Calculus MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Calculus - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇలా అనుకుందాం

$I=\int e^x\left\{f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\right\}dx$

$=\int e^{x}f\left(x\right)dx+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

భాగాల ద్వారా అనుకలన ద్వారా పరిష్కరించడం వల్ల, మనం పొందుతాము

$=\left\{e^{x}f\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)e^{x}dx\right\}+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

$=f\left(x\right).e^x+C$

ఇక్కడ C స్థిరంగా ఉంటుంది

$\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{z}}=\mathrm{x}\mathrm{y}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}$

$\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\left(\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{z}}\right)=\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}(\mathrm{x}\mathrm{y}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}})$

$\frac{{\partial }^2\mathrm{u}}{\partial \mathrm{y}\partial \mathrm{z}}=\mathrm{x}\mathrm{y}\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}})+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}(\mathrm{x}\mathrm{y})$

= xy(xz)e^xyz + xe^xyz

$\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{u}}{\partial \mathrm{y}\partial \mathrm{z}}\right)=\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}({\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\mathrm{z}+\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}$

$\frac{{\partial }^3\mathrm{u}}{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}\partial \mathrm{z}}=({\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\mathrm{z}+\mathrm{x})\mathrm{y}\mathrm{z}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}(2\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}+1)$

$={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}({\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2{\mathrm{z}}^2+\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}+2\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}+1)$

= (1 + 3xyz + x²y²z²) e^xyz

x, y, z = 1, 1, 1 रखने पर हमें प्राप्त होता है

$\frac{{\partial }^3\mathrm{u}}{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}\partial \mathrm{z}}=(1+3+1)\mathrm{e}$

= 5e

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x) < 0 ⇒ గరిష్టం

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K < -2 లేదా k > 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If ${\left(\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\right)}_{x=a}<0$  then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If ${\left(\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\right)}_{x=a}>0$  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

కాన్సెప్ట్:

పైన పేర్కొన్న ప్రమేయం f(x) విరామం  [-1, 1]లో రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క ఊహను సంతృప్తిపరుస్తుంది

f(x) [-1, 1]లో నిరంతరంగా ఉంటుంది

(-1, 1)లో F(x) భేదం ఉంది

F(-1) = f(1)

కొనసాగింపు కోసం

LHL = RHL = 0 వద్ద ప్రమేయ విలువ అంటే f(0)

$LHL=\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(1+x\right)$

= 1

$\begin{array}{l}RHL=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(1-x\right)\left(px+q\right)\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(px+q-p{x}^2-qx\right)\end{array}$  

= q

∴ LHL = RHL

⇒ q = 1

భేదం కోసం కూడా

LHD = RHD

$\Rightarrow \underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(1+x\right)=\frac{d}{dx}\left[\left(1-x\right)\left(px+q\right)\right]$

x = 0 వద్ద

$\Rightarrow 1=\frac{d}{dx}\left[px+q-p{x}^2-qx\right]$

$\Rightarrow [p+0-2px-q]=1$

x = 0 వద్ద

p – q = 1

⇒ p = 1 + q

⇒ p = 1 + 1

⇒ p = 2

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x) < 0 ⇒ గరిష్టం

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K < -2 లేదా k > 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If ${\left(\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\right)}_{x=a}<0$  then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If ${\left(\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\right)}_{x=a}>0$  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x) < 0 ⇒ గరిష్టం

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K < -2 లేదా k > 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

ఇలా అనుకుందాం

$I=\int e^x\left\{f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\right\}dx$

$=\int e^{x}f\left(x\right)dx+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

భాగాల ద్వారా అనుకలన ద్వారా పరిష్కరించడం వల్ల, మనం పొందుతాము

$=\left\{e^{x}f\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)e^{x}dx\right\}+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

$=f\left(x\right).e^x+C$

ఇక్కడ C స్థిరంగా ఉంటుంది

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If ${\left(\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\right)}_{x=a}<0$  then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If ${\left(\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\right)}_{x=a}>0$  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

కాన్సెప్ట్:

పైన పేర్కొన్న ప్రమేయం f(x) విరామం  [-1, 1]లో రోల్ యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క ఊహను సంతృప్తిపరుస్తుంది

f(x) [-1, 1]లో నిరంతరంగా ఉంటుంది

(-1, 1)లో F(x) భేదం ఉంది

F(-1) = f(1)

కొనసాగింపు కోసం

LHL = RHL = 0 వద్ద ప్రమేయ విలువ అంటే f(0)

$LHL=\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(1+x\right)$

= 1

$\begin{array}{l}RHL=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(1-x\right)\left(px+q\right)\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(px+q-p{x}^2-qx\right)\end{array}$  

= q

∴ LHL = RHL

⇒ q = 1

భేదం కోసం కూడా

LHD = RHD

$\Rightarrow \underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(1+x\right)=\frac{d}{dx}\left[\left(1-x\right)\left(px+q\right)\right]$

x = 0 వద్ద

$\Rightarrow 1=\frac{d}{dx}\left[px+q-p{x}^2-qx\right]$

$\Rightarrow [p+0-2px-q]=1$

x = 0 వద్ద

p – q = 1

⇒ p = 1 + q

⇒ p = 1 + 1

⇒ p = 2

$\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{z}}=\mathrm{x}\mathrm{y}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}$

$\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}\left(\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{z}}\right)=\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}(\mathrm{x}\mathrm{y}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}})$

$\frac{{\partial }^2\mathrm{u}}{\partial \mathrm{y}\partial \mathrm{z}}=\mathrm{x}\mathrm{y}\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}})+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}\frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}(\mathrm{x}\mathrm{y})$

= xy(xz)e^xyz + xe^xyz

$\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{u}}{\partial \mathrm{y}\partial \mathrm{z}}\right)=\frac{\partial }{\partial \mathrm{x}}({\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\mathrm{z}+\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}$

$\frac{{\partial }^3\mathrm{u}}{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}\partial \mathrm{z}}=({\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\mathrm{z}+\mathrm{x})\mathrm{y}\mathrm{z}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}(2\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}+1)$

$={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}}({\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2{\mathrm{z}}^2+\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}+2\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}+1)$

= (1 + 3xyz + x²y²z²) e^xyz

x, y, z = 1, 1, 1 रखने पर हमें प्राप्त होता है

$\frac{{\partial }^3\mathrm{u}}{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}\partial \mathrm{z}}=(1+3+1)\mathrm{e}$

= 5e

ఇలా అనుకుందాం

$I=\int e^x\left\{f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\right\}dx$

$=\int e^{x}f\left(x\right)dx+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

భాగాల ద్వారా అనుకలన ద్వారా పరిష్కరించడం వల్ల, మనం పొందుతాము

$=\left\{e^{x}f\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)e^{x}dx\right\}+\int e^x{f}^{\prime }\left(x\right)dx+C$

$=f\left(x\right).e^x+C$

ఇక్కడ C స్థిరంగా ఉంటుంది