Calculus MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Calculus - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

Last updated on Jul 3, 2025

পাওয়া Calculus उत्तरे आणि तपशीलवार उपायांसह एकाधिक निवड प्रश्न (MCQ क्विझ). এই বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন Calculus MCQ কুইজ পিডিএফ এবং আপনার আসন্ন পরীক্ষার জন্য প্রস্তুত করুন যেমন ব্যাঙ্কিং, এসএসসি, রেলওয়ে, ইউপিএসসি, রাজ্য পিএসসি।

Latest Calculus MCQ Objective Questions

Calculus Question 1:

\(\smallint {e^x}\left\{ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right\}dx\;\) কত এর সমান?

  1. \({e^x}f'\left( x \right) + C\)
  2. \({e^x}f\left( x \right) +C\)
  3. \({e^x} + f\left( x \right) +C\)
  4. None of these

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \({e^x}f\left( x \right) +C\)

Calculus Question 1 Detailed Solution

ধরি,

 \(I = \smallint {e^x}\left\{ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right\}dx\)

\( = \smallint {e^x}f\left( x \right)dx + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx+C\)

অংশ দ্বারা সমাকলনের মাধ্যমে সমাধান করে, আমরা পাই

\( = \left\{ {{e^x}f\left( x \right) - \smallint f'\left( x \right){e^x}dx} \right\} + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx +C\)

\( = f\left( x \right).{e^x} +C\)

যেখানে C হল ধ্রুবক

Calculus Question 2:

k এর মানগুলির কোন ব্য়প্তির জন্য ফাংশন f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 বিন্দু x = 0 এ একটি স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে?

  1. k < -2 বা k > 2
  2. k ≤ -2 বা k ≥ 2
  3. -2 < k < 2
  4. -2 ≤ k ≤ 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -2 < k < 2

Calculus Question 2 Detailed Solution

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

  • স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
  • গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f"(x) < 0 ⇒ ম্যাক্সিমা

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K < -2 বা k > 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে

Calculus Question 3:

f (x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 অপেক্ষকটির স্থানীয় সর্বোচ্চ মান কোন বিন্দুতে অবস্থিত?

  1. 1
  2. 2
  3. -2
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Calculus Question 3 Detailed Solution

ধারণা:

ধরা যাক f একটি অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষক যেমন f '(p) = 0

  • যদি f ''(p) > 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে।
  • যদি f ''(p) < 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে।

গণনা:

f (x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12

⇒ f ' (x) = 12x3 + 12x2 - 24x + 0 ----(1)

⇒ f ' (x) = 12x (x2 + x - 2)

⇒ f ' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f ' (x) = 0 বসিয়ে পাই

⇒ 12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2 হল চরম বিন্দু 

f '' (x) নির্ণয় করে পাই,

⇒ f '' (x) = 36x2 + 24x - 24          [(1) ব্যবহার করে ]

⇒ f '' (x) = 12 (3x2 + 2x - 2)

কেস 1: x = 0-এ,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24 < 0

যেহেতু, x = 0-তে f '' (x) < 0

∴ x = 0 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 0-এ f(x) হল সর্বোচ্চ

কেস 2: x = 1-এ

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0

যেহেতু, x = 1-এ f '' (x) > 0

∴ x = 1 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 1-এ f(x) হল সর্বনিম্ন

কেস 3: x = -2-এ

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0

যেহেতু, x = -2-এ f '' (x) > 0

∴ x = -2 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = -2-এ f(x) হল সর্বনিম্ন

অতএব, x = 0 বিন্দুতে, f(x) সর্বোচ্চ।

Calculus Question 4:

দুটি অশূন্য ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর জন্য, যদি (A̅ + B̅) (A̅ - B̅)-এর সাথে লম্ব হয়, তাহলে

  1. A̅-এর মান B̅-এর মানের দ্বিগুণ
  2. A̅-এর মান B̅-এর মানের অর্ধেক
  3. A̅ এবং B̅ অর্থোগোনাল হতে পারে না
  4. A̅ এবং B̅-এর মান সমান

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : A̅ এবং B̅-এর মান সমান

Calculus Question 4 Detailed Solution

ধারণা:

দুটি ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর ডট গুনফলকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

A̅⋅B̅ = |A|⋅|B|⋅cos θ

যখন এই ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তখন তাদের ডট গুনফল শূন্য হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

(A̅ + B̅) এবং (A̅ - B̅) দুটি ভেক্টর এবং |A| ≠ 0, |B| ≠ 0।

যদি দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তাহলে তাদের ডট গুনফল শূন্যের সমান হয়।

(A̅ + B̅)·(A̅ - B̅) = 0

⇒ (A̅·A̅) - (A̅·B̅) + (B̅·A̅) - (B̅·B̅) = 0

যেহেতু A̅·B̅ = B̅·A̅

⇒ |A̅|2 - |B̅|2 = 0

|A̅| = |B̅|
A̅ এবং B̅-এর মান সমান

Calculus Question 5:

যদি f(x) = x2 + 4x + 3 হয়, তাহলে f'(1) = ?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 6

Calculus Question 5 Detailed Solution

ধারণা:

ব্যবহৃত সূত্র:

\(\rm f'\left( x \right) = \;\frac{{d\;f\left( x \right)}}{{dx}}\)

সমাধান:

f(x) = x2 + 4x + 3

'x' এর সাপেক্ষে f(x) এর অবকলন করুন।

\(\rm f'\left( x \right) = \;\frac{{d\;f\left( x \right)}}{{dx}}\)

⇒ f'(x) = 2x + 4

x = 1 বসিয়ে পাই,

সুতরাং, f'(1) = 2 x 1 + 4 = 6

∴ f'(1) এর মান হল 6।

Top Calculus MCQ Objective Questions

অপেক্ষক \(f(x)=\frac{4-x^2}{4x-x^3}\) হল

  1. শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন
  2. ঠিক দুটি বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন
  3. ঠিক তিনটি বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন
  4. সমস্ত বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : ঠিক তিনটি বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন

Calculus Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

ধারণা:

দুটি বহুপদী অপেক্ষকের অনুপাতের আকারে লেখা অপেক্ষককে মূলদ অপেক্ষক বলে।

মূলদ অপেক্ষক সেই সব বিন্দু ছাড়া অন্য সমস্ত বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন যেখানে হর শূন্য হয়।

\(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)

যেখানে P(x) এবং Q(x) হল বহুপদী এবং Q(x) ≠ 0।

f(x) সেই বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন হবে যেখানে Q(x) = 0

গণনা:

প্রদত্ত:

\(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3}\)

এটি একটি মূলদ অপেক্ষক, তাই এটি সেই সব বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন হবে যেখানে হর শূন্য হয়।

4x - x3 = 0

x(4 - x2) = 0

x(22 - x2) = 0

x(2 + x)(2 - x) = 0

x = 0, x = - 2 এবং x = 2

সুতরাং অপেক্ষক \(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3}\) ঠিক তিনটি বিন্দু 0, - 2 এবং 2 তে বিচ্ছিন্ন হবে।

Mistake Points

একটি সন্দেহ থাকতে পারে যে কিছু ফ্যাক্টর একে অপরকে বাদ দিচ্ছে তাই প্রথমে আমাদের এটি সরল করতে হবে।

উল্লেখ্য যে,

যদি (4 - x2) = 0 হয় তবে f(x) অনির্দিষ্ট বা 0/0 আকারে আসবে।

সুতরাং, অপেক্ষকটির x = ± 2 এর জন্য কোনো মান থাকবে না। তাই, এগুলিও বিচ্ছিন্নতার বিন্দু হবে।

এছাড়াও, যদি (4 - x2) ≠ 0

\(f(x)=\dfrac{4-x^2}{4x-x^3} = \frac{1}{x}\)

এখানে, x = 0 ও বিচ্ছিন্নতার একটি বিন্দু।

ঠিক তিনটি বিন্দু 0, - 2 এবং 2 থাকবে।

k এর মানগুলির কোন ব্য়প্তির জন্য ফাংশন f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 বিন্দু x = 0 এ একটি স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে?

  1. k < -2 বা k > 2
  2. k ≤ -2 বা k ≥ 2
  3. -2 < k < 2
  4. -2 ≤ k ≤ 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -2 < k < 2

Calculus Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

  • স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
  • গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f"(x) < 0 ⇒ ম্যাক্সিমা

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K < -2 বা k > 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য অনুযায়ী নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক:

a) যদি একটি বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দুতে একটি স্পর্শক থাকে তবে এই বক্ররেখায় কমপক্ষে এক-বিন্দু C থাকে, যে স্পর্শকটি জ্যা AB-এর সমান্তরাল হয়।

b) যদি ব্যবধানে f’(x) = 0 হয় তাহলে f(x)-এর প্রতিটি মানের x (a, b) এর জন্য একই মান থাকে

  1. কেবল (a) হল সঠিক 
  2. কেবল (b) হল সঠিক 
  3. (a) এবং (b) উভয়েই হল সঠিক 
  4. (a) এবং (b) কোনোটিই সঠিক নয়

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : কেবল (a) হল সঠিক 

Calculus Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

ধারণা:

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য:

যদি f(x) প্রকৃত মূল্যবান ক্রিয়াকলাপ হয় যেমন-

  • f(x) বদ্ধ ব্যবধান [a,b] তে অবিচ্ছিন্নভাবে থাকে
  • (f(x) মুক্ত ব্যবধান (a,b) তে পার্থক্যযোগ্য হয়
  • f(a) ≠ f(b)

তাহলে অন্তত একটি মান x, c (a, b) আছে যেমন -

\(f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b\; - \;a}}\)

F1 Krupalu 8.10.20 Pallavi D25

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:

  • f(x) এর লেখচিত্রের দুটি বিন্দু a এবং b, f(a) ≠ f(b) এর মধ্যে একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শকটি জ্যা \(\overline {AB} \) এর সমান্তরাল হয়।

ব্যাখ্যা:

(a) জ্যামিতিক ব্যাখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে সঠিক।

(b) হবে বেঠিক, যদি f(x) x এর প্রতিটি মানের জন্য একই মান থাকে, তাহলে এটি f(a) ≠ f(b) লঙ্ঘন করবে।

ধরি, f(x) একটি বাস্তব-মানযুক্ত অপেক্ষক যাতে কিছু x0 ∈ (0, 1) এর জন্য f'(x0) = 0 এবং সমস্ত x ∈ (0, 1) এর জন্য f"(x) > 0 হলে, f(x) এর কী আছে?

  1. (0, 1) তে ঠিক একটি স্থানীয় মিনিমা
  2. (0, 1) তে দুইটি স্বতন্ত্র স্থানীয় মিনিমা
  3. (0, 1) তে একটি স্থানীয় ম্যাক্সিমা
  4. (0, 1) তে কোনও স্থানীয় মিনিমা নেই

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : (0, 1) তে ঠিক একটি স্থানীয় মিনিমা

Calculus Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

ধারণা:

x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x) বিবেচনা করুন।

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ মানের জন্য:

  • স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি এমন কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
  • গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মান রয়েছে।

 

মিনিমার জন্য:

  • স্থানীয় মিনিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় মিনিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে ন্যূনতম মান স্থানীয় মিনিমার থেকে কম হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় মিনিমার কাছাকাছি নেই।
  • গ্লোবাল মিনিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল মিনিমা থেকে কম মান রয়েছে।

 

স্থির বিন্দু : বিন্দু যেখানে ফাংশনের অন্তরক সহগ শূন্য অর্থাৎ f'(x) = 0। বিন্দুগুলি হতে পারে:

  • আনতি বিন্দু
  • স্থানীয় ম্যাক্সিমা
  • স্থানীয় মিনিমা

 

দ্বিতীয় অন্তরক সহগ পরীক্ষা: ধরুন ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু x = a আছে

  • যদি \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} < 0\) তাহলে x = a, ম্যাক্সিমা একটি বিন্দু.
  • যদি \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} > 0\) তাহলে x = a, minima একটি বিন্দু.

 

ব্য়বহার:

দেওয়া f(x) একটি বাস্তব-মানযুক্ত ফাংশন যেমন f'(x 0 ) = 0 কিছু x 0 ∈ (0, 1) এর জন্য

এছাড়াও সমস্ত x ∈ (0, 1) এর জন্য f"(x) > 0 দেওয়া হয়েছে

সুতরাং, f(x) এর ঠিক একটি স্থানীয় ন্যূনতম (0, 1) আছে, যাকে বিন্দুর মিনিমা বলা হয়।

যদি y = log sin x হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) হবে

  1. \(\frac{1}{sin~x} cos~x\)
  2. tan x
  3. \(\frac{1}{sin~x}\)
  4. log cos x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{1}{sin~x} cos~x\)

Calculus Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

ধারণা:

অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য  অপেক্ষক হয়, তাহলে:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\)

\(\frac{{d\left( {\ln x} \right)}}{{dx}} = \frac{1}{x},\;for\;x > 0\)

\(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{dx}} = \; cosx\)

গণনা:

প্রদত্ত: y = log sinx

ধরি sin x = u

⇒ y = log u

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\log u} \right) = \frac{1}{{u}}\frac{d}{{dx}}\left( {u} \right) \)

\(= \frac{1}{{\sin x}}\left( { cos x} \right) \)

সুতরাং, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান হবে \(\frac{1}{sin~x} cos~x\)

দুটি অশূন্য ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর জন্য, যদি (A̅ + B̅) (A̅ - B̅)-এর সাথে লম্ব হয়, তাহলে

  1. A̅-এর মান B̅-এর মানের দ্বিগুণ
  2. A̅-এর মান B̅-এর মানের অর্ধেক
  3. A̅ এবং B̅ অর্থোগোনাল হতে পারে না
  4. A̅ এবং B̅-এর মান সমান

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : A̅ এবং B̅-এর মান সমান

Calculus Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

ধারণা:

দুটি ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর ডট গুনফলকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

A̅⋅B̅ = |A|⋅|B|⋅cos θ

যখন এই ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তখন তাদের ডট গুনফল শূন্য হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

(A̅ + B̅) এবং (A̅ - B̅) দুটি ভেক্টর এবং |A| ≠ 0, |B| ≠ 0।

যদি দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তাহলে তাদের ডট গুনফল শূন্যের সমান হয়।

(A̅ + B̅)·(A̅ - B̅) = 0

⇒ (A̅·A̅) - (A̅·B̅) + (B̅·A̅) - (B̅·B̅) = 0

যেহেতু A̅·B̅ = B̅·A̅

⇒ |A̅|2 - |B̅|2 = 0

|A̅| = |B̅|
A̅ এবং B̅-এর মান সমান

\(\int^2_0\int^x_0y\ dy\ dx\) এর মান নির্ণয় করো।

  1. \(\frac{2}{3}\)
  2. 1
  3. \(\frac{4}{3}\)
  4. \(\frac{3}{4}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{4}{3}\)

Calculus Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

ব্যাখ্যা:

\(f(x)=\int^2_0\int^x_0y\ dydx\)

\(f(x)= \mathop \smallint \limits_0^2 \left[ { \frac{{{y^2}}}{2}} \right]_0^{{x}}dx\)

\(f(x)=\int^2_0[\frac{x^2}{2}-0]\ dx\)

\(f(x)=\frac{1}{2}\int^2_0{x^2}\ dx\)

\(f(x)= \frac{1}{2} \left[ { \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^{{2}}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}(\frac{2^3}{3}-0)\)

\(f(x) = \frac{4}{3}\)

ধরি, f = yx , x = 2, y = 1 হলে \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\) এর মান কত হবে?

  1. 0
  2. ln 2
  3. 1
  4. \(\frac{1}{{\ln 2}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

Calculus Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

\(f = {y^x}\)

ln f = x lny

\(\frac{1}{f}\frac{{df}}{{dy}} = \frac{x}{y}\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = {y^x}\left( {\frac{x}{y}} \right) = {y^{x - 1}}.x\)

\(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\;\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{y^{x - 1}}.x} \right)\)

\( = {y^{x - 1}} + x{y^{x - 1}}lny\)

\(= {1^{\left( {2 - 1} \right)}} + \left[ {2 \times {1^{\left( {2 - 1} \right)}}\ln \left( 1 \right)} \right] = 1\)

ত্রিঘাত সমীকরণ x3 - 2x - 8 = 0 এর

  1. 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই
  2. একটি বাস্তব মূল শূন্যের চেয়ে কম
  3. 1 এবং 2 এর মধ্যে শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল
  4. দুটি ঋণাত্মক মূল এবং একটি ধনাত্মক মূল

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই

Calculus Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

ধারণা:

বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,

  • x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
  • x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x3 - 2x - 8

আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।

f'(x) = 3x2 - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,

3x2 - 2 = 0

\(x = \; \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\)

\(f\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 9.089\) এবং \(f\left( {-\sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \; - 6.911\)

x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।

দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।

সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,

f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48

এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,

  • অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
  • অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
  • অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।

f (x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 অপেক্ষকটির স্থানীয় সর্বোচ্চ মান কোন বিন্দুতে অবস্থিত?

  1. 1
  2. 2
  3. -2
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Calculus Question 15 Detailed Solution

Download Solution PDF

ধারণা:

ধরা যাক f একটি অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষক যেমন f '(p) = 0

  • যদি f ''(p) > 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে।
  • যদি f ''(p) < 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে।

গণনা:

f (x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12

⇒ f ' (x) = 12x3 + 12x2 - 24x + 0 ----(1)

⇒ f ' (x) = 12x (x2 + x - 2)

⇒ f ' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f ' (x) = 0 বসিয়ে পাই

⇒ 12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2 হল চরম বিন্দু 

f '' (x) নির্ণয় করে পাই,

⇒ f '' (x) = 36x2 + 24x - 24          [(1) ব্যবহার করে ]

⇒ f '' (x) = 12 (3x2 + 2x - 2)

কেস 1: x = 0-এ,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24 < 0

যেহেতু, x = 0-তে f '' (x) < 0

∴ x = 0 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 0-এ f(x) হল সর্বোচ্চ

কেস 2: x = 1-এ

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0

যেহেতু, x = 1-এ f '' (x) > 0

∴ x = 1 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 1-এ f(x) হল সর্বনিম্ন

কেস 3: x = -2-এ

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0

যেহেতু, x = -2-এ f '' (x) > 0

∴ x = -2 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = -2-এ f(x) হল সর্বনিম্ন

অতএব, x = 0 বিন্দুতে, f(x) সর্বোচ্চ।

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti vungo teen patti 500 bonus teen patti 3a