇒ I $=4[(-cos(\pi )-(-cos(0)))+(cos(2\pi ))-(cos(\pi ))]$

⇒ I $=4[(-(-1)-(-1))+(1-(-1))]$

⇒ I $=4[(1+1)+(1+1)]$

⇒ I $=4[2+2]$

⇒ I = 16

∴ ${\displaystyle {\int }_0^{8\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 16

दिया गया -

मान लीजिए f(x) = |x - 1|, g(x) = [x] और h(x) = f(x)g(x) जहाँ [.] सबसे बड़ा पूर्णांक फलन है।

अवधारणा -

$f(x)=|x-1|=\{\begin{array}{ll}-(x-1)& x<1\\ x-1& 1\le x\end{array}$

व्याख्या -

अब h(x) = (|x -1|)([x])

0 < x < 2 के लिए,

केस - I

0 < x < 1 के लिए h(x) = -(x - 1) x 0 = 0

केस - II

1 < x < 2 के लिए h(x) = (x - 1) x 1 = x - 1

अतः ${\int }_0^{2}h(x)dx$

= ${\int }_0^{1}0dx$ + ${\int }_1^2(x-1)dx$

= $[\frac{x^2}{2}-x{]}_1^2$

= - [ 1/2 - 1] = 1/2

अतः विकल्प (4) सही है।

दिया गया -

मान लीजिए f(x) = |x - 1|, g(x) = [x] और h(x) = f(x)g(x) जहाँ [.] सबसे बड़ा पूर्णांक फलन है।

अवधारणा -

$f(x)=|x-1|=\{\begin{array}{ll}-(x-1)& x<1\\ x-1& 1\le x\end{array}$

स्पष्टीकरण -

अब h(x) = (|x -1|)([x])

-1 < x < 0 के लिए, h(x) = -(x - 1) x -1 = (x - 1)

अतः ${\int }_{-1}^{0}h(x)dx$

= ${\int }_{-1}^0(x-1)dx$

= $[\frac{x^2}{2}-x{]}_{-1}^0$

= - [ 1/2 + 1] = -3/2

अतः विकल्प (1) सही है।

प्रयुक्त सूत्र:

$|\sin x|=\begin{array}{cc}\{& \begin{array}{cc}sin(x)& if0\le x\le \pi \\ -sin(x)& if\pi \le x\le 2\pi \end{array}\end{array}$

∫ sin x dx = - cos x

गणना:

माना, 

I =  ${\displaystyle {\int }_0^{8\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$

चूँकि sin θ का आवर्तकाल 2π है। इसलिए,

$I=4{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर,

⇒ I = $4({\displaystyle {\int }_0^{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}+{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x})}}$

⇒ I $=4([-cosx{]}_0^{\pi }+[cosx{]}_{\pi }^{2\pi })$

⇒ I $=4[(-cos(\pi )-(-cos(0)))+(cos(2\pi ))-(cos(\pi ))]$

⇒ I $=4[(-(-1)-(-1))+(1-(-1))]$

⇒ I $=4[(1+1)+(1+1)]$

⇒ I $=4[2+2]$

⇒ I = 16

∴ ${\displaystyle {\int }_0^{8\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 16

संकल्पना:

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}={\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

गणना:

माना कि I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\sin }^8\mathrm{x}}}{\sqrt{{\sin }^8\mathrm{x}}+\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$      ----(i)

⇒ I =  ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\sin }^8(\pi /2-\mathrm{x})}}{\sqrt{{\sin }^8(\pi /2-\mathrm{x})}+\sqrt{{\cos }^8(\pi /2-\mathrm{x})}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}}{\sqrt{{\sin }^8\mathrm{x}}+\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$      ----(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 2I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^8\mathrm{x}}}{\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}+\sqrt{{\sin }^8\mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ 2I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ 2I = $[\mathrm{x}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

⇒ I = ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

संकल्पना:

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}={\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

गणना:

माना कि I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\sin }^8\mathrm{x}}}{\sqrt{{\sin }^8\mathrm{x}}+\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$      ----(i)

⇒ I =  ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\sin }^8(\pi /2-\mathrm{x})}}{\sqrt{{\sin }^8(\pi /2-\mathrm{x})}+\sqrt{{\cos }^8(\pi /2-\mathrm{x})}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}}{\sqrt{{\sin }^8\mathrm{x}}+\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$      ----(ii)

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 2I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^8\mathrm{x}}}{\sqrt{{\cos }^8\mathrm{x}}+\sqrt{{\sin }^8\mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ 2I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ 2I = $[\mathrm{x}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

⇒ I = ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

प्रयुक्त सूत्र:

$|\sin x|=\begin{array}{cc}\{& \begin{array}{cc}sin(x)& if0\le x\le \pi \\ -sin(x)& if\pi \le x\le 2\pi \end{array}\end{array}$

∫ sin x dx = - cos x

गणना:

माना, 

I =  ${\displaystyle {\int }_0^{8\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$

चूँकि sin θ का आवर्तकाल 2π है। इसलिए,

$I=4{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर,

⇒ I = $4({\displaystyle {\int }_0^{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}+{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x})}}$

⇒ I $=4([-cosx{]}_0^{\pi }+[cosx{]}_{\pi }^{2\pi })$

⇒ I $=4[(-cos(\pi )-(-cos(0)))+(cos(2\pi ))-(cos(\pi ))]$

⇒ I $=4[(-(-1)-(-1))+(1-(-1))]$

⇒ I $=4[(1+1)+(1+1)]$

⇒ I $=4[2+2]$

⇒ I = 16

∴ ${\displaystyle {\int }_0^{8\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 16

दिया गया -

मान लीजिए f(x) = |x - 1|, g(x) = [x] और h(x) = f(x)g(x) जहाँ [.] सबसे बड़ा पूर्णांक फलन है।

अवधारणा -

$f(x)=|x-1|=\{\begin{array}{ll}-(x-1)& x<1\\ x-1& 1\le x\end{array}$

व्याख्या -

अब h(x) = (|x -1|)([x])

0 < x < 2 के लिए,

केस - I

0 < x < 1 के लिए h(x) = -(x - 1) x 0 = 0

केस - II

1 < x < 2 के लिए h(x) = (x - 1) x 1 = x - 1

अतः ${\int }_0^{2}h(x)dx$

= ${\int }_0^{1}0dx$ + ${\int }_1^2(x-1)dx$

= $[\frac{x^2}{2}-x{]}_1^2$

= - [ 1/2 - 1] = 1/2

अतः विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$

गणना:

मान लीजिए I = ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\cos x{)}^{2023}}{(\sin x{)}^{2023}+(\cos x{)}^{2023}}dx$ … (1)

⇒ I = ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\cos (\frac{\pi }{2}-x){)}^{2023}}{(\sin (\frac{\pi }{2}-x){)}^{2023}+(\cos (\frac{\pi }{2}-x){)}^{2023}}dx$

⇒ I = ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\sin x{)}^{2023}}{(\cos x{)}^{2023}+(\sin x{)}^{2023}}dx$ … (2)

∴ (1) + (2),

⇒ 2I = ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx$

⇒ I = $\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}-0)$

⇒ I = $\frac{\pi }{4}$

∴ $\frac{8}{\pi }(\mathrm{I})=\frac{8}{\pi }\cdot \frac{\pi }{4}$

= 2

∴ अभीष्ट उत्तर 2 है।

दिया गया -

मान लीजिए f(x) = |x - 1|, g(x) = [x] और h(x) = f(x)g(x) जहाँ [.] सबसे बड़ा पूर्णांक फलन है।

अवधारणा -

$f(x)=|x-1|=\{\begin{array}{ll}-(x-1)& x<1\\ x-1& 1\le x\end{array}$

स्पष्टीकरण -

अब h(x) = (|x -1|)([x])

-1 < x < 0 के लिए, h(x) = -(x - 1) x -1 = (x - 1)

अतः ${\int }_{-1}^{0}h(x)dx$

= ${\int }_{-1}^0(x-1)dx$

= $[\frac{x^2}{2}-x{]}_{-1}^0$

= - [ 1/2 + 1] = -3/2

अतः विकल्प (1) सही है।

प्रयुक्त सूत्र:

$|\sin x|=\begin{array}{cc}\{& \begin{array}{cc}sin(x)& if0\le x\le \pi \\ -sin(x)& if\pi \le x\le 2\pi \end{array}\end{array}$

∫ sin x dx = - cos x

गणना:

माना, 

I =  ${\displaystyle {\int }_0^{8\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$

चूँकि sin θ का आवर्तकाल 2π है। इसलिए,

$I=4{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$

उपरोक्त संकल्पना का प्रयोग करने पर,

⇒ I = $4({\displaystyle {\int }_0^{\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}+{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x})}}$

⇒ I $=4([-cosx{]}_0^{\pi }+[cosx{]}_{\pi }^{2\pi })$

⇒ I $=4[(-cos(\pi )-(-cos(0)))+(cos(2\pi ))-(cos(\pi ))]$

⇒ I $=4[(-(-1)-(-1))+(1-(-1))]$

⇒ I $=4[(1+1)+(1+1)]$

⇒ I $=4[2+2]$

⇒ I = 16

∴ ${\displaystyle {\int }_0^{8\pi }|\sin \mathrm{x}|\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 16