यदि C एक वृत्त x2 + y2 = 1 है तो निम्न का मान है  \(\oint\limits_{\rm{C}} {{\rm{[(cos}}} \,{\rm{x}}\,{\rm{sin}}\,{\rm{y}}\,{\rm{ - xy)dx + sin}}\,{\rm{x}}\,{\rm{cos}}\,{\rm{y}}\,{\rm{dy]}}\) :

अवधारणा:

ग्रीन प्रमेय:-  यदि दो फलन M(x, y) और N(x, y) और उनके आंशिक अवकलज एकल मान हैं और एक बंद वक्र C से परिबद्ध क्षेत्र R पर संतत हैं, तो

\(\oint \left(M dx + Ndy \right) = \int \int_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dx dy\)

ग्रीन प्रमेय एक बंद वक्र C के चारों ओर एक रेखा समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोगी है।

गणना:

हमारे पास है,

⇒ \(\oint\limits_{\rm{C}} {{\rm{[(cos}}} \,{\rm{x}}\,{\rm{sin}}\,{\rm{y}}\,{\rm{ - xy)dx + sin}}\,{\rm{x}}\,{\rm{cos}}\,{\rm{y}}\,{\rm{dy]}}\)

तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ M = cos x sin y - x y

⇒ N = sin x cos y

M को आंशिक रूप से 'y' के सापेक्ष अवकलित करने पर

⇒ \(\frac{\partial M}{\partial y} = cos x \ cosy - x\)

N को आंशिक रूप से 'x' के सापेक्ष अवकलित करने पर

⇒ \(\frac{\partial N}{\partial x} = cos x \ cosy\)

⇒ \(\int \int_s [(cos x \ cos y) - (cos x cos y - x) ]dx dy\)

⇒ \(\int \int_s x dx dy\) 

⇒ \(\displaystyle \int_{{x = - 1}}^1 \int_ { y = - \sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}}\ \ \ x dx dy\)

⇒ \(\displaystyle \int_{-1}^1 x \displaystyle \left[y \right]_{- \sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}}dx \)

⇒ \(\displaystyle \int_{-1}^{1} x dx \left[ \sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 - x^2} \right] \)

⇒ \(2 \displaystyle \int_{-1}^1 x \sqrt{1 - x^2} dx\)

⇒ माना 1 - x² = t

⇒ अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ - 2x dx = dt

⇒ x dx = \(- \frac{dt}{2}\)

जब x = -1

⇒ 1 - 1 = 0 = t

जब x = 1

⇒ 1 - 1 = 0 = t

⇒ \(2 \displaystyle \int_{-0}^0 - \sqrt{t} \frac{dt}{2}\)

⇒ 2 × 0

⇒ 0

∴ यदि C एक वृत्त x2 + y2 = 1 है, तो \(\oint\limits_{\rm{C}} {{\rm{[(cos}}} \,{\rm{x}}\,{\rm{sin}}\,{\rm{y}}\,{\rm{ - xy)dx + sin}}\,{\rm{x}}\,{\rm{cos}}\,{\rm{y}}\,{\rm{dy]}}\) का मान 0 है।