निम्नलिखित में से कौन स्टोक के प्रमेय से संबंधित है?

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DFCCIL Executive S&T 2016 Official Paper
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  1. एक पृष्ठीय समाकल और एक आयतन समाकल
  2. एक रेखा समाकल, एक पृष्ठीय समाकल और एक आयतन समाकल
  3. एक रेखा समाकल और एक आयतन समाकल
  4. एक रेखा समाकल और एक पृष्ठीय समाकल

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Option 4 : एक रेखा समाकल और एक पृष्ठीय समाकल
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स्टोक प्रमेय:

1. स्टोक की प्रमेय हमें सदिश क्षेत्र A के कर्ल के पृष्ठ समाकल को उस सदिश क्षेत्र A की सीमा C के रेखा समाकल में उस सतह और इसके विपरीत परिवर्तित करने में सक्षम बनाती है। यह प्रमेय बताता है ।

2. एक सदिश फलन A के कर्ल का फ्लक्स किसी भी सतह S के किसी भी आकार का उस सतह की सीमा C पर सदिश क्षेत्र  A के रेखा समाकल के बराबर है अर्थात्

\(\underset{S}{\mathop \iint }\,curl\,\,A.ds=\underset{C}{\mathop \oint }\,A.ds\)

स्टोक्स प्रमेय को निम्न रूप में दिया गया है

\(\mathop \oint \nolimits_C \vec F \cdot d\vec r = \mathop \int\!\!\!\int \nolimits_S^{} curl\;\vec F \cdot \hat nds\)

यह एक रेखा समाकल को पृष्ठ समाकल में परिवर्तित करता है और कर्ल संचालन का उपयोग करता है।

\( {\rm{Curl\;}}\vec F = \vec \nabla \times \vec F\)

\( \vec \nabla = \frac{\partial }{{\partial x}}\hat i + \frac{\partial }{{\partial y}}\hat j + \frac{\partial }{{\partial z}}\hat k\)

इसलिए स्टोक्स प्रमेय कर्ल संचालन का उपयोग करता है।

Important Points

ग्रीन का प्रमेय:

यदि M(x, y), N(x, y), My और Nx एक बंद वक्र C से घिरे xy-तल के क्षेत्र E में निरंतर हों, तो

\(\mathop \smallint \limits_C \left( {Mdx + Ndy} \right) = \mathop \int\!\!\!\int \limits_E \left( {\frac{{\partial N}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M}}{{\partial y}}} \right)dxdy\)

तो ग्रीन का प्रमेय कर्ल संचालन का उपयोग नहीं करता है।

गॉस विचलन प्रमेय:

1. यह बताता है कि एक बंद सतह 'S' पर लिए गए सदिश फलन F के सामान्य घटक का पृष्ठीय समाकलन उस सदिश फलन F के अपसरण के आयतन समाकलन के बराबर होता है, जो बंद पृष्ठ 'S' से घिरे आयतन पर लिया जाता है।

2. गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\Rightarrow \underset{S}{\mathop \iint }\,\vec{F}.\hat{n}ds=\iiint\limits_{V}{\nabla .\vec{F}dv}\)

यह प्रमेय भी कर्ल ऑपरेशन का उपयोग नहीं करता है।

मैक्सवेल के विद्युतचुम्बकीय तरंगों के लिए समीकरण: मैक्सवेल विद्युतचुंबकीय प्रेरण के लिए चार नियम प्रदान करता है। 

एम्पियर परिक्रमी नियम: चुंबकीय क्षेत्र का रेखा समाकल धारा द्वारा गुणा किये गए विद्युतशीलता के बराबर है। मैक्सवेल धारा में विस्थापन धारा को भी इसमें जोड़ा जाता है। 

\(\oint \overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon _0 \frac{d ϕ }{dt}\)

गॉस का चुम्बकत्व नियम: बंद सतह पर चुंबकीय प्रवाह सदैव शून्य होता है। 

\(\oint \overrightarrow{B}.\overrightarrow{ds} = 0\)

गॉस के विद्युत प्रवाह का नियम: बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह पारगम्यता द्वारा संलग्न आवेश है। 

\(\oint \overrightarrow{E}.\overrightarrow{ds} = \frac{q_in}{\varepsilon _0}\)

फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण का नियम: चुंबकीय प्रवाह में परिवर्तन उत्पादित emf के बराबर है। 

\(E = -\frac{dϕ }{dt} \)

इसलिए मैक्सवेल के समीकरण अभिन्न रूप में कर्ल संचालन का उपयोग नहीं करते हैं।

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Last updated on Jul 7, 2025

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