निम्नलिखित में से कौन स्टोक के प्रमेय से संबंधित है?

स्टोक प्रमेय:

1. स्टोक की प्रमेय हमें सदिश क्षेत्र A के कर्ल के पृष्ठ समाकल को उस सदिश क्षेत्र A की सीमा C के रेखा समाकल में उस सतह और इसके विपरीत परिवर्तित करने में सक्षम बनाती है। यह प्रमेय बताता है ।

2. एक सदिश फलन A के कर्ल का फ्लक्स किसी भी सतह S के किसी भी आकार का उस सतह की सीमा C पर सदिश क्षेत्र  A के रेखा समाकल के बराबर है अर्थात्

\(\underset{S}{\mathop \iint }\,curl\,\,A.ds=\underset{C}{\mathop \oint }\,A.ds\)

स्टोक्स प्रमेय को निम्न रूप में दिया गया है

\(\mathop \oint \nolimits_C \vec F \cdot d\vec r = \mathop \int\!\!\!\int \nolimits_S^{} curl\;\vec F \cdot \hat nds\)

यह एक रेखा समाकल को पृष्ठ समाकल में परिवर्तित करता है और कर्ल संचालन का उपयोग करता है।

\( {\rm{Curl\;}}\vec F = \vec \nabla \times \vec F\)

\( \vec \nabla = \frac{\partial }{{\partial x}}\hat i + \frac{\partial }{{\partial y}}\hat j + \frac{\partial }{{\partial z}}\hat k\)

इसलिए स्टोक्स प्रमेय कर्ल संचालन का उपयोग करता है।

Important Points

ग्रीन का प्रमेय:

यदि M(x, y), N(x, y), My और Nx एक बंद वक्र C से घिरे xy-तल के क्षेत्र E में निरंतर हों, तो

\(\mathop \smallint \limits_C \left( {Mdx + Ndy} \right) = \mathop \int\!\!\!\int \limits_E \left( {\frac{{\partial N}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M}}{{\partial y}}} \right)dxdy\)

तो ग्रीन का प्रमेय कर्ल संचालन का उपयोग नहीं करता है।

गॉस विचलन प्रमेय:

1. यह बताता है कि एक बंद सतह 'S' पर लिए गए सदिश फलन F के सामान्य घटक का पृष्ठीय समाकलन उस सदिश फलन F के अपसरण के आयतन समाकलन के बराबर होता है, जो बंद पृष्ठ 'S' से घिरे आयतन पर लिया जाता है।

2. गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\Rightarrow \underset{S}{\mathop \iint }\,\vec{F}.\hat{n}ds=\iiint\limits_{V}{\nabla .\vec{F}dv}\)

यह प्रमेय भी कर्ल ऑपरेशन का उपयोग नहीं करता है।

मैक्सवेल के विद्युतचुम्बकीय तरंगों के लिए समीकरण: मैक्सवेल विद्युतचुंबकीय प्रेरण के लिए चार नियम प्रदान करता है। 

एम्पियर परिक्रमी नियम: चुंबकीय क्षेत्र का रेखा समाकल धारा द्वारा गुणा किये गए विद्युतशीलता के बराबर है। मैक्सवेल धारा में विस्थापन धारा को भी इसमें जोड़ा जाता है। 

\(\oint \overrightarrow{B}.\overrightarrow{dl} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon _0 \frac{d ϕ }{dt}\)

गॉस का चुम्बकत्व नियम: बंद सतह पर चुंबकीय प्रवाह सदैव शून्य होता है। 

\(\oint \overrightarrow{B}.\overrightarrow{ds} = 0\)

गॉस के विद्युत प्रवाह का नियम: बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह पारगम्यता द्वारा संलग्न आवेश है। 

\(\oint \overrightarrow{E}.\overrightarrow{ds} = \frac{q_in}{\varepsilon _0}\)

फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण का नियम: चुंबकीय प्रवाह में परिवर्तन उत्पादित emf के बराबर है। 

\(E = -\frac{dϕ }{dt} \)

इसलिए मैक्सवेल के समीकरण अभिन्न रूप में कर्ल संचालन का उपयोग नहीं करते हैं।