Mathematical Science MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Mathematical Science - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ব্যাখ্যা:

f(x) = \(\rm \frac{1}{x}\)

1ম বিভক্ত পার্থক্য

f[x₀, x₁] = \(f(x_1)-f(x_0)\over x_1-x_0\)

= \({1\over x_1}-{1\over x_0}\over x_1-x_0\) = \(-\frac1{x_0x_1}\)

2য় বিভক্ত পার্থক্য

f[x0, x1, x₂] = \(f[x_1, x_2]-f[x_0, x_1]\over x_2-x_0\)

= \({-1\over x_1x_2}+{1\over x_0x_1}\over x_2-x_0\) = \(\frac1{x_0x_1x_2}\)

3য় বিভক্ত পার্থক্য

f[x0, x1, x2, x₃] = \(f[x_1, x_2, x_2]-f[x_0, x_1, x_0]\over x_3-x_0\)

= \({1\over x_1x_2x_3}-{1\over x_0x_1x_2}\over x_3-x_0\) = \(\rm \frac{-1}{x_0x_1x_2x_3}\)

বিকল্প (2) সঠিক।

ব্যাখ্যা:

সিরিজটি হল

\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{x+n}\) , যেখানে x > 0

অনুপাত পরীক্ষা (Ratio Test) বলে যে

যদি পরপর পদগুলির অনুপাতের পরম মানের সীমা 1 এর কম হয়, তাহলে শ্রেণীটি অভিসারী হয়।

যদি এটি 1 এর বেশি হয়, তাহলে শ্রেণীটি অপসারী হয়।

অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:

\(|\frac{ a_{n+1}}{ a_n } | = | \frac{x^{n+1} }{ (x + n + 1)) } \frac{(x + n)}{x^n} |\)

\(= | x \frac{(x + n) }{ (x + n + 1)} |\)

\(lim_{n→∞} | x \frac{ (x + n) }{ (x + n + 1)} | = lim_{n→∞} | x \frac{ (1 + x/n)}{ (1 + x/n + 1/n)} | \)

= | x (1 + 0) / (1 + 0 + 0) | = | x |

অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:

যদি |x| < 1 হয়, তাহলে শ্রেণীটি অভিসারী হয়।

⇒ (A) সঠিক

যদি |x| > 1 হয়, তাহলে শ্রেণীটি অপসারী হয়।

⇒ (B) সঠিক

অতএব, সঠিক উত্তর হল (A) এবং (B) শুধুমাত্র।

⇒ বিকল্প (1) সঠিক

যখন |x| = 1 হয় তখন অনুপাত পরীক্ষা অসিদ্ধ হয়।

(C) এবং (D) ভুল।

ব্যাখ্যা:

প্রদত্ত:

V = {(a, b, c, d) : b - 5c + 2d = 0}

W = {(a, b, c, d) : a - d = 0, b - 3c = 0}

W থেকে: a - d = 0 ⇒ a = d

W থেকে: b - 3c = 0 ⇒ b = 3c

V থেকে: b - 5c + 2d ⇒ 0

W এর সমীকরণগুলি থেকে a এবং b এর মান V এর সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

3c - 5c + 2d = 0

⇒ -2c + 2d = 0

⇒ -2c = -2d

⇒ c = d

এখন আমাদের আছে:

a = d , b = 3c এবং c = d

সুতরাং, V ∩ W এর ভেক্টরগুলিকে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

(d, 3d, d, d) = d (1, 3, 1, 1)

ছেদ V ∩ W একটি একক ভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত: (1, 3, 1, 1)

অতএব, এর মাত্রা হল 1

V ∩ W এর মাত্রা হল 1

সুতরাং বিকল্প (1) সঠিক উত্তর।

ধারণা:

1. \(\ln(1+ t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4} \cdots \)

2. \( \ln(1- t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3 } -\frac{t^4}{4} \cdots \)

ব্যাখ্যা:

\(f(x) = x + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{3^2} + \dots + \frac{x^n}{n^2} + \dots \)

\(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \)

আমরা জানি \(\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}, \quad {for } |x| \leq 1 \)

দেওয়া হয়েছে যে f(x) শ্রেণীটির সাথে মিলে যায় \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \) ,

এটি এভাবে লেখা যেতে পারে :

\(f(x) = -\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)

সুতরাং, f(x) এর একটি অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছে যা \(\ln(1 - t) \) জড়িত

\( x = \frac{1}{2} \) প্রতিস্থাপন করে পাই

\(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \) = \(-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প (2)।

ধারণা:

পরিবহন সমস্যা হল রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ যা চাহিদার সংশ্লিষ্ট গন্তব্যে সরবরাহের প্রয়োজনীয় উত্সগুলির জন্য সংযুক্ত করা যেতে পারে, চূড়ান্ত লক্ষ্য হল সমষ্টিগত পরিবহন ব্যয় সীমিত করা।

ব্যাখ্যা:

যেকোনো পরিবহন সমস্যার অপরিহার্য পর্যায় হল প্রাথমিক মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান।

• প্রাথমিক মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান অবশ্যই কার্যকর হতে হবে অর্থাৎ এটি অবশ্যই সমস্ত সরবরাহ এবং চাহিদার সীমাবদ্ধতা পূরণ করবে।
• ধনাত্মক বরাদ্দের সংখ্যা m+n-1 এর সমান হতে হবে যেখানে m হল সারি সংখ্যা এবং n হল কলাম সংখ্যা।

অ-ডিজেনারেট মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান: একটি মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান অ-ডিজেনারেট হয় যদি এতে পৃথক অবস্থানে ঠিক m+n-1 ধনাত্মক বরাদ্দ থাকে। যদি বরাদ্দকৃত সংখ্যা প্রয়োজনীয় সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে তাকে ডিজেনারেট মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান বলা হয়। এই সমাধানটি পরিবর্তন করা সহজ নয়, কারণ প্রতিটি দখলকৃত কোষের জন্য একটি বন্ধ লুপ আঁকা অসম্ভব।

ধারণা:

ধারণা:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (a_ij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |a_ii| ≥ \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) সকল i এর জন্য

ব্যাখ্যা:

P এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স

𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1

ধরা যাক L = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) এবং U = \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

তাহলে

\(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}b&c\\ab&ac+d\end{bmatrix}\)

উভয় দিক তুলনা করে

b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3

ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2

আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই

(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1

সুতরাং U = \(\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}\)

সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3

P সত্য

Q এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3 \(\ngeq\) |-4|

তাহলে H_{জ্যাকোবি} = D^-1(L + U) যেখানে

D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ, \(\begin{bmatrix}2&0\\\ 0&3\end{bmatrix}\) এবং L + U = \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\)

সুতরাং, D^-1 = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)

সুতরাং H_{জ্যাকোবি} = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&-\frac12\\\ -\frac43&0\end{bmatrix}\)

অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়

λ² - 0λ - 2/3 = 0

⇒ λ = \(\pm\sqrt{\frac23}\)

যেহেতু |λ| < 1

সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।

Q সত্য

𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য

(1) সঠিক

ধারণা:

একটি অপেক্ষক y = f(x) একটি মুক্ত ব্যবধান (a, b) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় যদি f(x) (a, b) এ অবিচ্ছিন্ন হয় এবং শেষ বিন্দু a, b তে সীমা বিদ্যমান থাকে।

ব্যাখ্যা:

(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (1) মিথ্যা

(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (3) মিথ্যা

(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই কারণ \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (4) মিথ্যা

(2): f(x) = e−1/x2

(এখানে f(x) (0, 1) এ অবিচ্ছিন্ন এবং x = 0 এবং x = 1 এ সীমা বিদ্যমান

তাই f(x) = e−1/x2 (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন

বিকল্প (2) সঠিক

ধারণা:

একটি ম্যাপিং ϕ: \(\mathbb N\) → \(\mathbb N\), যা ϕ(n) = {x ∈ \(\mathbb N\) | 1 ≤ x

ϕ (pⁿ) = pⁿ - p^n-1

ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) যদি gcd(m, n) = 1 হয়
ব্যাখ্যা:

ϕ(n) সারণী:

ϕ(n)-এর সারণী থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, যদি আমরা n কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) > ϕ(n+1) এবং যদি আমরা n + 1 কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) < ϕ(n+1)

∴ বিকল্প (1) এবং (2) সঠিক।

ϕ(n) সারণী:

সুতরাং, যদি আমরা N = 6 নিই, তাহলে সমস্ত n > 6 এর জন্য, আমরা ϕ(N) < ϕ(n) পাই।

সুতরাং বিকল্প (3) সঠিক।

সুতরাং, যে বিকল্পটি সত্য নয় সেটি হল (4)

ব্যাখ্যা:

দেওয়া আছে 1 ≤ n ≤ 999

পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো \(\left[\frac{999}{3}\right]\) = 333

পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 37 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো

\(\left[\frac{999}{37}\right]\) = 27

3 এবং 37 এর লসাগু = 3 × 37 = 111

সুতরাং পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 3 ও 37 উভয় দ্বারা বিভাজ্য তা হলো \(\left[\frac{999}{111}\right]\) = 9

সুতরাং S এ থাকা পূর্ণসংখ্যা = 333 + 27 - 9 = 351

অতএব S^c তে থাকা পূর্ণসংখ্যা = 999 - 351 = 648

∴ সেট S^c-এ পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা হলো 648।

ধারণা:

যদি f(x,y) একটি অপেক্ষক হয়, যেখানে f আংশিকভাবে x এবং y এর উপর নির্ভর করে এবং যদি আমরা x এবং y এর সাপেক্ষে f কে অবকলন করি তবে এই অবকলনগুলিকে f-এর আংশিক অবকলন বলা হয়। y কে ধ্রুবক ধরে x এর সাপেক্ষে f-এর আংশিক অবকলন সূত্রটি হল:

\(f_x =\frac{df}{dx}= \lim_{h=0}\frac{f(x+ h, y)-f(x,y)}{h}\)

⇒ \(f_y =\frac{df}{dy}= \lim_{h=0}\frac{f(x,y +h)-f(x,y)}{h}\)

প্রদত্ত: \(\rm{ f(x, y) = { \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & if (x, y) \ne (0, 0) \\\ 0 & if (x, y) = (0, 0) \end{matrix} \right.}}\)

গণনা:

আংশিক অবকলনের সংজ্ঞা অনুযায়ী

⇒ f_x(0, 0) = \(\lim_{h=0}\frac{f(0 + h, 0)-f(0,0)}{h}=0\)

⇒ f_y(0, 0) \(\lim_{k=0}\frac{f(0 + k, 0)-f(0,0)}{k}=0\)

যদি আমরা বক্ররেখা v = mx² বরাবর চলি

⇒ \(\lim_{(x, y)=(0,0)}m\frac{x^4}{x^4+ x^4m^2}=\frac{1}{2}\frac{m}{(1+m^2)}\)

⇒ f(x, y) সন্তত নয়।

f-এর উভয় আংশিক অবকলন (0, 0) বিন্দুতে বিদ্যমান এবং f (0, 0) বিন্দুতে সন্তত নয়।

ধারণা:

মৌলিক ক্রমের প্রতিটি শ্রেণী চক্রীয় হয়

অর্থাৎ, যদি G একটি শ্রেণী হয় যার ক্রম p, যেখানে p মৌলিক সংখ্যা, তাহলে G চক্রীয় হবে

ব্যাখ্যা:

দেওয়া বিকল্পগুলির মধ্যে,

7 একটি মৌলিক সংখ্যা

সুতরাং, যদি O(G) = 7 হয় তাহলে G চক্রীয় হবে।

অতএব, সঠিক বিকল্প হল বিকল্প (2)

ব্যাখ্যা:

f(x) = x|x|

অবকলনযোগ্যতার সংজ্ঞা ব্যবহার করে,

f'(0) = \(\lim_{x\to0}\frac{f(x) -f(0)}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{x|x| -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}|x|\) = 0

f অবকলনযোগ্য

g(x) = x | cos x |

|cos x| = \(\begin{cases}cos x, x< 0\\ cos x, x\geq 0\end{cases}\)

এখন x | cos x | = \(\begin{cases}xcos x, x< 0\\ xcos x, x\geq 0\end{cases}\)

সুতরাং, LHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x) = 1\)

RHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x)\) = 1

যেহেতু x = 0 তে বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই g(x) x = 0 তে অবকলনযোগ্য।

(3) সঠিক

ব্যাখ্যা -

ফলাফল -

\(\mathbb{Z}_{m} \to \mathbb{Z}_{n} \) থেকে এক-এক হোমোমরফিজমের সংখ্যা = k

যেখানে k = \( \mathbb{Z}_{n} \)-তে m ক্রমের উপাদান সংখ্যা

এখন প্রশ্ন অনুযায়ী আমরা \(\mathbb{Z}_{16} \to \mathbb{Z}_{8} \) থেকে এক-এক হোমোমরফিজমের সংখ্যা গণনা করতে চাই

এবং আমরা জানি যে \( \mathbb{Z}_{8} \)-তে 16 ক্রমের কোন উপাদান নেই

অতএব উত্তর হল 0।

অতএব বিকল্প (1) সত্য।