Calculus MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Calculus - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধরি,

 \(I = \smallint {e^x}\left\{ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right\}dx\)

\( = \smallint {e^x}f\left( x \right)dx + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx+C\)

অংশ দ্বারা সমাকলনের মাধ্যমে সমাধান করে, আমরা পাই

\( = \left\{ {{e^x}f\left( x \right) - \smallint f'\left( x \right){e^x}dx} \right\} + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx +C\)

\( = f\left( x \right).{e^x} +C\)

যেখানে C হল ধ্রুবক

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f^"(x) < 0 ⇒ ম্যাক্সিমা

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K < -2 বা k > 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে।

ধারণা:

ধরা যাক f একটি অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষক যেমন f '(p) = 0

• যদি f ''(p) > 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে।

• যদি f ''(p) < 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে।

গণনা:

f (x) = 3x4 + 4x³ - 12x2 + 12

⇒ f ' (x) = 12x³ + 12x² - 24x + 0 ----(1)

⇒ f ' (x) = 12x (x² + x - 2)

⇒ f ' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f ' (x) = 0 বসিয়ে পাই

⇒ 12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2 হল চরম বিন্দু 

f '' (x) নির্ণয় করে পাই,

⇒ f '' (x) = 36x² + 24x - 24          [(1) ব্যবহার করে ]

⇒ f '' (x) = 12 (3x² + 2x - 2)

কেস 1: x = 0-এ,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24 < 0

যেহেতু, x = 0-তে f '' (x) < 0

∴ x = 0 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 0-এ f(x) হল সর্বোচ্চ।

কেস 2: x = 1-এ

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0

যেহেতু, x = 1-এ f '' (x) > 0

∴ x = 1 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 1-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

কেস 3: x = -2-এ

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0

যেহেতু, x = -2-এ f '' (x) > 0

∴ x = -2 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = -2-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

অতএব, x = 0 বিন্দুতে, f(x) সর্বোচ্চ।

ধারণা:

দুটি ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর ডট গুনফলকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

A̅⋅B̅ = |A|⋅|B|⋅cos θ

যখন এই ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তখন তাদের ডট গুনফল শূন্য হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

(A̅ + B̅) এবং (A̅ - B̅) দুটি ভেক্টর এবং |A| ≠ 0, |B| ≠ 0।

যদি দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তাহলে তাদের ডট গুনফল শূন্যের সমান হয়।

(A̅ + B̅)·(A̅ - B̅) = 0

⇒ (A̅·A̅) - (A̅·B̅) + (B̅·A̅) - (B̅·B̅) = 0

যেহেতু A̅·B̅ = B̅·A̅

⇒ |A̅|² - |B̅|² = 0

∴ |A̅| = |B̅|
∴ A̅ এবং B̅-এর মান সমান।

ধারণা:

ব্যবহৃত সূত্র:

\(\rm f'\left( x \right) = \;\frac{{d\;f\left( x \right)}}{{dx}}\)

সমাধান:

f(x) = x2 + 4x + 3

'x' এর সাপেক্ষে f(x) এর অবকলন করুন।

\(\rm f'\left( x \right) = \;\frac{{d\;f\left( x \right)}}{{dx}}\)

⇒ f'(x) = 2x + 4

x = 1 বসিয়ে পাই,

সুতরাং, f'(1) = 2 x 1 + 4 = 6

∴ f'(1) এর মান হল 6।

ধারণা:

দুটি বহুপদী অপেক্ষকের অনুপাতের আকারে লেখা অপেক্ষককে মূলদ অপেক্ষক বলে।

মূলদ অপেক্ষক সেই সব বিন্দু ছাড়া অন্য সমস্ত বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন যেখানে হর শূন্য হয়।

\(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)

যেখানে P(x) এবং Q(x) হল বহুপদী এবং Q(x) ≠ 0।

f(x) সেই বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন হবে যেখানে Q(x) = 0।

গণনা:

প্রদত্ত:

\(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3}\)

এটি একটি মূলদ অপেক্ষক, তাই এটি সেই সব বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন হবে যেখানে হর শূন্য হয়।

4x - x³ = 0

x(4 - x²) = 0

x(2² - x2) = 0

x(2 + x)(2 - x) = 0

x = 0, x = - 2 এবং x = 2

সুতরাং অপেক্ষক \(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3}\) ঠিক তিনটি বিন্দু 0, - 2 এবং 2 তে বিচ্ছিন্ন হবে।

Mistake Points

একটি সন্দেহ থাকতে পারে যে কিছু ফ্যাক্টর একে অপরকে বাদ দিচ্ছে তাই প্রথমে আমাদের এটি সরল করতে হবে।

উল্লেখ্য যে,

যদি (4 - x2) = 0 হয় তবে f(x) অনির্দিষ্ট বা 0/0 আকারে আসবে।

সুতরাং, অপেক্ষকটির x = ± 2 এর জন্য কোনো মান থাকবে না। তাই, এগুলিও বিচ্ছিন্নতার বিন্দু হবে।

এছাড়াও, যদি (4 - x2) ≠ 0

⇒ \(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3} = \frac{1}{x}\)

এখানে, x = 0 ও বিচ্ছিন্নতার একটি বিন্দু।

ঠিক তিনটি বিন্দু 0, - 2 এবং 2 থাকবে।

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f^"(x) < 0 ⇒ ম্যাক্সিমা

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K < -2 বা k > 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে।

ধারণা:

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য:

যদি f(x) প্রকৃত মূল্যবান ক্রিয়াকলাপ হয় যেমন-

• f(x) বদ্ধ ব্যবধান [a,b] তে অবিচ্ছিন্নভাবে থাকে
• (f(x) মুক্ত ব্যবধান (a,b) তে পার্থক্যযোগ্য হয়
• f(a) ≠ f(b)

তাহলে অন্তত একটি মান x, c (a, b) আছে যেমন -

\(f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b\; - \;a}}\)

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:

• f(x) এর লেখচিত্রের দুটি বিন্দু a এবং b, f(a) ≠ f(b) এর মধ্যে একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শকটি জ্যা \(\overline {AB} \) এর সমান্তরাল হয়।

ব্যাখ্যা:

(a) জ্যামিতিক ব্যাখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে সঠিক।

(b) হবে বেঠিক, যদি f(x) x এর প্রতিটি মানের জন্য একই মান থাকে, তাহলে এটি f(a) ≠ f(b) লঙ্ঘন করবে।

ধারণা:

x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x) বিবেচনা করুন।

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ মানের জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি এমন কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মান রয়েছে।

মিনিমার জন্য:

• স্থানীয় মিনিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় মিনিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে ন্যূনতম মান স্থানীয় মিনিমার থেকে কম হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় মিনিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল মিনিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল মিনিমা থেকে কম মান রয়েছে।

স্থির বিন্দু : বিন্দু যেখানে ফাংশনের অন্তরক সহগ শূন্য অর্থাৎ f'(x) = 0। বিন্দুগুলি হতে পারে:

• আনতি বিন্দু
• স্থানীয় ম্যাক্সিমা
• স্থানীয় মিনিমা

দ্বিতীয় অন্তরক সহগ পরীক্ষা: ধরুন ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু x = a আছে

• যদি \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} < 0\) তাহলে x = a, ম্যাক্সিমা একটি বিন্দু.
• যদি \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} > 0\) তাহলে x = a, minima একটি বিন্দু.

ব্য়বহার:

দেওয়া f(x) একটি বাস্তব-মানযুক্ত ফাংশন যেমন f'(x 0 ) = 0 কিছু x 0 ∈ (0, 1) এর জন্য

এছাড়াও সমস্ত x ∈ (0, 1) এর জন্য f"(x) > 0 দেওয়া হয়েছে

সুতরাং, f(x) এর ঠিক একটি স্থানীয় ন্যূনতম (0, 1) আছে, যাকে বিন্দুর মিনিমা বলা হয়।

ধারণা:

অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য  অপেক্ষক হয়, তাহলে:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\)

\(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)

\(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; cosx\)

গণনা:

প্রদত্ত: y = log sinx

ধরি sin x = u

⇒ y = log u

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\log u} \right) = \frac{1}{{u}}\frac{d}{{dx}}\left( {u} \right) \)

\(= \frac{1}{{\sin x}}\left( { cos x} \right) \)

সুতরাং, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান হবে \(\frac{1}{sin~x} cos~x\)।

ধারণা:

দুটি ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর ডট গুনফলকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

A̅⋅B̅ = |A|⋅|B|⋅cos θ

যখন এই ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তখন তাদের ডট গুনফল শূন্য হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

(A̅ + B̅) এবং (A̅ - B̅) দুটি ভেক্টর এবং |A| ≠ 0, |B| ≠ 0।

যদি দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তাহলে তাদের ডট গুনফল শূন্যের সমান হয়।

(A̅ + B̅)·(A̅ - B̅) = 0

⇒ (A̅·A̅) - (A̅·B̅) + (B̅·A̅) - (B̅·B̅) = 0

যেহেতু A̅·B̅ = B̅·A̅

⇒ |A̅|² - |B̅|² = 0

∴ |A̅| = |B̅|
∴ A̅ এবং B̅-এর মান সমান।

ব্যাখ্যা:

\(f(x)=\int^2_0\int^x_0y\ dydx\)

\(f(x)= \mathop \smallint \limits_0^2 \left[ { \frac{{{y^2}}}{2}} \right]_0^{{x}}dx\)

\(f(x)=\int^2_0[\frac{x^2}{2}-0]\ dx\)

\(f(x)=\frac{1}{2}\int^2_0{x^2}\ dx\)

\(f(x)= \frac{1}{2} \left[ { \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^{{2}}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}(\frac{2^3}{3}-0)\)

\(f(x) = \frac{4}{3}\)

\(f = {y^x}\)

ln f = x lny

⇒ \(\frac{1}{f}\frac{{df}}{{dy}} = \frac{x}{y}\)

⇒ \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = {y^x}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {y^{x - 1}}.x\)

⇒ \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\;\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{y^{x - 1}}.x} \right)\)

\( = {y^{x - 1}} + x{y^{x - 1}}lny\)

\(= {1^{\left( {2 - 1} \right)}} + \left[ {2 \times {1^{\left( {2 - 1} \right)}}\ln \left( 1 \right)} \right] = 1\)

ধারণা:

বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,

• x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
• x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x3 - 2x - 8

আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।

f'(x) = 3x² - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,

3x2 - 2 = 0

\(x = \; \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\)

\(f\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 9.089\) এবং \(f\left( {-\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 6.911\)

x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।

দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।

সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,

f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48

এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,

• অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।

ধারণা:

ধরা যাক f একটি অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষক যেমন f '(p) = 0

• যদি f ''(p) > 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে।

• যদি f ''(p) < 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে।

গণনা:

f (x) = 3x4 + 4x³ - 12x2 + 12

⇒ f ' (x) = 12x³ + 12x² - 24x + 0 ----(1)

⇒ f ' (x) = 12x (x² + x - 2)

⇒ f ' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f ' (x) = 0 বসিয়ে পাই

⇒ 12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2 হল চরম বিন্দু 

f '' (x) নির্ণয় করে পাই,

⇒ f '' (x) = 36x² + 24x - 24          [(1) ব্যবহার করে ]

⇒ f '' (x) = 12 (3x² + 2x - 2)

কেস 1: x = 0-এ,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24 < 0

যেহেতু, x = 0-তে f '' (x) < 0

∴ x = 0 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 0-এ f(x) হল সর্বোচ্চ।

কেস 2: x = 1-এ

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0

যেহেতু, x = 1-এ f '' (x) > 0

∴ x = 1 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 1-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

কেস 3: x = -2-এ

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0

যেহেতু, x = -2-এ f '' (x) > 0

∴ x = -2 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = -2-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

অতএব, x = 0 বিন্দুতে, f(x) সর্বোচ্চ।