AB : BC : CA किसके बराबर है?

दिया गया है:

त्रिभुज ABC का परिमाप = 105 सेमी

ऊँचाइयों का अनुपात AD : BE : CF = 3 : 5 : 6

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = \((\dfrac{1}{2}) × base × height.\)

भुजाओं a, b, c और संगत ऊँचाइयों ha, hb, hc वाले त्रिभुज के लिए, हमारे पास है:

2 × क्षेत्रफल = a × ha = b × hb = c × hc

इसका अर्थ है कि त्रिभुज की भुजाएँ उनकी संगत ऊँचाइयों के व्युत्क्रमानुपाती होती हैं। अर्थात्, \(a : b : c = (\dfrac{1}{h_a}) : (\dfrac{1}{h_b}) : (\dfrac{1}{h_c})\)

गणना:

मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हैं, जहाँ:

a = BC (शीर्ष A के विपरीत भुजा)

b = CA (शीर्ष B के विपरीत भुजा)

c = AB (शीर्ष C के विपरीत भुजा)

मान लीजिए ऊँचाइयाँ ha, hb, hc हैं, जहाँ:

ha = AD

hb = BE

hc = CF

ऊँचाइयों का अनुपात दिया गया है: ha : hb : hc = 3 : 5 : 6.

इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि भुजाएँ ऊँचाई के व्युत्क्रमानुपाती होती हैं:

\(a : b : c = (\dfrac{1}{3}) : (\dfrac{1}{5}) : (\dfrac{1}{6})\)

⇒ \(a : b : c = (\dfrac{1}{3}) × 30 : (\dfrac{1}{5}) × 30 : (\dfrac{1}{6}) × 30\)

⇒ a : b : c = 10 : 6 : 5

इसका अर्थ है कि भुजाओं BC : CA : AB का अनुपात 10 : 6 : 5 है।

इसलिए, AB : BC : CA = c : a : b = 5 : 10 : 6.

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।