Triangles MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Triangles - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

∆LMN-এর মধ্যমা MX এবং NY

MX ⊥ NY

MX, NY-কে Z বিন্দুতে ছেদ করে

MX = 20 সেমি

NY = 30 সেমি

ব্যবহৃত সূত্র:

একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 x ভূমি x উচ্চতা

∆LMN-এর ক্ষেত্রফল = 3 x ∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল (যেহেতু Z হল ভরকেন্দ্র)

গণনা:

যেহেতু Z হল ভরকেন্দ্র, এটি মধ্যমাগুলিকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

MZ : ZX = 2 : 1

⇒ MZ = (2/3) x MX = (2/3) x 20 = 40/3 সেমি

⇒ ZX = (1/3) x MX = (1/3) x 20 = 20/3 সেমি

NZ : ZY = 2 : 1

⇒ NZ = (2/3) x NY = (2/3) x 30 = 20 সেমি

⇒ ZY = (1/3) x NY = (1/3) x 30 = 10 সেমি

যেহেতু MX ⊥ NY, ∆MNZ হল একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার বাহু NZ এবং MZ।

∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল = 1/2 xভূমি x উচ্চতা = 1/2 x NZ x MZ

⇒ ∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল = 1/2 x 20 x (40/3)

⇒ ∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল = 10 x (40/3) = 400/3 সেমি²

∆LMN-এর ক্ষেত্রফল = 3 x ∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল

⇒ ∆LMN-এর ক্ষেত্রফল = 3 x (400/3)

⇒ ∆LMN-এর ক্ষেত্রফল = 400 সেমি²

∴ ∆LMN-এর ক্ষেত্রফল হল 400 সেমি²।

প্রদত্ত:

AB = k + 3

BC = 2k

AC = 5k - 5

ব্যবহৃত সূত্র:

যখন B, AC-এর উপর অবস্থান করে, তখন AB + BC = AC

গণনা:

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

⇒ AB + BC = AC

AB + BC = AC

⇒ (k + 3) + 2k = 5k - 5

⇒ 3k + 3 = 5k - 5

⇒ 8 = 2k

⇒ k = 4

∴ সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1।

প্রদত্ত:

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমষ্টি = 20 সেমি

সমান বাহু ও ভূমির অনুপাত = 3 : 4

ব্যবহৃত সূত্র:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: a² + b² = c²

গণনা:

ধরা যাক, সমান বাহু দুটি 3x সেমি এবং ভূমি 4x সেমি।

বাহুগুলির সমষ্টি: 3x + 3x + 4x = 20

⇒ 10x = 20

⇒ x = 2

সুতরাং, সমান বাহু দুটি 3 x 2 = 6 সেমি এবং ভূমি 4 x 2 = 8 সেমি।

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, উচ্চতা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, ভূমির অর্ধেক = 8 / 2 = 4 সেমি।

এখন, একটি সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে:

উচ্চতা² + (4 সেমি)² = (6 সেমি)²

⇒ উচ্চতা² + 16 = 36

⇒ উচ্চতা² = 20

⇒ উচ্চতা = √20

⇒ উচ্চতা = 2√5 সেমি

ত্রিভুজটির উচ্চতা 2√5 সেমি।

প্রদত্ত:

∆ABC ত্রিভুজে, ∠A = 70° এবং ∠B = 70°।

ব্যবহৃত সূত্র:

ত্রিভুজের বহিঃস্থকোণ = 180° - অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ

গণনা:

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 180°।

সুতরাং, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

70° + 70° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° - 140°

⇒ ∠C = 40°

এখন, A বিন্দুতে বহিঃস্থকোণটি দুটি অসংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ, ∠B এবং ∠C।

A বিন্দুতে বহিঃস্থকোণ = ∠B + ∠C

⇒ A বিন্দুতে বহিঃস্থকোণ = 70° + 40°

⇒ A বিন্দুতে বহিঃস্থকোণ = 110°

A বিন্দুতে বহিঃস্থকোণের মান 110°।

প্রদত্ত:

BC = 16 সেমি, BD = 11 সেমি এবং ∠ADC = ∠BAC

ধারণা:

যদি দুটি কোণ এবং দুটি ত্রিভুজের একটি বাহু সমান হয়, তাহলে উভয় ত্রিভুজ AA বৈশিষ্ট্য দ্বারা অনুরূপ হবে।

গণনা:

ΔABC এবং ΔDAC-তে

⇒ ∠ADC = ∠BAC

⇒ ∠C = উভয় ত্রিভুজের সাধারণ কোণ

অতএব, ΔABC এবং ΔDAC অনুরূপ ত্রিভুজ।

⇒ \({BC\over AC}={AC\over DC}\)

⇒ AC² = BC × DC

⇒ AC² = 16 × 5 = 80

⇒ AC = 4√5

∴  নির্ণেয় ফলাফল হবে 4√5

প্রদত্ত:

ত্রিভুজের প্রথম বাহু = 30 সেমি

ত্রিভুজের দ্বিতীয় বাহু = x সেমি

ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু = 42 সেমি

ব্যবহৃত ধারণা:

(তৃতীয় বাহু - প্রথম বাহু) < দ্বিতীয় বাহু < (তৃতীয় বাহু + প্রথম বাহু)

গণনা:

দ্বিতীয় বাহুর পরিসীমা = (42 - 30) < x < (42 + 30)

⇒ 12 < x < 72

∴ সঠিক উত্তরটি বিকল্প 3।

প্রদত্ত:

ABC হল B কোণে সমকোণী ত্রিভুজ, BC = 10 সেমি

  AC = 12 সেমি, p হল B থেকে AC পর্যন্ত লম্বের দৈর্ঘ্য

অনুসৃত সূত্র:

Δ এর ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা

গণনা:

একটি Δ ABC-তে, পিথাগোরাস উপপাদ্য ব্যবহার করে

AC² = AB² + BC²

144 = AB² + 100

AB² = 44

AB = √44

ΔABC এর ক্ষেত্রফল = ΔABC এর ক্ষেত্রফল

⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p

⇒ 5 × 2√11 = 6p

⇒ p = (5√11)/3 সেমি 

∴ সঠিক উত্তর হল (5√11)/3 সেমি।

প্রদত্ত:

AB = 8.4 সেমি, এবং AC = 5.6 সেমি, DC = 2.8 সেমি 

অনুসৃত ধারণা:

ত্রিভুজের কোণ সমদ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে দুটি অংশে ভাগ করে যা ত্রিভুজের অন্যান্য দুটি বাহুর সাথে সমানুপাতী।

গণনা:

ধারণা অনুযায়ী,

AB/AC = BD/DC

⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8

⇒ 8.4/2 = BD

⇒ 4.2 = BD

তাই, BD + DC = BC

BC = 4.2 + 2.8

⇒ 7 সেমি 

∴ তাই BC বাহুর দৈর্ঘ্য 7 সেমি হবে।.

প্রদত্ত:

AD : DB = 7 : 9

DE ∥ BC

গণনা:

AD : DB = 7 : 9

সুতরাং, AD : AB = 7 : (7 + 9) = 7 : 16

ΔADE এবং ΔABC

∠ ADE = ∠ ABC --- (অনুরূপ কোণ)

∠ AED = ∠ ACB --- (অনুরূপ কোণ)

∠ A = ∠ A --- (সাধারণ কোণ)

সুতরাং, ΔADE ∼ ΔABC

AD : AB = DE : BC = 7 : 16

এখন,

ΔDEF এবং ΔBCF

∠ DEF = ∠ FBC ---(একান্তর কোণ)

∠ EDF = ∠ FCB ---(একান্তর কোণ)

∠ DFE = ∠ BFC --- (বিপ্রতীপ কোণ)

সুতরাং, ΔDEF ∼ ΔBCF

অতএব, ΔDEF এবং ΔCBF-এর ক্ষেত্রফল

⇒ DE² : BC²

⇒ 7² : 16²

⇒ 49 : 256

∴ সঠিক বিকল্প হল 3.

প্রদত্ত:

POR = 140 ডিগ্রি

ব্যবহৃত ধারণা:

একটি ত্রিভুজের অন্তর্কেন্দ্র ত্রিভুজের সকল বাহুর দিকে সমানভাবে আনত থাকে।

অন্তঃকেন্দ্রে কোণ = 90° + শীর্ষ কোণ/2

গণনা:

ধারণা অনুযায়ী,

90° + ∠PQR/2 = 140°

⇒ ∠PQR/2 = 140° - 90°

⇒ ∠PQR/2 = 50°

⇒ ∠PQR = 100°

∴ কোণ PQR 100°

গণনা: 

∠BAC = 72° 

কোণ সমষ্টি বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী 

ধারণা ব্যবহৃত হয়েছে

দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত সংশ্লিষ্ট বাহু এবং মধ্যমার বর্গের অনুপাতের সমান।

গণনা

যেহেতু DE ΔABC-এর ক্ষেত্রফলকে দুটি সমান ভাগে ভাগ করে।

অর্থাৎ, ar(ΔADE) = ar(DEBC)

⇒ ar(ΔADE) = ar(ΔABC)/2

⇒ ar(ΔABC)/ar(ΔADE) = 2

এখন,

ΔABC ~ ΔADE (AAA সদৃশতার দ্বারা)

অতএব,

ar(ΔABC)/ar(ΔADE) = (AB/AD)²

⇒ 2 = AB²/AD²

⇒ AB2/AD2 = 2

⇒ AB = √2AD

⇒ AB = √2(AB - DB)

⇒ √2AB - AB = √2DB

⇒ AB(√2 - 1) = √2DB

∴ DB/AB = (√2 - 1)/√2

উত্তর হল (√2 - 1):√2

প্রদত্ত:

KI = IT; EK = ET 

∠KET = 150° 

গণনা:

△KEI এবং △TEI-এ

⇒ KI = IT (দেওয়া আছে)

⇒ EK = ET (দেওয়া আছে)

⇒ EI = EI (সাধারণ)

△KEI ≅ △TEI (সর্বসম)

⇒ ∠ KEI = ∠ TEI (C.P.C.T. দ্বারা)

এখন,

⇒ ∠KET + ∠KEI + ∠TEI = 360° 

⇒ 150° + 2 × ∠TEI = 360°

⇒ 2 × ∠TEI = 360° - 150°

⇒ ∠TEI = 210/2 = 105°

∴ সঠিক উত্তর হল 105° 

প্রদত্ত:

AB = 10 সেমি, এবং AC = 14 সেমি

অনুসৃত ধারণা:

একটি ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুটিকে ত্রিভুজের অপর দুটি বাহুর সমানুপাতিক ভাগে দুটি অংশে বিভক্ত করে।

গণনা:

ধারণা অনুযায়ী,

AB/AC = BD/DC

⇒ 10/14 = BD/DC

⇒ 5/7 = BD/DC

অতএব, BD : DC = 5 : 7

এখন, BC = 5 + 7

⇒ 12

সুতরাং, BD : BC = 5 : 12

∴ আবশ্যক উত্তর হল 5: 12।