Calculus MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Calculus - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇలా అనుకుందాం

\(I = \smallint {e^x}\left\{ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right\}dx\)

\( = \smallint {e^x}f\left( x \right)dx + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx+C\)

భాగాల ద్వారా అనుకలన ద్వారా పరిష్కరించడం వల్ల, మనం పొందుతాము

\( = \left\{ {{e^x}f\left( x \right) - \smallint f'\left( x \right){e^x}dx} \right\} + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx +C\)

\( = f\left( x \right).{e^x} +C\)

ఇక్కడ C స్థిరంగా ఉంటుంది

\(\rm \frac{\partial u}{\partial z} = xye^{xyz}\)

\(\rm \frac{\partial }{\partial y} \left( \rm \frac{\partial u}{\partial z} \right)= \rm \frac{\partial }{\partial y}(xye^{xyz})\)

\(\rm \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = xy \rm \frac{\partial }{\partial y}(e^{xyz}) + e^{xyz} \rm \frac{\partial }{\partial y}(xy)\)

= xy(xz)e^xyz + xe^xyz

\(\rm \frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} \right) = \rm \frac{\partial }{\partial x}(x^2 yz + x) e^{xyz}\)

\(\rm \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = (x^2 yz + x) yze^{xyz} + e^{xyz} (2xyz + 1)\)

\(\rm = e^{xyz} (x^2 y^2 z^2 + xyz + 2xyz + 1)\)

= (1 + 3xyz + x²y²z²) e^xyz

x, y, z = 1, 1, 1 रखने पर हमें प्राप्त होता है

\(\rm \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = (1 + 3 + 1) e\)

= 5e

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x) < 0 ⇒ గరిష్టం

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K < -2 లేదా k > 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} < 0\)  then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} > 0\)  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

కాన్సెప్ట్:

పైన పేర్కొన్న ప్రమేయం f(x) విరామం  [-1, 1]లో రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క ఊహను సంతృప్తిపరుస్తుంది

f(x) [-1, 1]లో నిరంతరంగా ఉంటుంది

(-1, 1)లో F(x) భేదం ఉంది

F(-1) = f(1)

కొనసాగింపు కోసం

LHL = RHL = 0 వద్ద ప్రమేయ విలువ అంటే f(0)

\(LHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {1 + x} \right)\)

= 1

\(\begin{array}{l} RHL = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)\\ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} \left( {px + q - p{x^2} - qx} \right) \end{array}\)  

= q

∴ LHL = RHL

⇒ q = 1

భేదం కోసం కూడా

LHD = RHD

\(\Rightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\)

\(\frac{d}{{dx}}\left( {1 + x} \right) = \frac{d}{{dx}}\left[ {\left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)} \right]\;\)

x = 0 వద్ద

\(\Rightarrow 1 = \frac{d}{{dx}}\left[ {px + q - p{x^2} - qx} \right]\)

\(⇒[p+0-2px-q]=1 \)

x = 0 వద్ద

p – q = 1

⇒ p = 1 + q

⇒ p = 1 + 1

⇒ p = 2

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x) < 0 ⇒ గరిష్టం

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K < -2 లేదా k > 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} < 0\)  then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} > 0\)  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x) < 0 ⇒ గరిష్టం

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K < -2 లేదా k > 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

ఇలా అనుకుందాం

\(I = \smallint {e^x}\left\{ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right\}dx\)

\( = \smallint {e^x}f\left( x \right)dx + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx+C\)

భాగాల ద్వారా అనుకలన ద్వారా పరిష్కరించడం వల్ల, మనం పొందుతాము

\( = \left\{ {{e^x}f\left( x \right) - \smallint f'\left( x \right){e^x}dx} \right\} + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx +C\)

\( = f\left( x \right).{e^x} +C\)

ఇక్కడ C స్థిరంగా ఉంటుంది

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} < 0\)  then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If \({\left( {\frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}} \right)_{x = a}} > 0\)  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

కాన్సెప్ట్:

పైన పేర్కొన్న ప్రమేయం f(x) విరామం  [-1, 1]లో రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క ఊహను సంతృప్తిపరుస్తుంది

f(x) [-1, 1]లో నిరంతరంగా ఉంటుంది

(-1, 1)లో F(x) భేదం ఉంది

F(-1) = f(1)

కొనసాగింపు కోసం

LHL = RHL = 0 వద్ద ప్రమేయ విలువ అంటే f(0)

\(LHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {1 + x} \right)\)

= 1

\(\begin{array}{l} RHL = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)\\ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} \left( {px + q - p{x^2} - qx} \right) \end{array}\)  

= q

∴ LHL = RHL

⇒ q = 1

భేదం కోసం కూడా

LHD = RHD

\(\Rightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\)

\(\frac{d}{{dx}}\left( {1 + x} \right) = \frac{d}{{dx}}\left[ {\left( {1 - x} \right)\left( {px + q} \right)} \right]\;\)

x = 0 వద్ద

\(\Rightarrow 1 = \frac{d}{{dx}}\left[ {px + q - p{x^2} - qx} \right]\)

\(⇒[p+0-2px-q]=1 \)

x = 0 వద్ద

p – q = 1

⇒ p = 1 + q

⇒ p = 1 + 1

⇒ p = 2

\(\rm \frac{\partial u}{\partial z} = xye^{xyz}\)

\(\rm \frac{\partial }{\partial y} \left( \rm \frac{\partial u}{\partial z} \right)= \rm \frac{\partial }{\partial y}(xye^{xyz})\)

\(\rm \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = xy \rm \frac{\partial }{\partial y}(e^{xyz}) + e^{xyz} \rm \frac{\partial }{\partial y}(xy)\)

= xy(xz)e^xyz + xe^xyz

\(\rm \frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} \right) = \rm \frac{\partial }{\partial x}(x^2 yz + x) e^{xyz}\)

\(\rm \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = (x^2 yz + x) yze^{xyz} + e^{xyz} (2xyz + 1)\)

\(\rm = e^{xyz} (x^2 y^2 z^2 + xyz + 2xyz + 1)\)

= (1 + 3xyz + x²y²z²) e^xyz

x, y, z = 1, 1, 1 रखने पर हमें प्राप्त होता है

\(\rm \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z} = (1 + 3 + 1) e\)

= 5e

ఇలా అనుకుందాం

\(I = \smallint {e^x}\left\{ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right\}dx\)

\( = \smallint {e^x}f\left( x \right)dx + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx+C\)

భాగాల ద్వారా అనుకలన ద్వారా పరిష్కరించడం వల్ల, మనం పొందుతాము

\( = \left\{ {{e^x}f\left( x \right) - \smallint f'\left( x \right){e^x}dx} \right\} + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx +C\)

\( = f\left( x \right).{e^x} +C\)

ఇక్కడ C స్థిరంగా ఉంటుంది