Vector Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

v . curl v = v . ∇ x v = [v ∇ v] = 0

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

\(\rm\vec a\) एक अवकलनीय सदिश बिंदु फलन है और u एक अवकलनीय अदिश बिंदु फलन है।

\(\rm \nabla× (u\vec a)\)

= curl × \((u\vec a)\)

= \(\rm (\nabla u)\times \vec a +u(\nabla \times \vec a)\)

अतः विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

\(\rm \vec H=x\hat i+2y\hat j+3z\hat k\)

\(\nabla\cdot\vec H=({\partial \over \partial x}i+{\partial \over \partial y}j+{\partial \over \partial z}k)\cdot(xi+2yj+3zk)\)

= \({\partial \over \partial x}(x)+{\partial \over \partial y}(2y)+{\partial \over \partial z}(3z)\)

= 1 + 2 + 3 = 6

इसलिए, \(\rm \iint_x\vec H.\hat ndS\) = \(\int\int\int_A\nabla\cdot\vec HdA\)

= \(\int\int\int_A6dA\)

= 6A

विकल्प (2) सही है।

व्याख्या

दिया गया है:
D एक बंद पृष्ठ है।
\(\vec{F} = (a, b, c)\) , एक स्थिर सदिश।
\( \vec{N}\) बाह्य दिशा में इकाई अभिलंब सदिश है।

अपसरण प्रमेय कहता है:

\(\iint_D \vec{F} \cdot \vec{N} \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV\)

जहाँ V पृष्ठ D द्वारा परिबद्ध आयतन है।

चूँकि \(\vec{F} = (a, b, c)\) एक स्थिर सदिश है, \(\vec{F}\) का अपसरण है:
\( \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial a}{\partial x} + \frac{\partial b}{\partial y} + \frac{\partial c}{\partial z} = 0 \)
क्योंकि प्रत्येक घटक a, b और c स्थिर (x, y या z से स्वतंत्र) है। इस प्रकार, V पर \(\nabla \cdot \vec{F} \) का आयतन समाकल है:
\( \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV = \iiint_V 0 \, dV = 0 \)

इसलिए:

\(\iint_D \vec{F} \cdot \vec{N} \, dS = 0\)

सही विकल्प: विकल्प 2) \(\iint_D \vec{F} \cdot \vec{N} \, dS = 0\) है। 

संकल्पना:

यदि एक त्रिभुज तीन सदिशों द्वारा निर्मित होता है, तो सदिशों का योग शून्य होना चाहिए। 

AB + BC + CA = 0 

सदिशों का पार गुणनफल:

दो सदिश \(\bar a = ai+bj+ck\) और \(\bar b = di+ej+fk\) के लिए पार गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\bar a\times \bar b = \begin{vmatrix} i & j & k\\ a & b & c\\ d & e & f \end{vmatrix}=pi+qj+rk\)

पार गुणनफल का परिमाण निम्न है:

\(A = |a\times b| = \sqrt{p^2+q^2+r^2}\)

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

यदि सदिश \(\bar a\mbox{ and } \bar b\) त्रिभुज के सन्निकट भुजाओं का निर्माण करते हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(A = \dfrac{1}{2}|\bar a\times \bar b|\)

गणना:

दिया गया है:

माना कि AB = 3i + 4j और CA = 5i +7j + k है।

यदि एक त्रिभुज तीन सदिशों द्वारा निर्मित होता है, तो सदिशों का योग शून्य होना चाहिए।

AB + BC + CA = 0 ⇒ 3i + 4j  + BC + 5i +7j + k = 0

BC = - 8i - 11j - k

माना कि सन्निकट सदिश AB (a), AC (b)  \(\bar a = 3i+4j\) , और \(\bar b = 5i+7j+k\) है।

सर्वप्रथम, हम निम्न रूप में पार गुणनफल की गणना करेंगे:

\(\begin{align*} \bar a\times \bar b &= \begin{vmatrix} i & j & k\\ 3 & 4 & 0\\ 5 & 7 & 1 \end{vmatrix}\\ &= i(4-0) - j(3-0) + k(21-20)\\ &= 4i-3j+1k \end{align*}\)

अतः पार गुणनफल का परिमाण निम्न है:

\(\begin{align*} |\bar a\times \bar b| &= \sqrt{16+9+1}\\ &= \sqrt {26} \end{align*}\)

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(A = {1\over 2}|a\times b| = {1\over 2}\times \sqrt {26} = {\sqrt {26}\over 2}\)

संकल्पना:

एक सदिश का कर्ल निम्नलिखित आव्यूह के विस्तार द्वारा दिया जाता है

अगर \(\vec{f}={{f}_{1}}\hat{i}+{{f}_{2}}\hat{j}+{{f}_{3}}\hat{k}\)

फिर

\(\nabla \times ~\vec{f}=\left| \begin{matrix} {\hat{i}} & {\hat{j}} & \hat{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ {{f}_{1}} & {{f}_{2}} & {{f}_{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

गणना​:

दिया गया सदिश है

\(~\vec{u}=yz~\hat{i}+3zx~\hat{j}+z~\hat{k}\)

तो \(\nabla \times ~\vec{u}=\left| \begin{matrix} {\hat{i}} & {\hat{j}} & {\hat{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ yz & 3zx & z \\ \end{matrix} \right|\)

\(\nabla \times ~\vec{u}=\hat{i}\left( \frac{\partial (z)}{\partial y}-\frac{\partial (3zx)}{\partial z} \right)-\hat{j}\left( \frac{\partial (z)}{\partial x}-\frac{\partial (yz)}{\partial z} \right)+~\hat{k}\left( \frac{\partial (3zx)}{\partial x}-\frac{\partial( yz)}{\partial y} \right)\)

संकल्पना:

x - अक्ष के चारों ओर घूर्णन: वक्र y = f(x), x - अक्ष तथा कोटि x = a और x = b द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल के x - अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा उत्पादित ठोस का आयतन निम्न है

\(V = \mathop \smallint \nolimits_a^b π {y^2}dx\)

उसीप्रकार y - अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए:

\(V=\int \pi {{x}^{2}}dy\)

गणना:

दिया गया है:

\(V = \mathop \smallint \limits_1^2 \pi{y^2}dx\)

\(V = \frac{{3\pi }}{2}\)

अतः आवश्यक आयतन \(\frac{3\pi}{2}\) होगा। 

संकल्पना:

यदि \(\vec a, \vec b, \vec c \)  कोई गैर-शून्य सदिश हैं, तो

\([ \vec a \; \vec b\; \vec c]= \vec a. ( \vec b \times \vec c) ....(1)\)

गणना:

दिया गया है, \([ \vec a, \; \vec b + \vec c, \; \vec a + \vec b + \vec c]\)

\(= \vec a. [(\vec b + \vec c) \times ( \vec a + \vec b + \vec c)]\)

\(= \vec a. {[ \vec b \times \vec a + \vec b \times \vec b + \vec b \times \vec c + \vec c \times \vec a + \vec c \times \vec b + \vec c \times \vec c]}\)

\(= \vec a. {[ \vec b \times \vec a + \vec b \times \vec c + \vec c \times \vec a + \vec c \times \vec b ]}\)

\(=[ \vec a \; \vec b\; \vec a] + [ \vec a \; \vec b\; \vec c] + [ \vec a \; \vec c\; \vec a]+ [ \vec a \; \vec c\; \vec b]\)

\((since [ \vec a \; \vec b\; \vec a]= 0)\)

\([ \vec a \; \vec b\; \vec c] - [ \vec a \; \vec b\; \vec c]\)

= 0

अवधारणा:

\(|\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}|^2=(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}).(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c})\)

गणना:

दिया हुआ:

\(|\vec a|=2, |\vec b|=3, |\vec c|=5\)

चूँकि \(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}=0\)

∴\(|\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}|=0\)

\(|\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}|^2=(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c}).(\vec {a}+\vec {b}+\vec {c})=0\)

\(\vec a.\vec a+\vec b.\vec b+\vec c.\vec c+\vec a.\vec b+\vec b.\vec a+\vec b.\vec c+\vec c.\vec b+\vec c.\vec a+\vec a.\vec c=0\)

\(\vec a.\vec a+\vec b.\vec b+\vec c.\vec c+2\vec a.\vec b+2\vec b.\vec c+2\vec c.\vec a=0\)

\(\vec a.\vec a+\vec b.\vec b+\vec c.\vec c+2(\vec a.\vec b+\vec b.\vec c+\vec c.\vec a)=0\)

\(|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a.\vec b+ \vec b.\vec c+\vec c.\vec a)=0\)

\(2^2+3^2 +5^2+2(\vec a.\vec b+ \vec b.\vec c+\vec c.\vec a)=0\)

\(2(\vec a.\vec b+ \vec b.\vec c+\vec c.\vec a)=-38\)

इसलिए \(\vec a.\vec b+ \vec b.\vec c+\vec c.\vec a=-19\)

संकल्पना:

दिए गए सदिश क्षेत्र का अपसरण निम्न है,

\(div\vec F = \nabla \cdot \vec F{{\;\;\;\;\;}} \ldots \left( 1 \right)\)

गणना:

दिया है:

\(\vec F = {x^2}z\hat i + xy\hat j - y{z^2}\hat k\)

समीकरण (1) का उपयोग करने पर,

\(\Rightarrow \nabla \cdot \vec F= \left( {\hat i\frac{\partial }{{\partial x}} + \hat j\frac{\partial }{{\partial y}} + \hat k\frac{\partial }{{\partial z}}} \right) \cdot \vec F\)

\(\Rightarrow\nabla \cdot \vec F= 2xz + x – 2yz\)

\(\therefore div\vec F\;at\left( {1, - 1,1} \right) = 2 + 1 + 2 = 5\)

व्याख्या:

यदि \(f\) दोगुने सतत अवकलनीय है, तो इसके द्वितीय अवकलज उस कोटि से स्वतंत्र है जिसमें अवकलज लागू होते हैं। \(\triangledown f\) के व्यंजक में सभी पद समाप्त हो जाते हैं, और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\triangledown f = 0\) हैcurl⁡∇f=0." id="MathJax-Element-12-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">

• विचलन एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है लेकिन एक अदिश में परिणाम होता है।
• कर्ल एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है और एक सदिश क्षेत्र में परिणाम देता है।
• प्रवणता एक अदिश पर  संचालित होता है लेकिन परिणाम एक सदिश क्षेत्र में होता है ।
• कर्ल का विचलन, प्रवणता का कर्ल हमेशा शून्य होता है।
• इस प्रकार, कर्ल की प्रवणता कर्ल (जो एक सदिश क्षेत्र है) का परिणाम उस प्रवणता को संचालित करने के लिए देता है, जो गणितीय रूप से अमान्य अभिव्यक्ति है। 

अवधारणा:

यदि aî + bĵ + ck̂ and pî + qĵ + rk̂ समचतुर्भुज की दो अलग-अलग भुजाएं हैं तो

मान लीजिये \(\vec{A} = aî + bĵ + ck̂\) और B = \(\vec{B}=pî + qĵ + rk̂\)

तब समचतुर्भुज का कोई भी विकर्ण \(D_1=\vec{A}+\vec{B}\) द्वारा दिया जाता है

दूसरा विकर्ण \(D_2=\vec{B}-\vec{A}\) द्वारा दिया गया है

सदिश का परिमाण \(A=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

गणना:

दिया गया है:

2î + 4ĵ - 5k̂ और î + 2ĵ + 3k̂ समचतुर्भुज की दो अलग-अलग भुजाएं हैं।

मान लीजिये, \(\vec{A} = 2î + 4ĵ - 5k̂\) और B = \(\vec{B}=1î + 2ĵ + 3k̂\)

तब समचतुर्भुज का कोई भी विकर्ण \(D_1=\vec{A}+\vec{B}\) द्वारा दिया जाता है

\(D_1=\vec{A}+\vec{B}\)

D₁ = (2î + 4ĵ - 5k̂) + (1î + 2ĵ + 3k̂)

D₁ = 3î + 6ĵ - 2k̂

सदिश विकर्ण D1 का परिमाण

_{\(D_1=\sqrt{3^2+6^2+({-2})^2}\)}

D₁ = 7 

दूसरा विकर्ण \(D_2=\vec{B}-\vec{A}\) द्वारा दिया गया है

\(D_2=\vec{B}-\vec{A}\)

D2 = (1î + 2ĵ + 3k̂) - (2î + 4ĵ - 5k̂)

D2 = - 1î - 2ĵ + 8k̂

सदिश विकर्ण D2 का परिमाण

\(D_1=\sqrt{({-1})^2+({-2})^2+8^2}\)

\(D_1 =\sqrt{69} \)

∴ एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई 7 और \(\sqrt{69} \) है

संकल्पना:

सतह की प्रवणता / लंब सदिश / सतह की ढलान / अधिकतम वृद्धि या कमी की दर :

माना कि ϕ(x, y, z) = C किसी भी अदिश बिंदु फलन का प्रतिनिधित्व करता है, फिर इसकी प्रवणता को निम्नप्रकार परिभाषित किया जाता है

\(grad\;\phi = \nabla \phi = \hat i\frac{{\partial \phi }}{{\partial x}} + \hat j\frac{{\partial \phi }}{{\partial y}} + \hat k\frac{{\partial \phi }}{{\partial z}}\) = सामान्य वेक्टर \( = \sum \hat i\frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}\)

1) (grad ϕ) की दिशा = लंब सदिश की दिशा = सतह की दिशा

2) अधिकतम वृद्धि की दर = |grad ϕ|

3) इकाई लंब पर \('\phi ' = \hat n = \frac{{grad\;\phi }}{{\left| {grad\;\phi } \right|}}\)

गणना​:

दिया गया,

सतह S : x2 + y2 + z2 - 48 = 0

हम वह जानते हैं; \(grad\;\phi = \nabla \phi = \hat i\frac{{\partial \phi }}{{\partial x}} + \hat j\frac{{\partial \phi }}{{\partial y}} + \hat k\frac{{\partial \phi }}{{\partial z}}\)

∴ ग्रेड (S) = 2x î + 2y ĵ + 2z k̂

बिंदु (4,4,4) पर हम प्राप्त करते हैं:

ग्रेड (S) = 8 + 8 ĵ + 8 k̂

∴ गोले पर इकाई लम्ब होगा:

\( \therefore\;\frac{{grad\;S}}{{\left| {grad\;S} \right|}} \Rightarrow\frac{{8\hat i\;+\;8\hat j\;+\;8\hat k}}{{\sqrt {{8^2}\;+\; {8^2}\;+\;{8^2}} }} \)

\(= \frac{{\ \hat i \ +\ \hat j \ +\ \hat k}}{{\sqrt{3}}}\)

स्पष्टीकरण:

ग्रीन का प्रमेय

• रेखा समाकल को एक दोहरे समाकल में परिवर्तित करता है।
• ग्रीन का प्रमेय xy - समतल में रेखा समाकल को समान xy - समतल में सतह समाकल में रूपांतरित करता है

यदि M और N एक खुले क्षेत्र में परिभाषित किए गए (x, y) के कार्य हैं तो ग्रीन के प्रमेय से

\(\oint \left( {{\rm{Mdx}} + {\rm{Ndy}}} \right) = \int\!\!\!\int \left( {\frac{{\partial {\rm{N}}}}{{\partial {\rm{x}}}} - \frac{{\partial {\rm{M}}}}{{\partial {\rm{y}}}}} \right){\rm{dxdy}}\)

Additional Information

स्टोक्स प्रमेय:

\(\oint \vec A \cdot d\vec l\) = \( \iint \left( {\vec \nabla \times \vec A} \right).d\vec s\)

गॉस अपसरण प्रमेय:

\( \oint A.ds=\iiint{\left( \nabla .A \right)dv}\)

\( \oint \overrightarrow{F.}\hat{n}ds=\iiint{\left( \nabla .F \right)dv}\)